深度剖析,寻求本质,发展思维——一道求最值题的分析

—、试题呈现如图1,已知矩形ABCD中,AB=1,AD=2,过点B折叠矩形纸片,使得点A落在矩形内的任意一点A'处,折痕为BE,连接A'D、A'C.     

综合题新编选登

月130·点A是00内一个定点,试 间撰甭存在曲线c,使以曲线c的任一切线 为折痕,点A关于折痕对称的点A·都落在 (图2中虚线即为曲线C) 而00的方程为 00的回周上. 解情形1当A与 O,合时,明显,以O为 圆心,以00的半径的一 半为半径的回符合条件. 即此时曲线C存在,为 圆.(图1的虚线) (x     

折纸中的数学开放题

数学中折纸问题 ,易于学生动手操作 ,具有很强直观感 ,趣味性强 ,能培养学生空间想象能力 ,是开展研究性学习的好素材 ,因而 ,它成为近几年各类高中考试的热点内容 ,下面举倒说明 .例 1　一张纸上画有半径为R的圆 .和圆内一定点A ,且OA =a .折叠纸片 ,使圆周上某一点A′刚好与A点重合 ,这样的每一种折法 ,都留下一条直线折痕 ,当A′取遍圆周上所有点时 ,求所有折痕所在直线上点的集合 .( 2 0 0 3年全国高中联赛题 )图 1解　如图 1 ,由折法知 ,A′,A两点关于折痕所在直线l对称 ,即l为线段AA′的重直平分线 ,连结OA′交l于P ,则PO +PA…     

矩形折纸中的风采探究

近几年来,折纸成为中考的热点,难点,它不但考查学生灵活运用数学知识的能力,而且也考查了学生看图、识图、动手操作能力.解决这类问题的关键是:把握折纸实质上是以折痕为对称轴的轴对称,充分利用翻折前后的两个图形全等,问题就容易解决了.下面谈谈矩形折纸中的数学问题. 一、折叠出正方形 矩形最基本的折纸,就是用一张长方形纸片折一个正方形. 如图1,可以折出正方形, 二、折叠出菱形 例1已知:如图2所示的一张矩形纸片ABCD(AD＞AB),将纸片折叠一次,使点A与点C重合,再展开,折痕EF交AD边于点E,交BC边于点F,分别连接AF和CE.     

2023年新疆高三第一次适应性检测一道几何试题的探究

<正>1题目(2023年新疆自治区第一次检测第18题)如图1,在平面四边形ABCD中,AB=AD=1,■,且BC⊥CD,以BD为折痕把△ABD和△CBD向上折起,使点A到达点E位置,点C到达点F的位置,且E,F不重合．(1)求证:EF⊥BD;     

光线在圆内的反射——对一道“希望杯”赛题的推广

<正>1.赛题呈现如图11,有一束光线,从中心为O的圆环的A点射入,在圆环内经过两次反射后从A点射出;如图12,从A点射入的光线经过三次反射后从A点射出.(1)如图13,若从A点射入的光线经过五次反射后从A点射出,求从A点射入的光线和圆环半径OA的夹角α的度数;(2)如图14,若从A点射入的光线和圆环半径OA的夹角是50°,则经过几次反射后光线从A点射出?     

巧思妙解中考题

许多中考题,解法比较灵活,有循规蹈矩的“正宗”解法,也有别出心裁的巧解.在解中考题时,如何较快地进行巧思,发现它的妙解呢?我们可以引导学生从以下六个方面入手.1实验操作例1(河北省中考题)小宇同学在一次手工制作活动中,先把一张矩形纸片按图1的方式进行折叠,使折痕的左侧部分比右侧部分短1cm;展开后按图2的方式再折叠一次,使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1cm,再展开后,在纸上形成的两条折痕之间的距离是cm.图1图2解析本题的一般解法是从寻找线段间的数量关系来思考:不妨设重叠部分长为xcm,则矩形的长为(2x+1)cm,则展开后,两条折痕左右两侧长分别为xcm,则两条折痕之间的距离为1cm.其实我们只要动手按步骤实际操作一下,无需象上面那样去进行复杂的思考,就可快速发现问题的答案为1cm.图3例2(江苏省泰州市中考题)如图3,在10×10的正方形网格纸中,线段AB、CD的长均等于5,则图中到AB和CD所在直线的距离相等的网格点的个数有A.2个B.3个C.4个D.5个解析这是一道选择题中的压轴题,难度较大,得分率较低,许多考生不能从题目中挖掘隐含条件而“小题大做”、“小题繁做”,甚至有考生(考后调查表明)是在“...     

穿针引线 联珠合璧——对一道课本习题的探究

苏教版普通高中课程标准实验教科书选修2-1数学第29页习题2.2(1)中第7题(探究·拓展): (操作题)准备一张圆形纸片,在圆内任取不同于圆心的一点F,将纸片折起,使圆周过点F(如图1),然后将纸片展开,就得到一条折痕l.这样继续折下去,得到若干折痕.     

一道中考折叠问题的三种解法

<正>原题呈现(2017·潍坊)如图1,将一张矩形纸片ABCD的边BC斜着向AD边对折,使点B落在AD上,记为B′,折痕为CE;再将CD边斜向下对折,使点D落在B′C边上,记为D′,折痕为CG,B′D′=2,BE=1/3BC.则矩形纸片ABCD的面积为____.分析折叠问题是轴对称变换(或轴反     

关注平行四边形的折叠问题

<正>近年来中考中,出现了一类平行四边形折叠问题.解答时需注意:在折叠前后,折痕两边能够完全重合的部分是全等图形,它们的对应线段相等、对应角相等.现举例介绍如下:例1如图1,在平行四边形ABCD中,点E、F分别在边DC、AB上,DE=BF,把平行四边形ABCD沿直线EF折叠,使得点B、C分别落在B′、C′处,线段EC′与线段AF交于点G,连接DG、B′G.(1)求证:EG=FG;(2)DG=B′G吗?为什么?     

折纸告诉你直角等分问题的数学原理

一、问题的引入 我们知道,一张正方形的纸（如图1）如果按其对角线AD往上翻折,那么右下角∠D就被平分了,即将一个90°的角分成了两个相等的45°角．因此很容易利用折纸的方法得到直角的角平分线．那么,如何用最直接的方法得到直角的三等分线呢？如图2,先将正方形纸片对折,得到折痕MN,再将右底角向上翻折,使得翻折后的顶点落在折痕MN上,如图3．     

两法剪拼矩形

任意一个凸四边形,你能剪拼成一个与其面积相等的矩形吗?方法一:"三刀法"图1剪拼方法如下:(1)如图1,取四边形各边的中点A、B、C、D,连结BD,过点A、C     

"轴对称"思想的应用——一节解析几何课的探究与联想

上海市高二年级第一学期数学(试验本)第128页,复习题(A)中第五题:图1有一张长为8,宽为4的矩形纸片ABCD,按图1所示方法进行折叠,使每次折叠后点B都在AD边上,此时将B记为B′(注:图中的EF为折痕,点F也可落在CD边上),过B′作B′T∥CD,交EF于点T,求点T的轨迹方程.图21学生探究的思维路径生1:建立如图2所示直角坐标系,则A(0,4),C(8,0),D(8,4).设T(x,y),则B′(x,4).先求出B′B的中点P(2x,2).因为TP⊥B′B,所以kTP·kB′B=-1,所以y-2x-2x·4x--00=-1,所以T点的轨迹方程是:y=-x82 2.生2:如图2,设E(0,b),T(x,y),B′(x,4),因为|B′E…     

一道立体表面最短路径问题解答的缺陷

<正>北师大版八年级教材上有这样一个问题:如图1,长方体长为15cm,宽为10cm,高为20cm,点B离点C的距离是5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短路程是多少?本题不少同学的解答如下:沿长方体的侧棱HI剪开、展开,即蚂蚁走右面ADCE和前面CDHI,得到其侧面展开图,如图2,因为"两点之间,线段     

这道课本例题的解法对吗?

初中《几何》课本上的一道题.如图1,要在河边修建一个水泵站,分别向张庄、李庄送水.修在什么地方,可使所用水管最短? 课本的处理方法是将它转化为一道几何作图题: 已知:直线α和α的同侧两点A、B(图1).求作:点C,使C在直线α上,并且AC CB最小. 作法 1. 作点A关于直线α的对称点A’. 2.连结A＇B交α于点C,点C就是所求的点.     

试题因探究而精彩

一、试题与答案回放题目:(江苏盐城市第27题)(1)情境观察.将矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开,得到△ABC和△A′C′D,如图1所示.将△A′C′D的顶点A′与点A重合,并绕点A按逆时针方向旋转,使点D、A(A′)、B在同一条直线上,如图2所示.观察图2可知:与BC相等的线段是     

“饮马问题”的拓展

问题如图1,A为马厩,B为帐篷,牧马人某一天要从马厩A牵出马,到笔直的河岸l去饮马,然后回到帐逢B,走什么样的路线最短?解作A点关于直线l的对称点A′,连结A′B,交l于点P,根据对称性,则有PA= PA′,故有PA PB=PA′ PB．由“两点之     

源于课本 触类旁通

<正>习题呈现和解答苏科版《义务教育课程标准实验教科书·数学》九年级(上册)有这样一道题:如图1,P是⊙O外一点,直线PO分别交⊙O于点A、B,则PA是点P到⊙O上的点的最短距离,PB是点P到⊙O上的点的最长距离.你能说明理由吗?解先说明PA是点P到⊙O上的点的最短距离.如图2,在⊙O上取一点C(不与点A重合).当点C与点B重合时,PC=PB=PA+AB,故PA相似文献   

品味一道课改实验区中考压轴题

原题:(07安徽第24题)如图1,已知⊙P的圆心在反比例函数y=xk(k>1)图象上,⊙P与x轴相交于A、B两点,且始终与y轴相切于定点C(0,1).(1)求经过A、B、C三点的二次函数图象的解析式;(2)如图2,若二次函数图象的顶点为D,问当k为初何步感值时受,:四边形ADBP为菱形?本题是代数与几何相结合     

正方形折叠中的一个发现

<正>一、动手操作如图,将正方形纸片ABCD折叠,使点B落在CD边上一点E(不与点C、D重合),AB的对应边为FE,且FE交边AD于点G,压平后得到折痕MN.二、探究发现:∠GBE的值不变,为45°证明由折叠知:BN=NE,∠ABC=∠FEN=∠A=∠C=90°.连接BE.设∠NBE=∠NEB=α.则∠ENC=2α,∠BEC=90°-α,∠FEB=90°-α.∴∠BEC=∠FEB=90°-α.过点B作BQ⊥FE交FE于点Q.在△BEC与△BEQ中,BE=BE,∠BEC=∠FEB,