y=(1-cosx+sinx)/(1+cosx+sinx)是奇函数吗

题目:判断函数y=(1-cosx+sinx)/(1+cosx+sinx)的奇偶性。解:y=(1-cosx+sinx)/(1+cosx+sinx)=(2sin~2(x/2)+2sin(x/2)cos(x/2))/(2sin~2(x/2)+2sin(x/2)-cos(x/2))=2sin(x/2)(sin(x/2)+cos(x/2))/2cos(x/2)(cos(x/2)+sin(x/2))=tg(x/2)。∵ y=tg(x/2)是奇函数。∴ y=(1-cosx+sinx)/(1+cosx+sinx)是奇函数。表面看来,以上解法无懈可击。但如果注意到当     

几个正(余)切函数公式的应用技巧

本文所谈及的系指如下公式:(1)tgα±tgβ=tg(α±β)(1tgαtgβ);(2)tgαtgβ=sin(α±β)/cosαcosβ(3)tgα/2=(1-cosα)/sinα,ctgα/2=(1 cosα)/sinα(4)     

一种三角变形的应用

六年制重点中学高中数学课本《代数》第一册复习参考题二A组第十四题是:已知tgα=3,计算:(1)(4sinα-2cosα)/(5cosα+sinα);(2)2sin~2α/3+cos~2α/4;(3)sinαcosα;(4)(sinα++cosα)~2,这个题目的正确解法是:先将每个式子都变形为只含有tgα的式子,再把tgα=3     

布洛卡点与一道IMO试题

题设P是△ABC内一点,求证∠PAB、∠PBC、∠PCA至少有一个小于或等于30°。这是1991年举行的第32届国际数学奥林匹克第五题,我们把黄岗中学王崧的解法(参见[1])摘要如下: 证明如图1,容易推得sinasinβsiny=sin(A—a)sin(B—β)sin(c—y)(1) 由于当x,y∈(0,π)时有 sinxsiny=(cos(x-y)-cos(x y))/2 ≤sin~2(x y)/2 (2) 以及Insinx是上凸函数,故 sinasinβsinysin(A-α)sin(B-β)sin(C-y)≤sin~6(α β y A-a B-β C-)/6=(1/(2~6)) (3)     

一堂习题课

高中《代数》第一册P115,第17题,已知tgα=2,求(sinα cosα)/(sinα-cosα)的值。此题虽浅显简单,但对学生培养能力、发展智力、引起兴趣,能起到相当的作用。我在讲完同角三角函数的基本关系式一节后,就此题并围绕它上了一节习题课。一题多解提问:上一节课布置的已知tgα=2,sinα、cosα的值各等于多少?同学们都解得sinα=±(2 5~(1/2))/5,cosα=±5~(1/2)/5。随即要大家练习P115。第17题,同学     

数学问题解答

下面的问題,提供讀者解答,但解答不必寄来。本期間題的答案将在下期发表。欢迎讀者提出适合中学数学水平的間題。来信请寄至北京德胜门外北京师范大学数学系轉数学通报问題解答栏。第一期間題解答 (解答由提出人给出) 512.求方程 x+x/(x~2-1)~(1/2)=35/12的实数根。解、由原方程可知|x|>1,故可令x=secφ,則(x~2-1)~(1/2)=tgφ,而原方程化为 secφ+secφ/tgφ=35/12即 (sinφ+cosφ)/(sinφcosφ)=35/12两端平方 4(1+sin 2φ)/(sin~2 2φ)=1225/144即 1225sin~2 2φ-576sin 2φ-576=0。解得sin 2φ=24/25,那么cos 2φ=±7/25。所以     

关于积的三个三角恒等式的推广

一易证下列三个恒等式成立: (1)sinθsin(θ+π/ 3)sin(θ+2π/ 3) =sin3θ/4; (2)cosθcos(θ+π/3)cos(θ+2π/3) =-1/4cos3θ; (3)tgθtg(θ+π/3)tg(θ+2π/3) =-tg3θ。本文把上述三个恒等式予以推广,其一般形式为: (Ⅰ) multiply form j=1 to n sin(θ+(j-1)/nπ)=sinnθ/2~(n-1); (Ⅱ) multiply form j=1 to n cos(θ+(j-1)/nπ) =(-1)~(n-2) sinnθ/2~(n/1) (n为偶数), (-1)~(n-1)~2 cosnθ/2~(n-1)(n为奇数);     

一个值得注意的三角公式

由公式tg2a=2tga/(1-tg~2a)变形后可得 ctg2a=(1-tg~2a)/2tga=1/2(ctga-tga), ∴tga=ctga-2ctg2a *对这个公式中的a和系数作适当代换后,便可导出有用的公式。现举例说明公式*的应用。例1 计算tga+2tg 2a+4tg 4a+…++2~(n-1)tg~(n-1)a。解由tga=ctga-2ctg 2a依次用a、2a、2~2a、…、2~(n-1)a来代换a,同时用1、2、…、2~(n-1)乘相应的等式,于是得到原式=(ctga-2ctg2a)+2(ctg2a-2ctg2~2a)+2~2(ctg2~2a-2ctg2~3a)+…+2~(n-1)(ctg2~(n-1)a-2ctg2~na)=ctga-2~nctg2~na。     

三边成等差数列的三角形的一个性质及应用

三边成等差数列的三角形有下列性质定理设△ABC中a、b、c是角A、B、C的对边,则a、b、c成等差数列的充要条件是tg(A/2)tg(C/2)=1/3。证明△ABC的三边a、b、c成等差数列(?)2b=a+c(?)2sinB=sinA+sinC(?)4sin(B/2)cos(B/2)=2sin[(A+C)/2]cos[(A-C)/2](?)2sin(B/2)cos(B/2)=cos(B/2)cos[(A-C)/2](?)2sin(B/2)=Cos[(A-C)/2](?)2Cos[(A+C)/2]=cos[(A-C)/2](?)2cos(A/2)cos(C/2)-2sin(A/2)sin(C/2)=cos(A/2)cos(C/2)+sin(A/2)sin(C/2)(?)cos(A/2)cos(C/2)=3sin(A/2)sin(C/2)(?)tg(A/2)tg(C/2)=1/3 由于上述箭头都是可逆的,因此定理得证。应用这个性质来解决三边成等差数列的三角形的有关问题,往往是奏效的。     

辅助函数法应用举例

本文给出用辅助函数法解题的若干例子。由此可以看出辅助函数法应用的一斑。例1 已知acosθ bsinθ=c,acosφ bsinφ=c((θ-φ)/2≠kπ,k为整数)。求证a/cos(θ φ)/2=b/sin(θ φ)/2=c/cos(θ-φ)/2 证明作辅助函数f=(x,y)=ax by-c,则点P(cosθ,sinθ),Q(cosφ,sinφ)在直线f(x,y)=0上,此时直线方程为ax by=c,由两点式可得 (y-sinθ)/(x-cosθ) =(sinθ-sinφ)/(cosθ-cosφ) ∴xcos[(θ φ)/2] ysin[(θ φ)/2] =cos[(θ-φ)/2],     

杨乐不等式组

用配方法可以很方便地证明杨乐不等式及其许多推广 ,先看杨乐不等式 :设A >0 ,B >0 ,A +B≤π ,0≤λ≤ 1,则cos2 λA +cos2 λB - 2cosλAcosλBcosλπ≥sin2 λπ .证　左边 -右边=cos2 λA +cos2 λB - 2cosλAcosλBcosλπ -sin2 λπ=cos2 λπ +cos2 λAcos2 λB - 2cosλAcosλBcosλπ　 -cos2 λAcos2 λB +cos2 λA -sin2 λB=(cosλπ -cosλAcosλB) 2 +cos2 λA( 1-cos2 λB)　 -sin2 λB=(cosλπ -cosλAcosλB) 2 -sin2 λAsin2 λB=[cosλπ -cosλ(A +B) ] [cosλπ -cosλ(A -B) ] .∵ |A±B|≤π ,∴λ…     

三倍角公式一用

平面三角中三倍角公式是 sin3α=3sinα-4sin~3α。 cos3α=4cos~3α-3cosα。三倍角公式应用较广,它可以解决一些证明、求值、三角方程、应用题等问题。三倍角公式可以变化成如下形式: sin3α=4sinαsin(60°-α)sin(60°+α) 〈S〉 cos3α=4cosαcos(60°-α)cos(60°+α) 〈C〉 tg3α=tgα·tg(60°-α)tg(60°+α) 〈T〉证明:sin3α=3sin-4sin~3α=4sinα(3/4-sin~2α)=4sinα(sin60°-sina)(sin60°+sinα)=4sinαsin(60°-α)sin(60°+α)。     

利用二直线重合的条件解三角题

二直线重合的条件在解几中已有广泛的应用,下面举几个三角方面的例子: 例1 消去θ acosθ+bsinθ=c, acos3θ+bsin3θ=c. 解:设直线ax+by-c=0 ①显然,点(cosθ,sinθ)、(coc3θ,sin3θ)在此直线上,又过这二点的直线方程可写成 (y-sinθ)/(x-cosθ)=(sinθ-sin3θ)/(cosθ-cos3θ),即cos2θ·x+sin2θ·y-cosθ=0 ②由于①、②为同一直线故可得a/cos2θ=b/sin2θ=c/cosθ,∴a~2/cos~22θ=b~/sin~22θ=c~2/cos~2θ,∴(a~2+b~2-2c~2)~2=a~2(a~2+b~2).     

两道三角题的推广和应用

在高级中学课本代数第一册之末,列有两道求证的三角题: 我们可以看到与中的各角成等差数列,如果我们用α表示首角,用β表示公差和用α+(n-1)β表示末角,那么就可以把这两个三角恒等式推广成下列的一般形式: (1)sina+sin(α+β)+sin(α+2β)++sin[α+(n-1)β] (2)cosα+cos(α+β)+cos(α+2β)+…+cos〔α+(n-1)β〕对(A)和(B)的证明,读者可以自证,在     

对“一个有用的三角等式”的进一步讨论

84年第6期《中学数学》发表了“一个有用的三角等式”,此公式应用甚广,且形式可推广到任何三角函数,利用积化和差公式不难证得:4sinαsin(π/3-α)sin(π/3+α)=sin3α (1)4cosαcos(π/3-α)cos(π/3+α)=cos3α (2) 显然(1)与(2)互除即得关于正(余)切的等式: tgαtg(π/3-α)tg(π/3 +α)=tg3πα。 (3) 由(1)与(2)将得正(余)割公式 secαsec(π/3-α)sec(π/3+α)=4sec3α (4) 从(1)的证明过程,求β=?时,将有; 4sinαsin(β-α)sin(β-α)=3sinα, (5) 经验证知β=π/3、2π/3、4π/3时(5)也成立。     

从半角正切公式的几何意义谈起

在现行中学数学课本内,对于余弦定理,两角差的余弦公式,都是采用‘坐标法’证明的。为了巩固和提高同学们用坐标法’解三角题的能力,笔者试图对高中数学第一册中的半角正切公式:tg(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα等给出坐标法证明,以利于加强同学们对一些三角函数式的几何意义的理解,从而提高空间想象力。 (一)建立如图一的直角坐标系,确定单位圆,在单位圆上选取三点:A(-1,0),B(1,O),     

用(sinα±cosα)~2=1±2sinαcosα解题

由平方关系sin2α+cos2α=1不难得到(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα.它揭示了sinα+cosα、sinα-cosα、sinαcosα三者之间的密切关系,知其一必能求出另二.在一些解方程、求最值问题中,恰当运用此关系有助于简化运算、发现解题途径.例1已知sinα+cosα=1/5(0<α<π),求tanα的值.分析本题可先求出sinα-cosα的值,再和sinα+cosα=15联立方程组求出sinα,cosα     

有比最大值更大的值

已知:a,b,c,d∈R,p,q∈R~+,且a~2+b~2=p,c~2+d~2=q。求ac+bd的最大值。解一:设a=p~(1/2)sinα,b=p~(1/2)cosα,(0≤α≤2π);c=q~(1/2)sinβ,d=q~(1/2)cosβ,(0≤β≤2π) ∵ac+bd=(p·q)~(1/2)(sinαsinβ+cosαcosβ) =(pq)~(1/2)cos(α-β) 故当α=β时,ac+bd有最大值。且值为(pq)~(1/2)。据基本不等式x~2+y~2≥2xy却易有下解。解二:∵a~2+c~2≥2ac,b~2+d~2≥2bd ∴ ac+bd≤(a~2+b~2+c~2+d~2)/2=(p+d)/2(此是一与a,b,c,d均无关的常数)。故有最大值是(p+d)/2。从上述解一、二我们得知,因(p+d)/2≥(pq)~(1/2),即有比ac+bd的最大值(pq)~(1/2)更大的值(p+d)/2。     

第五章 两角和与差的三角函数

1 化简与求值一、选择题 1.若锐角α、β满足sinα-sinβ=-1/2,cosα-cosβ=1/2,那么tg(a-β)的值是( ) (A)7~(1/2)/3 (B)-7~(1/2)/3 (C)±7~(1/2)/3 (D)7~(1/2)/3 2.若T=其中270°相似文献   

一道三角函数题参考答案的探究

<正>近日做到这样一道题目:已知f(sinθ)=cos2θ+cosθ.(1)求y=f(cosx)解析式;(2)求(1)中函数在x∈[0,π/2]上的最大值和最小值.参考答案是:解(1)∵cosx=sin(π/2-x),∴y=f(cosx)=f[sin(π/2-x)]=cos[2(π/2-x)]+cos(π/2-x)=cos (π-2x)+sinx=-cos2+sinx=