A note on equivalent systems of linear diophantine equations

Summary Another constructive proof is presented for the fact that a system of linear equations with integer coefficients in bounded integer variables is equivalent to a single equation, which is a linear combination of the original ones. The equation is obtained in a number of steps; in each step two equations are replaced by a single one. This replacement is performed subject to the condition that the remaining equations hold and a final equation with relatively small coefficients is obtained. It may be inefficient however to calculate small coefficients, as the original coefficients can be used to represent the final ones in a suitably chosen number system.

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Zusammenfassung Ein System linearer Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten in beschränkten ganzzahligen Variablen ist äquivalent zu einer einzigen Gleichung, die sich als Linearkombination der ursprünglichen Gleichungen schreiben läßt. In einem neuen konstruktiven Beweis von diesem Satz wird gezeigt, wie die endgültige Gleichung in einigen Schritten gefunden werden kann. In jedem Schritt werden zwei Gleichungen von einer einzigen ersetzt unter der Voraussetzung, daß die übrigen Gleichungen gültig bleiben.Obwohl die Koeffizienten der Endgleichung verhältnismäßig klein sind, ist es nicht immer zweckmäßig, sie in der angegebenen Weise zu berechnen, da man ein Zahlensystem anwenden kann, in dem die Koeffizienten der ursprünglichen Gleichungen zur Darstellung der neuen Koeffizienten gebraucht werden.

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This note is a slightly revised version of report BW 12/71 (July 1971).     

A survey of I. N. Vekua's theory of elliptic partial differential equations with analytic coefficients

Zusammenfassung In einer Reihe von Abhandlungen hatI. N. Vekua eine Theorie der elliptischen partiellen Differentialgleichungen mit zwei unabhängigen Variabeln und mit analytischen Koeffizienten entwickelt, in welcher gewisse klassische Aspekte der Theorie der holomorphen Funktionen einer komplexen Veränderlichen verallgemeinert werden. Die Vekuasche Theorie ist für den angewandten Mathematiker insofern von Interesse, als sie ihm ein in manchen Fällen wirksames konstruktives Verfahren zur Herstellung der Lösungen in die Hand gibt.Die vorliegende Arbeit ist als eine Einführung in die Vekuasche Theorie gedacht. Es werden in ihr vor allem die Vekuaschen Resultate bezüglich der analytischen Fortsetzung der Lösungen und ihrer Darstellung durch holomorphe Funktionen zur Sprache gebracht. In einer zweiten Arbeit soll die damit eng zusammenhängende Vekuasche Theorie der Randwertprobleme dargestellt werden. Der Autor hat die Gelegenheit wahrgenommen, die Vekuaschen Resultate um einige Beispiele zu bereichern und auch einige eigene Resultate einzuflechten, die dem gleichen Gedankenkreis angehören. Es sind neu oder fussen auf eigenen Arbeiten des Autors die Abschnitte über singuläre Differentialgleichungen (§ 4.3), Additionstheoreme (§ 4.4) und Cauchysche Anfangswertprobleme bei regulären und singulären Gleichungen (§ 5).     

Constitutive theory for a mixture of an isotropic elastic solid and a non-Newtonian fluid

Zusammenfassung Greens undNaghdis Formulierung der Theorie von in Wechselwirkung stehenden Kontinua benützend, leiten wir in dieser Abhandlung eine allgemeine (d.h. nichtlineare) Theorie ab, welche das thermomechanische Verhalten eines isotropischen elastischen Körpers, der von einer nicht-Newtonschen zähen Flüssigkeit durchdrungen ist, beschreibt. Konstitutive Gleichungen für Mixturen dieser Art werden zuerst postuliert und dann zu einer expliziten Form reduziert mit Hilfe von auf Tensor-Invarianten gewonnenen Resultaten. Dann untersuchen wir eine Klasse von Kräftereihe-Lösungen von Feldgleichungen und benützen ein iteratives Verfahren zur Lösung dieser Gleichungen, von denen jedes Stadium die Lösung von Lineargleichungen zur Voraussetzung hat. Das erste Stadium stellt eine linearisierte Theorie dar, für welche thermodynamische Reduktionen von der Ungleichheit bei der Wärmegewichtserzeugung abgeleitet werden. Schliesslich geben wir kurze Hinweise auf die dissipativen Mechanismen, welche die Erzeugung von Wellen mit kleiner Amplitude in der von uns behandelten Klasse von Mixturen affiziert.     

A comparison between John's refined interior shell equations and classical shell theory

Zusammenfassung Die linearisierte Form der verfeinten Feldgleichungen vonJohn für dünne elastische Schalen wird verglichen mit der klassischen Schalentheorie in der Form der Gleichungen vonSanders undKoiter. Im Falle der dehnungslosen axialsymmetrischen Biegung einer Schale in der Form einer Schraubenfläche stimmen beide Theorien überein in ihren Aussagen. Ein wesentlicher Unterschied zeigt sich jedoch für Schalen mit einem kovariant konstanten zweiten Haupttensor (Kugelschale oder Kreiszylinderschale). Der Vergleich mit einer exakten Lösung für zylindrische Biegung einer Kreiszylinderschale bestätigt die (annähernde) Gültigkeit der klassischen Gleichungen. Dieser Unterschied, und die Übereinstimmung im Falle der Schraubenfläche, lenken die Aufmerksamkeit auf vier numerische Koeffizienten in den äusserst komplizierten Gleichungen vonJohn, die einer Nachprüfung auf Schreibfehler bedürfen.

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Dedicated to ProfessorHenry Görtler on the occasion of his 60th anniversary     

On the viscous core of a line vortex

Zusammenfassung Das Str?mungsfeld einer r?umlichen, axisymmetrischen Staupunktstr?mung (deren Radialgeschwindigkeit dem Staupunkt zu gerichtet ist) und eines überlagerten koaxialen Linienwirbels wird als exakte L?sung der Navier-Stokesschen Gleichungen angegeben. Der Z?higkeitseinfluss ist auf einen Kern beschr?nkt, dessen Radius vom Geschwindigkeitsgradienten der Staupunktstr?mung abh?ngt. Der (endliche) Druck im Kern wird berechnet, und die Resultate werden im Zusammenhang mit bekannten Erscheinungen (wie der Badewannenwirbel, Wirbelwinde usw.) diskutiert. Einige verwandte nichtstation?re L?sungen der Navier-Stokesschen Gleichungen werden angegeben.      

Comportement d'un câble porteur-tracteur

Zusammenfassung Die Feststellung der mechanischen und geometrischen Merkmale eines Trag- und Zugseiles ist entweder auf empirischem Wege oder durch Berechnung zu erlangen. Im letzteren Falle kann den sich aus der Berechnung ergebenden Formeln keinerlei Vertrauen geschenkt werden, sofern diese Berechnung nicht ausgeht von einer genauen Kenntnis der theoretischen Gegebenheiten, deren wechselseitige Beziehungen man in Form von Gleichungen ausgedrückt zu haben beansprucht.Da der einfachste Fall derjenige einer einzigen Last ist, welche an einem Trag- und Zugseil im Zustand des Stillstandes aufgehängt ist, war es angebracht, eine gründliche und vollständige Analyse einer solchen Aufhängung vorzunehmen. Dies ist der Zweck dieses Aufsatzes.Es wird darin festgestellt, dass jeder Neigungswinkel, in welchem das Tragseil aufgespannt ist, gekennzeichnet ist durch 4 unterschiedliche Werte, welche jeweils das Verhältnis zwischen der Länge des Tragseiles und seinem Gegengewicht bestimmen. Der Verfasser ist der Auffassung, die Berechnung von Tragseilen lasse sich nicht bequem und wirksam durchführen, wenn man nicht über Tabellen verfügt, die übrigens leicht aufgestellt werden können, welche diese 4 Werte für die in Frage kommenden Neigungswinkel angeben.Ferner stellt man fest, dass die dargelegte Theorie sich auch auf feste Seile anderer Anlagen anwenden lässt, vor allem auf die Tragseile von Hängebrücken.     

The generalized plane strain of an elasto-plastic material

Zusammenfassung Unter der Voraussetzung, dass der hydrostatische Druck nicht gross ist, tritt die Hauptspannung normal zur Ebene des verallgemeinerten ebenen Verzerrungszustandes in der Fliessbedingung vonTresca nicht auf. Man kann zeigen, dass die Spannungs- und Geschwindigkeitsgleichungen für ein elastisch-ideal-plastisches Material hyperbolisch sind, wobei die beiden Charakteristikenscharen paarweise koinzident sind. Die auf die Charakteristiken bezogenen Gleichungen unterscheiden sich von denjenigen des starr-plastischen Materials nur durch die Gegenwart von vier Zusatztermen in jeder der Geiringer-Gleichungen.Für ein Material mit Verfestigung werden nur kleine Spannungen berücksichtigt, und es wird angenommen, dass die Gleichungen zwischen den Spannungen und den Gesamtdehnungen verwendet werden können. Unter diesen Voraussetzungen werden die Gleichungen für die Spannungen und Verschiebungen elliptisch. Da alle Ableitungen stetig sind, existiert im plastischen Bereich eine Airysche Spannungsfunktion samt speziellen Ableitungen aller Ordnungen, und es kann gezeigt werden, dass sie einer nichtlinearen partiellen Differentialgleichung vierter Ordnung genügt. Für einige einfache Probleme, bei denen die abhängigen Veränderlichen nur Funktionen einer der beiden unabhängigen Variablen sind, werden die Lösungen angegeben.Der Einfluss von Temperaturschwankungen kann sowohl bei idealplastischen Materialien wie auch bei solchen mit Verfestigung mitberücksichtigt werden.     

On the dissipation of interfacial and internal long gravity waves

The Korteweg-deVries equations modified by viscosity for interfacial and internal long gravity waves between two parallel plates are derived in the paper. A method based on the inverse scattering method developed recently by Karpman and Maslov has been used to confirm the well-known inverse fourth power decay of the amplitude of a solitary wave on the one hand and to find the time evolution of its velocity on the other.

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Zusammenfassung Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der Ableitung der mit der Viskosität modifizierten Korteweg-deVries Gleichungen, die die lange Trennungsflächen- und interne Schwerewellen zwischen zwei parallelen Platten beschreiben. Es wurde eine Methode angewandt, welche auf der inversen Zerstreuungsmethode beruht und neulich von Karpman und Maslov entwickelt worden ist, um den gut bekannten inversen vierten Potenzverfall einer solitären welle einerseits zu bestätigen und anderseits die zeitliche Evolution ihrer Geschwindigkeit zu finden.

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Dedicated to the 75th anniversary of Academician Prof. Dr. T. Andjeli     

On axisymmetric stokes flow past a torus

A method is presented for determining the exact solution of the Stokes equation for axisymmetric streaming flow past a torus. By solving directly for the velocity and pressure fields rather than introducing a stream function, the problem is reduced to the solution of a second order difference equation for a coefficient sequence. The force acting on the torus is evaluated for a number of values of the parameter defining the torus geometry.

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Zusammenfassung In dieser Arbeit wird eine Methode entwickelt um die exakte Lösung der Stokes' schen Gleichung für einen axisymmetrischen Fluss um einen Torus zu erhalten. Indem man direkt Geschwindgkeits- und Druckverteilung ausrechnet (statt eine Stromfunktion einzuführen) wird das Problem auf die Lösung einer Differenzengleichung zweiter Ordnung für eine Folge von Koeffizienten reduziert. Die am Torus wirksame Kraft wird dann für mehrere Parameterwerte der Torusgeometrie bestimmt.

     

On rotational viscous flow through a tube

Zusammenfassung Für die Eigenwerte und Eigenfunktionen eines Eigenwertproblems, auf dasL. Collatz undH. Görtler im Zusammenhang mit einer kürzlichen Untersuchung [3] über Rohrströmung mit schwachem Drall geführt worden sind, werden asymptotische Näherungsformeln angegeben, die insbesondere die höhern Eigenwerte mit grösserer Genauigkeit als in [3] zu berechnen gestatten. Auch zur Ermittlung der niedrigen Eigenwerte wird ein einfaches Verfahren vorgeschlagen. Die Ergebnisse werden numerisch mit denen von [3] verglichen.

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This paper was prepared under a National Bureau of Standards contract with American University and was supported by the Office of Naval Research.     

A necessary and sufficient condition for the aggregation of linear diophantine equations

Summary The set of the integer values a linear form can take may be called its spectrum. Aggregating two equations means establishing a linear combination of the two left hand side spectra, the coefficients of which are the aggregation weights. If and only if this linear combination does not contain any spectral correlation point other than the right hand side vector, the equation found by aggregation is equivalent to the two given ones.Methods for calculating the spectrum and the spectral correlation set are given.

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Zusammenfassung Der Wertevorrat einer Diophantischen Linearform möge als deren Spektrum bezeichnet werden. Die Zusammenfassung zweier Diophantischer Gleichungen läuft auf die Bildung einer Linearkombination der Spektren hinaus, die zu den beiden auf der linken Seite stehenden Linearformen gehören. Die Koffizienten der Linearkombination sind gleich den für die Zusammenfassung verwendeten Gewichten. Wenn und nur wenn die erwähnte Linearkombination ausser dem Punkt, dessen Koordinaten die auf der rechten Seite des Gleichungssystems stehenden Zahlen sind, keine anderen Spektral-Korrelationspunkte enthält, ist die durch Zusammenfassung gebildete Gleichung äquivalent dem System der beiden Ausgangsgleichungen.Methoden für die Berechnung von einfachen und korrelierten Spektren werden gegeben.

     

On the theory of Schur-Rings

Zusammenfassung Diese Arbeit versucht, die von Issai Schur[1] entdcckte und von Wielandt ([14], [15], [16], [17]) betr?chtlich neiterentwickelte Methode zur Untersuchung von endlichen Permutationsgruppen zu einer Theorie der Schur-Ringe zu entfalten. Der Grundgedanke ist sehr einfach: Die Schur-Ringe werden nicht als eine spezielle Klasse von Ringen aufgefaβt, sondern als eine eigene mathematische Struktur. Nach unserer heutigen Ansicht f?llt der Begriff der mathematischen Struktur weitgehend mit dem Begriff der Kategorie zusammen. Daher wird für die Schur-Ringe (genauer: für die Schur-Algebren) ein eigener Homomorphiebegriff (Definition1.5) eingeführt, der eine Kategorie liefert (Theorem1.6). Ein weiterer Leitgedanke ist mit dem kategoriellen Grundgedanken sehr eng verknüpft. Die Theorie der Schur-Ringe wird als eine Verallgemeinerung der Theorie der endlichen Gruppen aufgefaβt und in diesem Sinne entwickelt. Dabei ist die Theorie der endlichen Gruppen vermittelst der Gruppenringe der endlichen Gruppen (die eine spezielle Teilkategorie der Kategorie aller Schur-Ringe sind) in die Theorie der Schur-Ringe eingefügt. Hierfür ist es wichtig, daβ die Morphismen der Gruppenringe in der Kategorie der Schur-Ringe genau die von den Gruppenhomomorphismen induzierten Gruppenringhomomorphismen sind. Die Einbettung der Theorie der endlichen Gruppen in die Theorie der Schur-Ringe vollzieht sich entlang dreier Entwicklungslinien. Die erste ist eine verallgemeinerte Charakterentheorie ([2], [3], [5], [6], [7] und[8]), die die Theorie der (gen?hnlichen) Charaktere von endlichen Gruppen als Spezialfall enth?lt. Die zweite ist die Verknüpfung der Struktur jedes Schur-Ringes T auf einer endlichen Gruppe G mit gewissen Klassen von Untergruppen von G. Es werden die Begriffe der T-Untergruppe (Abschnitt 3), des T-Normalteilers (Abschnitt 4), und der T-subnormalen Untergruppe (Abschnitt 8) eingeführt. Die T-Untergruppen bilden einen Teilverband des Verbandes aller Untergruppen von G (Theorem3.4). Die T-Normalteiler sind genau die Kerne (Definition6.1) der Homomorphismen der Schur-Algebren QT (Theoreme6.2 und6.3). Der dritte und wohl zugleich der wichtigste Aspekt ist die Gültigkeit des Homomorphiesatzes (Theorem6.2) und der Isomorphies?tze (Theoreme7.1 und7.2) für Schur-Algebren. Auf diese S?tze gründet sich der Vier-Untergruppen-Satz (Zassenhaus’ Lemma; Theorem9.1), der den Verfeinerungssatz für T-Subnormalketten (Theorem9.2) und den Jordan-H?lder Satz für T-Kompositionsketten (Theorem10.3) nach sich zieht. Als die Theorie der Schur-Ringe ungef?hr den soeben geschilderten Stand erreicht hatte, tauchte die Idee auf, diese Theorie auf beliebige Gruppen zu verallgemeinern ([9], [10], [11], [12], [13]). Das führte zum Begriff der Schur-Halbgruppe (Definition1.9). Der zugeh?rige Homomorphiebegriff (Definition1.11) liefert die Kategorie aller Schur-Halbgruppen (Theorem1.12), die die Kategorie aller Gruppen als echte Teilkategorie enth?lt. Jedem Schur-Ring T über einer endlichen Gruppe G wird eine Schur-HalbgruppeT über G zugeordnet (Theorem1.15). Jedem Homomorphismus ϕ einer Schur-Algebra ΘT über G wird ein Homomorphismus φ vonT zugeordnet (Theorem1.16). Das Paar der Zuordnungen ΘT →T, ϕ → Φ ist ein Funktor auf der Kategorie aller Schur-Algebren in die Kategorie aller Schur-Halbgruppen über endlichen Gruppen (Theorem1.17).      

On weeping lubrication theory

Zusammenfassung Der Einfluss einer bewegten Last auf einen zusammengesetzten Körper wird untersucht. Dieser besteht aus einer poröselastischen Schicht auf einer elastischen Halbebene. Das Modell simuliert die mechanische Belastung eines hyalinen Knorpels endlicher Dicke, der die Oberfläche von Knochengelenken bedeckt. Die poröselastische Schicht ist ein Modell der Knorpelmatrix, die mit Gelenkwasser gefüllt ist. Die Ergebnisse erhärten die vonMcCutchen vorgeschlagene Theorie derTränenschmierung von Knochengelenken, schliessen jedoch rheodynamische Vorgänge nicht aus.     

Asymptotic theories for the unsymmetric vibrations of cylindrical shells,part I—Derivation

Zusammenfassung Gleichungssysteme, die die unsymmetrischen Schwingungen zylindrischer Schalen beschreiben, werden aufgestellt, indem man die Methode der asymptotischen Integration für Gleichungen der Elastizitätstheorie im dreidimensionalen Bereich auf dynamische Probleme ausdehnt. Diese Methode besteht darin, dass alle entsprechenden Veränderlichen (Verschiebungen und Spannungen) ebenso wie die Skalenfaktoren in einer Reihe, abhängig von einem kleinen Schalenparameter, entwickelt werden. Eine darauffolgende Integration über die Schalendicke liefert die verschiedenen Näherungsgleichungen der Schalentheorie. Wenn man alle notwendigen Ausdrücke der Differentialgleichungen der vereinfachten Theorien einbezieht, gelangt man in erster Näherung zu einer Theorie, die allgemeine Gültigkeit aufweist.     

On relative measurements of the viscosity of gases by the oscillating-disk method

Zusammenfassung Die Abhandlung enthält die Ableitung einer Arbeitsgleichung für Relativmessung der Zähigkeit, bei der nach der Methode der oszillierenden Scheibe eine dünne Scheibe zwischen zwei feststehenden Platten Drehschwingungen ausführt. In der Formel ist der Randeinfluss nachKestin undWang durch den sogenannten Randkorrekturfaktor berücksichtigt. Dieser aus dem Verhältnis des wirklichen Reibungsmomentes zum theoretischen sich ergebende Faktor ist abhängig von der Geometrie der experimentellen Anordnung, deren Abmessungen mit der Grenzschichtdicke dimensionslos gemacht sind.Da vonKestin undWang für Anordnungen mit sehr grossen und sehr engen Spalten früher schon Formeln gebracht wurden, beschränkt sich die Ableitung hier auf mittlere Spaltweiten.Um die Richtigkeit der der Arbeitsgleichung zugrunde liegenden hauptsächlichen Annahmen zu überprüfen, wurden die nach dem Relativverfahren gewonnenen Werte mit neuen und sehr genauen kürzlich vonKestin undLeidenfrost durchgeführten Absolutmessungen verglichen. Es ergab sich eine Übereinstimmung von 0,1%.     

Stabilization of optimal difference operators

Zusammenfassung Dahlquist hat in [2] gezeigt, dass stabile Differenzenoperatoren mit dem Gradk höchstens die Ordnungp=k+2 erreichen können. Solche Operatoren zeigen die Erscheinung der schwachen Stabilität (marginal stability) [1,2,3].In der vorliegenden Arbeit werden stabile. Differenzenoperatoren gezeigt, die trotz maximaler Ordnung nicht mehr schwach stabil sind. Das Auftreten von schwacher Stabilität kann vermieden werden, wenn man die Koeffizienten des Operators von der Schrittweiteh des entsprechenden Verfahrens und von einem geeignet zu wählenden Parameter abhängen lässt.     

Über einen Satz von Weierstrass-Dedekind

Zusammenfassung. Diese Note enth?lt einen einfachen Beweis des Satzes von der Prim?rzerlegung kommutativer artinscher Ringe mit Einselement; eine zentrale Rolle spielen die (primitiven) Idempotenten des Ringes. Ein Korollar ist der Satz von Weierstrass>-Dedekind>, der besagt, da? jede reelle, endlich-dimensionale, reduzierte, assoziative und kommutative Algebra mit Einselement zu einer ringdirekten Summe von endlich vielen Exemplaren der K?rper und isomorph ist. Eingegangen am 24.11.1994 / Angenommen am 3.3.1995     

Das nichtkooperative Nichtnullsummen-Zwei-Personen-Spiel

Zusammenfassung Als Grundlage für die Theorie des Nichtnullsummen-Zwei-Personen-Spiels werden die Begriffe Gleichgewichtspunkt, Sattelpunkt, präventive und defensive Strategie, Felddominanz, Strategiendominanz und mehrere Unterbegriffe davon definiert. Mit ihrer Hilfe wird eine Anzahl von Sätzen bewiesen, die unmittelbar zu einer Lösung dieses Spieltyps führen: Es zeigt sich, daß es zwei Klassen von Nichtnullsummenspielen gibt: solche mit spielbedingten und solche mit persönlichkeitsbestimmten Lösungen. Erstere umfassen alle Spiele, die einen einzigen, nichtdominierten Gleichgewichtspunkt besitzen. Dieser ist die Lösung. Bei allen übrigen Spielen ist die Persönlichkeit der Spieler sozusagen selbst Teil des Spiels. Auch hierfür werden Lösungen angegeben.

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Summary The following terms being the basis of the two-person non-zero-sum games will be defined: equilibrium point, saddle point, preventive and defensive strategy, field dominance, strategy dominance, and several other sub-terms. Using these terms a number of theorems leading directly to a solution of this type of games will be proved. It is shown that there are two types of non-zero-sum games: one type with game-determined solutions and another one with personality-determined solutions. The first one includes all games having a single non-dominated equilibrium point, which is the solution. In all other games the player's intention must be considered as part of the game. Here as well solutions are given.

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Der Grundgedanke wurde von Professor Dr.W. Krelle auf der Jahrestagung der DGU vom 9. bis 11. September 1963 in Braunschweig vorgetragen und anschließend in Zusammenarbeit mit Diplom-MathematikerDieter Coenen in eine druckreife Form gebracht.     

An electromagnetic difference-equation of importance in the theory of traveling-wave tubes

Zusammenfassung Auf Grund der Sechspoltheorie der elektrischen Nachrichtentechnik wurde an anderer Stelle [1, S. 23] eine elektromagnetische Differenzengleichung zweiter Ordnung abgeleitet. Dieses auf formalem Wege gewonnene Resultat ist für die Theorie der Traveling-Wave-Tubes von Bedeutung. Mit Hilfe der Maxwell-Lorentzschen Theorie wird nun gezeigt, dass die genannte Differenzengleichung unter viel allgemeineren Bedingungen zu Recht besteht. Der gleiche Weg führt zu einer Methode, die auftretenden Parameter explizite zu berechnen.

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Paper supported by a researcgh fellowship of the Battelle Memorial Institute.     

On the exact solutions of vibration problems of rectangular orthotropic plates

Zusammenfassung Die Frequenzen von transversal schwingenden isotropen und orthotropen rechteckigen Platten sind durch bestimmte Gleichungen verbunden. Deshalb ist eine Auswertung der Frequenzengleichungen der orthotropen Platten nicht notwendig. Wenn die Frequenz einer isotropen Platte bestimmt ist, kann die Frequenz der entsprechenden orthotropen Platte mit Hilfe dieser Formeln berechnet werden.