Der Spannungszustand in einem aus zwei elastischen Halbscheiben bestehenden Verbundkörper

Zusammenfassung Für beliebige Punkte eines ebenen Verbundkörpers, der aus zwei verschiedenen, längs einer endlichen Strecke fest miteinander in Verbindung stehenden elastischen Halbscheiben zusammengesetzt ist, wird der Spannungszustand vollständig bestimmt. Es werden fünf Belastungsarten diskutiert, nämlich I. reiner zentrischer Druck bzw. Zug, II. Schub ohne Verdrehungsmöglichkeit, III. reiner Schub, IV. reine Verdrehung, V. Wärme- und Vorspannungen. Um einen Einblick in den Verlauf der Spannungen zu bekommen, wurden diese längs der Berandung und längs der Symmetriegeraden für die beiden möglichen Extremfälle (beide Scheiben bestehen aus demselben Material; eine der beiden Scheiben ist starr) und für die fünf betrachteten Belastungsarten numerisch ausgewertet und in Diagrammen in dimensionsloser Form niedergelegt.     

Beiträge zur rationellen Hydrodynamik der Gitterströmung

Zusammenfassung Für den Auftrieb eines ebenen Schaufelgitters wurde eine einfach zu handhabende Formel aufgestellt, die es gestattet, die Auftriebscharakteristik zu berechnen, wenn die Auftriebszahl für den Einzelflügel oder für eine andere Gitteranordnung desselben Profils bekannt ist. Ferner wird eine Berechnungsvorschrift für die Druckverteilung mitgeteilt. Die Brauchbarkeit der theoretischen Ansätze wird durch Vergleich mit Versuchsergebnissen nachgewiesen. Da\ die übereinstimmung zwischen Rechnung und Versuch recht gut ist, ist vom hydrodynamischen Standpunkt nicht weiter verwunderlich. Denn auch bei einer durch Reibungswirkungen beeinflu\ten Gitterströmung ist die von der Gitteranordnung herrührende-Zusatzströmung sehr genau eine Potentialströmung; die Wirkung der Reibung Äu\ert sich wesentlich nur in einer Umbildung der GrundströmungF ₀(z), die also in Wirklichkeit keine reine Potentialströmung sein wird. Diese Umbildung der Einzelströmung ist aber dadurch berücksichtigt worden, da\ für c_ae(O) der aus Messungen entnommene Auftriebsbeiwert des Einzelflügels eingesetzt wurde. Bemerkenswert ist, da\ die Methode auch bei Teilungen < 1 noch brauchbare Werte liefert, da\ also ihr Gültigkeitsbereich ziemlich gro\ zu sein scheint.     

Beitrag zur Berechnung der hyperbolischen Paraboloidschale

Zusammenfassung Das hyperbolische Paraboloid z=c/a² x y wird nach der Membran-theorie für eine Reihe von Belastungen mit Hilfe einer Spannungsfunktion berechnet. Für die Grundrißprojektionen der Membrankräfte, bezogen auf die Einheit der Grundrißfläche, werden geschlossene Ausdrücke angeführt, aus denen die wahre Größe der Membrankräfte berechnet werden kann.Für Windlast wird der Neigungswinkel der Windrichtung gegen die Tangentialebene im allgemeinen Flächenpunkte angegeben und daraus die Belastung senkrecht zur Fläche festgestellt, welche, in die drei Achsenkomponenten zerlegt, die Schubkraft, und durch Differentiation und Integration die achsenparallelen Normalkräfte liefert.Ähnlich wird bei hydrostatischer und waagerechter Belastung vorgegangen; weiter wird eine Reihe senkrechter Belastungen behandelt (Keil-, Trapez-, Parabel- und windschiefe Belastung, sowie gleichförmige Belastung der Oberfläche und des Grundrisses). Auch wird die Berechnung der Schale mit erhöhten Giebeln gezeigt.     

Praktische Methoden zur Lösung von Problemen der stationären und instationären Grundwasserströmungen

Zusammenfassung Im Anschlu\ an zwei vorangegangene Arbeiten, in denen Grundlagen für die Behandlung von stationÄren und instationÄren Grundwasserströmungen entwickelt wurden, wird hier die Anwendung auf praktische Probleme der Grundwasserströmungen gezeigt. Nach einer kritischen Betrachtung der Dupuitschen NÄherungslösung werden die Grundgleichungen der instationÄren Grundwasserbewegung zur Anwendung der Relaxationsmethode auf dimensionslose Form gebracht. Am Beispiel der instationÄren Durchströmung eines Dammes wird die Anwendung der Relaxationsmethode auf ebene Probleme erlÄutert und zugleich gezeigt, wie man sich ein Bild von der Beanspruchung des Festkörperskelettes verschaffen kann. Als Beispiel für die Lösung eines zylindersymmetrischen Problems mittels der Relaxationsmethode wird der stationÄre Zuflu\ zu einem Brunnen als Grenzfall, dem eine instationÄre Strömung asymptotisch zustrebt, behandelt.     

Nichtstationäre,kugelsymmetrische Gasbewegung und nichtstationäre Gasströmung in Düsen und Diffusoren

Zusammenfassung Die nichtstationäre, kugelsymmetrische, reibungsfreie Gasströmung wird als eine eindimensionale Gasbewegung in einem Quellfeld angesehen. Das Quellfeld läßt sich annähern entweder durch Quellebenen in kleinen Abständen oder durch ein Quellfeld mit stückweise konstanter Ergiebigkeit. Bei der ersten Näherung läßt sich die Quellebene als plötzliche Querschnittsänderung bei einer Diffusorströmung ansehen, und man hat die Aufgabe, die Gasbewegung in einem Kanal mit stückweise konstantem Querschnittsverlauf zu bestimmen. Nach der Diskussion der Kreuzung einer Welle mit einer unstetigen Querschnittsänderung, die bei nach innen gerichteten, genügend starken Wellen das Auftrcten der kritischen Schallgeschwindigkeit zeigt, läßt sich die für eindimensionale Gasbewegung ermittelte Näherungsmethode anwenden, womit man in allen Fällen zu einer Näherungslösung gelangt, deren Genauigkeit man beliebig steigern kann. Als Anwendungsbeispiel wird die auf adiabatische Zustandsänderung vereinfachte Explosion behandelt. Die zweite Möglichkeit einer Näherungsmethode, die bei einem Quellfeld stückweise konstanter Ergiebigkeit zu einer Iteration der Potentialgleichung führt, wird angedeutet.     

Beitrag zur Knickung der Rechteckplatte von quadratisch veränderlicher Steifigkeit

Zusammenfassung Ausgehend von der Differentialgleichung der Mittelebene der gebogenen Platte von veränderlicher Dicke wird die Knickung einer Rechteckplatte von quadratisch veränderlicher Steifigkeit in einer Richtung bei unnachgiebiger und gelenkiger Auflagerung aller Ränder untersucht. Als Knickbedingung ergibt sich cine aus Zylinderfunktionen mit imaginärem Argument gebildete Gleichung. Die Ermittlung der Knicklast läuft auf die Bestimmung der Nullstellen dieser Gleichung hinaus. Für eine angenommene Druckbelastung längs der Rändery=konst. wird die zugchörige kritische Knickspannung längs der Ränderx=konst. in drei Fällen ermittelt. Bei fehlender Belastung der Rändery=konst. wird ein Vergleich des Materialaufwandes mit der in gleicher Weise belasteten Platte von unveränderlicher Dicke durchgeführt. In diesem Fall wird ferner die Lösung für die Durchbiegung der Platte angegeben, womit die Untersuchung auch auf nicht Naviersche Randbedingungen erweitert werden kann. In den durchgerechneten Beispielen wurde der Druck längs der Rändery=konst. so klein angenommen, daß der Parameter der Zylinderfunktionen reell blieb. Bei größerem Druck wird der Parameter indessen imaginär. Da für Zylinderfunktionen mit imaginärem Parameter und Argument noch keine Tabellen gerechnet sind, muß die Ausdehnung der Arbeit auf solche Fälle einer späteren Mitteilung vorbehalten bleiben.     

Ausbildung eines Wirbels an der Kante einer Platte

Zusammenfassung Die Strömung um die unendlich breite Platte kann man darstellen als eine Potentialströmung mit Unstetigkeitsflächen, die von den Plattenkanten ausgehen. Durch eine konforme Abbildung läßt sich bei gegebener Form und Wirbelbelegung der Unstetigkeitsflächen das Geschwindigkeitsfeld berechnen. Eine Bedingung ist die, daß die Geschwindigkeit an den Plattenkanten endlich sein muß. Sie ist aber nicht ausreichend zur Bestimmung der Form und Wirbelbelegung der Fläche. Auf Grund einer Ähnlichkeitsforderung gelingt es aber, eine Lösung dieser Aufgabe für die unendlich breite Platte zu finden, die für den frühesten Beginn der Flüssigkeitsbewegung richtig ist. Ausgehend von dieser Lösung wird die weitere Entwicklung der Wirbelbelegung und Gestalt der Fläche bei einer endlich breiten Platte verfolgt.Zum Schluß möchte ich Herrn ProfessorBetz für die Anregung zu dieser Arbeit und seine rege Unterstützung bei der Durchführung meinen besonderen Dank aussprechen.Göttinger Dissertation.     

Zur Theorie von Auskühlungs- und Anheizungsvorgängen

Zusammenfassung Nach der Methode der Quellpunkte werden zunächst an Hand einfacher Beispiele neuartige Lösungen für Temperaturausgleichsvorgänge in ebenen, gleichförmigen Platten von endlicher Dicke in Form von unendlichen Reihen entwickelt. Diese weisen im Gegensatz zu der bisher üblichen Darstellung, der Entwicklung nach Fourierreihen, zu Beginn des Ausgleichsvorganges sehr gute Konvergenz auf; dafür wird diese aber mit fortschreitender Zeit immer ungünstiger. Beide Lösungsformen ergänzen sich also gegenseitig und können daher zweckmä\ig nebeneinander verwendet werden. Um aber auch die hier gefundenen Lösungen für beliebig späte Zeitpunkte verwendbar zu machen, wurde ein einfaches Verfahren zur Entwicklung von praktischen Näherungslösungen für schlecht konvergente, unendliche Reihen abgeleitet. Dieses liefert dabei am Anfang des Vorganges sowie für genügend gro\e Werte der Zeit sehr genaue Ergebnisse und ergibt für mittlere Zeitpunkte einen beliebig klein zu haltenden Grö\twert des Fehlers. Weiterhin werden dann exakte Lösungen für Körper entwickelt, die aus planparallelen Schichten bestehen. Für ebene Grundfelder erweist sich hierbei die Auffassung als vorteilhaft, da\ diese an der ebenen Grenzfläche zweier Stoffe teilweise reflektiert werden. Die Reflexionszahl ergibt sich dabei nach den gleichen Gesetzen wie für periodisch veränderliche Vorgänge. Die Ergebnisse dieser Betrachtungen werden auch auf den Wärmeübergang angewendet. Dabei zeigt sich, da\ für die vorliegenden nichtstationären Vorgänge auch das anfängliche Temperaturfeld in der Grenzschicht von Bedeutung sein kann. Schlie\lich werden noch die Gleichungen der Grundfelder für eine Reihe von Wärmequellen der verschiedensten Formen entwickelt, so z. B. für die Kugel- und Zylinderflächenquelle (diese dabei für endliche und unendliche Zylinderlänge), die Raumquelle in Form eines Quaders und die Kreis-Linienquelle.     

über einige Lösungen des Problems der rotierenden Scheibe

Zusammenfassung Die Differentialgleichung des Problems der rotierenden Scheibe la\t sich für eine Klasse von Scheibenprofilen durch die hypergeometrische Funktion lösen. Aus dieser Klasse werden solche Fälle herausgegriffen, in denen sich die hypergeometrische Funktion in geschlossenen Ausdrücken oder rasch konvergierenden Reihen, die zum Teil tabuliert sind, ausdrücken lä\t. Das partikuläre Integral der inhomogenen Gleichung lä\t sich im allgemeinen durch einen einfachen Potenzausdruck angeben.In einer zweiten Mitteilung ist beabsichtigt, die hier angegebenen Lösungen zahlenmä\ig so weit auszuarbeiten, da\ sie für die technische Praxis unmittelbar verwertbar sind. Dazu gehört unter anderem die Tabulierung der Funktionen in Gleichung (17), soweit dies nicht bereits geschehen ist.     

Die Grundgleichungen für den Verbund bei Stahlbeton-Rechteckplatten

Zusammenfassung Das Problem des Plattenverbundes läßt sich, nachdem man bei der Darstellung der maßgebenden Beziehungen weitgehend in Analogie zur Theorie elastischer orthotroper Platten vorgeht, letztlich auf ein System dreier simultaner Integro-Differentialgleichungen für die Mittelflächenverschiebungen zurückführen, die man für konstante Steifigkeiten mit Hilfe von Produktansätzen lösen kann. Im allgemeinen Falle der veränderlichen Bewehrung wird eine exakte Lösung kaum noch zu erreichen sein. Man kann in solchen Fällen nach der Methode Sattler mit Hilfe angenommener Zeitabhängigkeiten die Gleichungen zunächst einmal auf reine, nur Ableitungen nach x und y enthaltende Differentialgleichungen zurückführen, für die dann z. B. im Sinne des Rifzschen Verfahrens eine Näherungslösung aufzufinden wäre.Abschließend sei noch bemerkt, daß mit der gelungenen Darstellung des Zusammenhanges zwischen den (i. a. zeitabhängigen) Schnittlasten und den Plattenverzerrungen nunmehr auch im Rahmen der Loveschen Näherung der Schalenverbund allgemein untersucht werden kann. Durch geeignete Einführung der Vorspannstahlquerschnitte in die ideellen Gesamtquerschnittswerte kann man auch das Problem der vorgespannten Flächentragwerke erfassen.     

Strömung durch Schlitz- und Lochblenden bei kleinen Reynolds-Zahlen

Zusammenfassung Bei der Strömung durch Schlitz- und Lochblenden ist für sehr kleine Reynoldsche Zahlen (R < 2, wobei R auf die Schlitzbreite bzw. den Lochdurchmesser bezogen wird) der Druckfall proportional der durchfließenden Menge. Erst bei größeren Reynoldsschen. Zahlen bildet sich eine quadratische Abhängigkeit heraus. Für das ebenen Problem und den Grenzfall R=0 wird eine exakte Lösung der Navier-Stokesschen Differentialgleichungen mit auf der Ein- und Ausströmseite symmetrischen Stromlinien hergeleitet und eine Formel für den Druckabfall aufgestellt. Für endliche Reynoldssche Zahlen existieren nur Näherungslösungen, die lediglich eine Abschätzung des Druckverlaufes in Abhängigkeit von der Reynoldsschen. Zahl liefern. Auf der Ausströmseite löst sich die Strömung etwa bei R > ² ab und bildet einen laminaren Strahl. Ähnliche Verhältnisse gelten auch für die Lochblende. Auch hier wird für den Fall R=0 eine Lösung abgeleitet, die aber nur näherungsweise gültig ist. Der rechnerisch ermittelte Wert für den Druckabfall bei sehr kleiner Reynoldsscher Zahl liegt etwa 25% unter dem von Johannsen (1930) gemessenen Wert. Der Unterschied ist vermutlich auf die endliche Dicke und konische Öffnung der Lochblende bei den genannten Versuchen zurückzuführen.Vorgetragen auf der Gamm-Tagung Aachen 1953.     

Zur Fahrmechanik des gummibereiften Kraftfahrzeugs

Zusammenfassung Auf Grund der Erkenntnis, da\ ein gummibereiftes Rad nur dann Seitenkräfte aufnehmen kann, wenn es schräg zur Fahrtrichtung läuft, und da\ diese Seitenkräfte dem Raddruck nicht proportional sind, wurde das Verhalten eines mit konstanter Geschwindigkeit fahrenden Kraftfahrzeugs unter Beschränkung auf kleine Schräglaufwinkel untersucht. Es wurden die Gleichungen und je ein Beispiel für die beiden Hauptprobleme angegeben, entweder den für eine gegebene Bahn notwendigen Lenkeinschlag oder die mit einem gegebenen Lenkeinschlag sich ergebende Bahn zu bestimmen. Dabei zeigte sich, da\ der Schwimmwinkel des Fahrzeugs nicht in allen Fahrzuständen klein bleibt, sondern unter gewissen Bedingungen, die erörtert wurden, mit der Zeit über alle Grenzen wächst. Diese Stabilitätsbedingungen unterscheiden sich je nachdem, ob man eine bestimmte Schwerpunktsbahn durch genau bestimmte Lenkbewegungen erzwingt, welche die Rückwirkungen des Schwimmens auf die Schwerpunktsbahn in jedem Augenblick ausgleichen, oder ob man von einem beliebigen Lenkeinschlag ausgeht, wobei die Schwerpünktsbahn durch die Schwimmbewegungen des Fahrzeugs gestört wird, die ihrerseits wieder auf äu\ere oder Einlaufstörungen zurückzuführen sind. Praktisch sind die Stabilitätsbedingungen dieser zweiten Art von grö\erer Bedeutung, da man nicht voraussetzen darf, da\ der Fahrer jeweils genau der ersten Bedingung entsprechend lenkt.Schlie\lich wurde noch berechnet, wie man einem mä\igen Seitenwind entgegensteuern mu\, und unter welcher Bedingung das Fahrzeug dagegen unempfindlich ist.Die Arbeit wurde mit Unterstützung des Herrn Reichsverkehrsministers im Forschungsinstitut für Kraftfahrwesen und Fahrzeugmotoren an der Technischen Hochschule Stuttgart durchgeführt.     

Der zylindrische Schalenstreifen oberhalb der Beulgrenze

Zusammenfassung Oberhalb der Beulgrenze versagt die linearisierte Elastizitätstheorie. Man erhält eine erste Näherung für das elastische Verhalten ausgebeulter Bauteile, wenn man von den Potenzentwicklungen der Deformationen bei der Ausbiegung die Glieder zweiter Ordnung hinzunimmt, während man sich bei den Verschiebungen senkrecht zur Ausbeulrichtung weiterhin auf die linearen Glieder beschränken darf. Ferner darf man schwach gekrümmte Schalen als vorgekrümmte Platten behandeln.Unter diesen Voraussetzungen wurde mit Hilfe der energetischen Methode in der von Marguerre angegebenen Form ein sehr langer, schwach gekrümmter Schalenstreifen unter Schubund axialer Druckbelastung untersucht. Für ein bestimmtes Krümmungsmaß wurden Diagramme angegeben, aus denen die berechneten elastischen Größen für die beiden Grenzfälle vollkommen nachgiebiger und vollkommen steifer Querstützen entnommen werden können.     

Berechnung der Strömungsverluste von ungestaffelten ebenen Schaufelgittern

Zusammenfassung Zur Berechnung der Gitterverluste eines ebenen ungestaffelten Schaufelgitters aus vorgegebenen Profilen ist ein Rechenverfahren im Anschluß an eine Arbeit vonH. Schlichting undN. Scholz entwickelt worden. Als erster Schritt wird dabei mit Hilfe der Singularitätenmethode die Geschwindigkeitsverteilung an der Profilkontur sowie Zu- und Abströmrichtung in reibungsloser Strömung ermittelt. Mit den Ergebnissen der folgenden Grenzschichtrechnung werden die Gitterverluste sowie die Änderung von Zu- und Abströmrichtung durch die Reibung berechnet.Um einen Einblick in die Abhängigkeit der Strömungsparameter von den wesentlichsten geometrischen Parametern Profildicke und -wölbung sowie Gitterteilung zu erhalten (der Schaufelwinkel ist beim ungestaffelten Gitter unverändert _s =90°), sind die in Abb. 6 dargestellten Gitteranordnungen systematisch gerechnet worden. Aus den Ergebnissen sind diejenigen Anordnungen ermittelt worden, die bei einer vorgegebenen Strömungsumlenkung durch das Gitter die geringsten Verluste verursachen. Beschreibt man die vorgegebene Strömungsumlenkung durch die Gitterumlenkung (Änderung der Umfangskomponente der Abströmrichtung gegenüber der der Zuströmrichtung, mit der Durchsatzgeschwindigkeit dimensionslos gemacht), dann ergibt sich bei jedem Profil für eine gegebene Gitterumlenkung eine günstigste Teilung, bei der die Verluste einen Minimalwert annehmen. Diese Optimalwerte sind für alle gerechneten Profile in Abb. 18 zusammengefaßt. Mit diesen Optimalkurven lassen sich dann auch die Profile ermitteln, die ihrerseits für eine vorgegebene Aufgabe am günstigsten sind. Bei symmetrischen Profilen verursacht das 10% dicke Profil bei allen Gitterumlenkungen die geringsten Verluste. Bei gewölbten Profilen ist die günstigste Wölbung von der Gitterumlenkung abhängig, und zwar wächst die günstigste Wölbung mit der Gitterumlenkung.Gekürzte Fassung der Braunschweiger Dissertation 1953; Hauptberichter: Prof. Dr.H. Schlichting; Mitberichter: Prof. Dr.C. Pfleiderer. Auszugsweise vorgetragen auf der Tagung des VDI-Fachausschusses für Strömungstechnik in Zürich, 9. bis 11. Juni 1954. Diese Untersuchungen wurden durch die Deutsche Forschungsgemeinschaft unterstützt.     

Kritische Drehzahlen gewisser Rotorformen unter Berücksichtigung der Kreiselwirkung

Zusammenfassung In der vorliegenden Arbeit erfolgt die Berechnung der kritischen Drehzahlen von kontinuierlich besetzten Wellen konstanter Biegesteifigkeit mit einer Verallgemeinerung der von R. Grammel entwickelten Methode vermöge zweier miteinander äquivalenter Iterationsvorschriften: die eine bedient sich der Integrodifferentialgleichung, die zweite der Differentialgleichung samt Rand- und Übergangsbedingungen. Bei beiden Vorschriften wird die Wellenauslenkung ermittelt, die zu der mit einer linearen Kombination zulässiger Funktionen gebildeten Belastung gehört. Mit diesen Vorschriften und einer weiteren für die auftretenden Variationen geht man in die aus dem Hamiltonschen Prinzip folgende Variationsgleichung ein. Sinngemäße Übertragung der Grammelschen Methode führt zu einem linearen homogenen Gleichungssystem für die Unbekannten des Näherungsansatzes, dessen verschwindende Koeffizientendeterminante eine algebraische Gleichung für die Eigenwerte darstellt.Die charakteristische Eigenschaft der Methode von R. Grammel, obere Schranken — und zwar genauere als der Ritzsche Verfahren — zu liefern, tritt auch bei Berücksichtigung der Kreiselwirkung im Falle synchroner Präzession im Gegenlauf stets auf. Im Falle synchroner Präzession im Gleichlauf dagegen können die Näherungslösungen bei dem verallgemeinerten Grammelschen Verfahren z. T. oberhalb, z. T. unterhalb der entsprechenden strengen Lösungen liegen.Unter Beachtung des physikalisch-technischen Sachverhaltes lassen sich die hier abgeleiteten Näherungsgleichungen sowohl auf mehrfach gelagerte Wellen mit konstanter Biegesteifigkeit und kontinuierlicher Scheibenverteilung als auch auf Wellen (zweiund mehrfach gelagert) mit veränderlicher Biegesteifigkeit und Einzelscheiben übertragen. Das sich im zuletzt genannten Fall einstellende Endergebnis unterscheidet sich nur unwesentlich von demjenigen der Methode von A. Traenkle 4.Eine Fortsetzung dieser Arbeit bringt die Durchrechnung eines Zahlenbeispiels.Auszug aus der Frankfurter Dissertation. 1. Referent Prof. Dr.-Ing. K. Karas, 2. Referent Prof. Dr. R. Moufang.     

Zur Festigkeit von umlaufenden und quer zur Drehebene belasteten Stäben,die gelenkig an die Drehachse angeschlossen sind

Zusammenfassung Der gelenkige Anschluß von Drehflügelholmen an der Flügelwurzel erlaubt die Verwendung von so dünnen Holmen, daß die Flügel im Fluge mehr Seilen als biegesteifen Stäben gleichen. Trotzdem ist in den Holmen die restliche Biegespannung für die Festigkeit maßgebend. Es wird ein Verfahren entwickelt, welches gestattet, eine gegebene Biegemomentenverteilung durch Multiplikation mit einem konstanten Faktor bestmöglich der tatsächlichen Biegemomentenverteilung anzupassen. Die Anwendung des Verfahrens auf die Biegemomentenverteilung eines starren Holmes als Ausgangsverteilung liefert eine gute Näherung und gestattet bei gegebener Massen- und Biegesteifigkeitsverteilung die Angabe der Näherungslösung in geschlossener Form [Gleichung (25) bei konstanter Massenverteilung und Steifigkeit]. Die Durchrechnung eines Beispiels zeigt deutlich die eigenartigen hier auftretenden Verhältnisse insofern, als es sich innerhalb weiter Grenzen als unmöglich herausstellt, die im Fluge auftretende Biegespannung im Holm einerseits durch Verstärken der Wanddicken oder durch Vergrößerung des Holmdurchmessers herabzusetzen, während andererseits einer im Fluge sich günstig auswirkenden Verringerung des Holmdurchmessers infolge der Biegespannungen durch das Eigengewicht im Stand Grenzen gesetzt sind. Die Betrachtung der dynamischen Verhältnisse am gleichen Beispiel zeigt, daß erhebliche dynamische Beanspruchungen infolge der Erregung der ersten Eigenschwingung des Holmes durch periodisch veränderliche Luftkräfte auftreten. Eine Ähnlichkeitsbetrachtung an Hand der entwickelten Theorie lehrt, daß die Grenzen für die Vergrößerung von Drehflügelflugzeugen, wenn nur die Beanspruchungen im Fluge in Rechnung gestellt werden, die gleichen sind wie für Starrflügler, daß jedoch die Berücksichtigung der Biegespannungen aus dem Eigengewicht der Flügel im Stand engere Grenzen für die Vergrößerung der Flugzeuge bedingt als bei dem Starrflügler.     

Kennfelder für Schleppströmungspumpen zur Förderung nicht-newtonscher Flüssigkeiten

Zusammenfassung Ausgehend von den für ebene Schichtenströmungen gültigen Beziehungen wird gezeigt, wie man für ein Fluid mit beliebiger Fließfunktion die zur Auslegung einer Schleppströmungspumpe erforderlichen Kennfelder konstruieren kann, welche allgemeine Eigenschaften diese Kennfelder besitzen und wie sie bei speziellen Fluidmodellen aussehen. Es stellt sich dabei heraus, daß eine Parameterdarstellung zweckmäßig und bei beliebiger Form der Fließfunktion immer möglich ist, wobei ein dimensionsloses Maß für die Schubspannung an der feststehenden Wand die Rolle des Parameters spielt. Der Zusammenhang zwischen geeignet definierten dimensionslosen Größen, welche dem Druckanstieg, dem Volumenstrom und der Schleppgeschwindigkeit zugeordnet sind, läßt sich so stets in zwei leicht zu konstruierenden Diagrammen darstellen, denen explizite Formeln zugrunde liegen. Interessieren weitere Größen wie die von der Pumpe an das Fluid abgegebene Leistung oder der Pumpwirkungsgrad, so kommen entsprechend viele weitere Kennfelder hinzu. Ihre Handhabung bei der Lösung für die Praxis wichtiger Aufgaben erweist sich als denkbar einfach. Durch graphische oder numerische Elimination des Scharparameters aus je zwei der genannten Kennfelder bzw. den zugrunde liegenden Formeln können die Linien konstanter Schleppgeschwindigkeit, konstanter Schleppleistung und konstanten Wirkungsgrads im Druck-Durchsatz-Diagramm erzeugt werden. Dabei zeigt sich, daß die Kurvenschar konstanten Wirkungsgrads bei strukturviskosen und dilatanten Flüssigkeiten jeweils unverwechselbare Eigenschaften besitzt, die mit der Art der relativen Extrema des Pumpwirkungsgrads innerhalb der Zustände mit verschwindender Wandschubspannung zusammenhängen.

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Summary Starting from the equations which describe the steady shearing flow of a non-Newtonian fluid with arbitrary rate of shear function, the general properties of a pump with a fixed and a moving wall are discussed. It turns out that it is useful and possible for arbitrary rate of shear function to construct the pump characteristics by means of the shear stress on the fixed wall as a parameter. In this way the connection between the dimensionless pressure gradient, the dimensionless volume discharge per unit time and the dimensionless velocity of the moving wall can be represented in two diagrams for which explicit formulas exist. If one also is interested in the power added to the fluid and the efficiency of the pump, one has to construct two more diagrams on the basis of simple formulas with the aid of which it is easy to solve some important engineering problems. Eliminating from the figures the shear stress on the fixed wall, one obtains the pump characteristics for constant efficiency. These curves possess rather different properties for shear thinning and shear thickening fluids. The general results are demonstrated by means of some special fluid models in a series of diagrams.

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Mit 16 Abbildungen und 1 Tabelle     

Berechnung der niedrigsten Eigenschwingzahl des radial belasteten Kreisbogens

Zusammenfassung Mit Hilfe des Verfahrens von W. Ritz wird der Einflu\ eines gleichförmigen radialen Druckes auf die Eigenschwingzahlen eines an den Enden gelenkig befestigten oder eingespannten Kreisbogens untersucht, und zwar sowohl für die mit Dehnung verbundene (symmetrische) und für die dehnungslose (unsymmetrische) Schwingungsform. Mit zunehmendem Radialdrucke sinkt die Kreisfrequenz, sie verschwindet dann, wenn der Radialdruck einen jener kritischen Werte erreicht, bei denen der Kreisbogen knickt. Die Zahlenangaben in den Tabellen 1 bis 4 enthalten die numerischen Lösungen der Frequenzengleichungen (I) bis (IV) für eine Reihe von öffnungswinkeln des Kreisbogens. Aus diesen ist zu entnehmen, da\ für flache Kreisbogen die symmetrische Schwingungsform die niedrigste Eigenschwingzahl besitzt.     

Zur Dynamik einer unendlichen Platte auf dem Halbraum-Fundamentnachgiebigkeit und Wellenfeld bei harmonischer Punktlast

Übersicht Es wird das System einer unendlich ausgedehnten Platte auf einem homogenen Halbraum bei Anregung durch eine vertikale harmonische Punktlast untersucht. Die lösung für die vertikalen Verschiebungen der Platte und der Halbraumoberfläche läßt sich explizit als Fourierintegral über die Wellenzahl angeben. Die Polstellen des Integranden geben Auskunft über die Wellengeschwindigkeiten und Dämpfungen der freien Wellen des Systems. Für die Verschiebungen des Lastangriffspunktes läßt sich das Integral zum Teil geschlossen lösen, und man erhält die statische Nachgiebigkeit, sowie eine mittelfrequente und eine hochfrequente Asymptote. Für die allgemeine Lösung am Lastangriffspunkt und für das Wellenfeld wird das Integral numerisch ausgewertet.Es zeigt sich, daß das System Platte auf Halbraum sich bei tiefen Frequenzen dem Halbraum und bei hohen Frequenzen der Platte annähert. Dies gilt für die Wellengeschwindigkeiten und für das Wellenfeld. Die Nachgiebigkeit am Lastangriffspunkt ist hingegen schon bei der statischen Lösung von der Plattensteifigkeit mit beeinflußt. Der mittelfrequente Bereich ist stark von der Wechselwirkung zwischen Platte und Halbraum geprägt. Durch die Abstrahlung von Wellen ins Innere der Halbraumes ergibt sich eine starke Dämpfung der Oberflächenwellen mit einer entsprechend starken Amplitudenabnahme über die Entfernung. Am Lastangriffspunkt ergibt sich eine charakteristische Asymptote für die Nachgiebigkeit vonu/p (i )^1/2. Diese mittelfrequenten Wechselwirkungsphänomene sind besonders bei «leichten» Platten stark ausgeprägt. Als maßgeblicher Frequenzparameter erweist sich eine auf die Scherwellenlänge des Halbraumes bezogene elastische Länge 1.

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Dynamic interaction of an inifinite plate and a half-space due to a harmonic point load

Summary An infinite plate resting on a homogeneous half-space is considered under a vertical harmonic point-load. The solution of the vertical displacements of the plate are given as a Fourier integral in wavenumber domain. The wave speed and the damping of free waves, the complicance function at the loading point and the wave field at certain frequencies are presented. The results show that there are three different ranges of frequencies: at low frequencies the plate on half-space is dominated by the half-space, at high frequencies the system behaves like a plate without half-space. The intermdiate range of frequencies is strongly influenced by the interaction of the plate and the halfspace. The surface waves of the half-space are scattered into the half-space by the flexural stiffness of the plate. Therefore there is a strong damping of free waves, a corresponding strong decay of the amplitudes with distance, and a characteristic compliance at the loading point ofu/p (i )^–1/2.

     

Unsymmetrische Biegung der Kreisplatte von quadratisch veränderlicher Steifigkeit

Zusammenfassung Die Differentialgleichung für die Durchbiegung einer Kreisplatte von quadratisch veränderlicher Steifigkeit wird integriert. Die Lösung der homogenen Gleichung sind unendliche Reihen, die Produkte von hypergeometrischen und trigonometrischen Funktionen enthalten. Die Methode der Variation der Konstanten läßt sich hier nicht so einfach durchführen wie bei der Platte, deren Dicke im Plattenmittelpunkt gleich Null ist, aber das partikuläre Integral der inhomogenen Gleichung kann im allgemeinen durch Probieren gefunden werden. Als Beispiel wird die gleichmäßig belastete Platte ohne Bohrung bei gelenkiger Auflagerung des Außenrandes gerechnet und mit der Platte von konstanter Dicke verglichen. Bei axialsymmetrischer Durchbiegung wird die vollständige Lösung für die Platte mit Bohrung angegeben.