代数法求解圆锥曲线中的最值问题

<正>圆锥曲线中的最值问题是一个难点,是从动态角度研究解析几何中的数学问题,体现了圆锥曲线与三角、函数、不等式、方程、平面向量等代数知识之间的横向联系,综合性较强.在求解过程中一般常用代数法,可以参考以下例题.     

例说参变分离法

<正>在高中数学中,经常出现含有参数的某些函数、方程、不等式,并要求确定参数的取值范围,此时常常会用到参变分离法.所谓参变分离,是指在等式或不等式中含有两个字母,一个视为变量,另一个视为参数,可以利用等价变形,使得参数与变量分离于等式或不等式的两端,从而转化为主元函数值域的求解.下面以南京市2016-2017学年度第一学     

离心率范围的求解途径

离心率,是圆锥曲线中的一项重要内容.求离心率e的范围,只不过是参数问题中的沧海一粟.它除拥有求参数取值范围的一般方法外,还有着自己独特的一面.其不同之处在于有一个由含a、b、c的等式向离心率e转化的过程.如何寻求合适的等式并将其过渡为e的不等式,有着较为灵活的方法和技巧.本文就这个问题谈一点看法,供同行参考.     

解析几何中有关求参数范围问题的解法(连堂讲稿)

[复习说明 ]解析几何中求参数范围问题 ,所涉及的知识范围广 ,变量多 ,综合性强 ,是解析几何复习教学中的一个重点 ,同时也是一个难点 .它往往将几何、代数、三角知识交叉、渗透 ,因而也成为高考考查的重点 .本专题复习的重点是掌握解析几何中求参数范围的一些常用方法 ,难点是运用解析几何知识将问题转化为函数、或不等式、或方程问题来解决 .[内容提要 ]掌握解析几何中求参数范围问题的几种常用方法 .1.数形结合法 :根据含参数方程表示曲线的几何特征 ,用数形结合确定参数的范围 .2 .构造不等式法 :根据圆锥曲线的几何性质及直线与圆锥曲…     

Abel不等式和H(o)lder不等式的一个共同加强

在本篇短文中,我们将利用Young不等式建立一个代数不等式,所给的证明是十分简洁的.并且我们将看到这个代数不等式是著名的Abel不等式和H(o)lder不等式的一个共同加强.     

Abel不等式和Hlder不等式的一个共同加强

在本篇短文中,我们将利用Young不等式建立一个代数不等式,所给的证明是十分简洁的.并且我们将看到这个代数不等式是著名的Abel不等式和H(o)lder不等式的一个共同加强.     

求圆锥曲线离心率的常用方法探究

离心率是圆锥曲线重要的几何性质,是描述曲线形状的重要参数.椭圆的离心率是描述椭圆扁平程度的一个重要参数,双曲线的离心率是描述双曲线"张口"大小的一个重要参数,而抛物线的离心率是特征值1,圆锥曲线的统一定义是按离心率范围不同,确定圆锥曲线中的椭圆、双曲线和抛物线的类型.离心率问题已成为各类测试的考查热点,备受高考命题者的青睐,考查的题型主要以离心率的大小和范围问题为主.求离心率的关键是找出一个与参数a、b、c、e有关的等式或不等式.如何根据题中的条件,选择恰当的方法呢?现举几例.     

关于代数多项式的一个积分表示式

研究了代数多项式导数的Bernstein不等式和Markov不等式．通过代数多项式导数的一个积分表示式,给出这两个著名不等式以及它们的离散形式的证明．     

一类非线性积分不等式组中未知函数的估计

研究了一类二维非线性积分不等式组,该不等式组积分号外有非常数因子,不能用向量形式的Gronwall-Bellman型积分不等式进行估计.先利用Bernoulli不等式把非线性问题转化成线性问题,利用变量替换技巧和放大技巧研究只含有一个未知函数的积分不等式,接着利用两个引理和变量替换技巧和放大技巧给出不等式组中两个未知函数的估计.结果可用于研究积分、微分动力系统解的性质.     

一题多解探圆锥曲线中的最值问题

<正>圆锥曲线中的最值问题是一类综合性强、变量多、涉及知识面广的题目.由于图形问题代数化是解析几何的核心,所以在圆锥曲线的最值问题中,可以根据几何图形的基本特征,找出几何图形的代数关系,以代数运算为手段研究最值问题.同时,解析几何问题的呈现方式是用几何图形来体现,所以圆锥曲线的最值问题也可以从形的角度去考虑问题,找出问题的本源,选择对应的知识解决问题.本文以一个抛物线最值问题为载体,通过多种解法的探索,展现圆锥曲线最值问题的常见解决方案.     

应用两个重要不等式解最值问题

<正>不等式是高中数学的重点和难点,也是高考热点问题.在高中阶段,除了一元二次不等式,含绝对值的不等式,指数与对数不等式之外,还有另外两个重要不等式——基本不等式和柯西不等式,这两个不等式常出现在高考客观题中,它们的应用范围几乎涉及高中数学所有章节,但内容几乎都是大小判断、求最值、求取值范围等.本文仅对应用这两个不等式解最近两年高考客观题中的最值问题进行解题思路分析.     

圆锥曲线最值问题求解的六种策略

圆锥曲线中最值问题是高中数学的重点内容,是高考中的一类常见问题,由于它能很好地考查学生的逻辑思维能力,体现了圆锥曲线与三角、函数、不等式、方程、平面向量等代数知识之间的横向联系,使问题具有高度的综合性和灵活性．圆锥曲线中的最值问题,通常有两类：一类是有关长度、面积、角度等的最值问题;另一类是圆锥曲线中有关几何元素的最值问题．     

也谈平面解析几何中的范围问题

关于平面解析几何中的范围问题在诸多文章中都有不同的见解 ,但根据个人的教学实践 ,无论什么解法至少要用到下列思想或方法 :由于解析几何是用代数的方法研究几何问题 ,所以方程的思想、函数的思想经常用到 ,特别要明确目标是将问题转化为求函数的值域或最值 .又因为解析几何中圆锥曲线的变量都有范围 ,当然也常用到用一个变量的范围去限定另一个变量的范围 .下面结合例子予以说明 .例 1　已知Ｆ1、Ｆ2 是椭圆的两个焦点 ,Ｐ为椭圆上一点 ,∠Ｆ1ＰＦ2 =60°,求椭圆离心率的取值范围 .解法 1　设椭圆方程为ｘ2ａ2 +ｙ2ｂ2 =1 (ａ>ｂ >0 ) ,…     

离心率问题的求解策略

<正>求离心率(范围)是圆锥曲线里常考的一类问题.主要有三种方法:1不等式法(即将题设条件转化为关于变量的不等式,再解不等式或用不等式的性质推出结果);2函数法(即将变量范围转化为某个函数的值域);3几何法(即利用几何性质,通过数形结合求解).其中难点是获取关于e(或c/a)的等量或不等关系或函数关系,常常需要利用圆锥曲线的性质(焦半径范围、图像上的点横纵坐标范围、三角形三边关系、正弦定理、余弦定理、均值定理等)     

一个三角不等式的几种证明

<正>不等式是数学领域的重要内容,许多数学问题的解决最终都归结为处理一个或多个不等式,即使着眼于中学数学,它也是一块非常重要的内容.三角不等式又在这块内容中占有一席之地.由于三角不等式中会出现一个或多个变量的三角函数,所以处理起来可能更加困难,这也恰恰是它的魅力所在.本文将对一个三角不等式提供几种证明,     

从函数角度谈“恒成立”问题

在学习函数、方程、不等式过程中,常见到“恒成立”问题.一般来说,“恒成立”问题多数涉及两个变量,其中一个变量恒满足某一条件,对另一个变量进行数学设问.而这两个变量间的关系常以函数、方程、不等式等形式给出.本文重点从函数角度介绍一下“恒成立”问题的解题策略. 一、不等式“恒成立”问题 例1 已知x2 (4a-3)x 3a>0, (1)若不等式对任意实数x∈[-1,3]恒成立,求实数a的取值范围. (2)若不等式对任意实数a∈[-1,3]恒成立,求实数x的取值范围.     

直线和圆锥曲线综合题的四个突破口

直线和圆锥曲线的综合问题是以直线与圆锥曲线为载体,以函数、不等式知识为工具,融几何、代数、三角于一体,具有较强综合性的一类题目,多年来一直是高考命题的热点.然而笔者在教学中发现,许多同学做这类题时,常因找不到问题的突破口而苦恼不已.下面给出解决这类问题的四个突破口,供参考.     

构建齐次不等式探析离心率的取值范围

<正>圆锥曲线是高考的重头戏,而离心率是圆锥曲线的重要内容,尤其求离心率的值也是高考的高频考点,而求离心率的范围却是一个潜在热点,好多考生遇到这类问题时难以找到切入点,望而却步.为此,笔者对此类问题进行了梳理,总结了一些解决问题的方法,供大家参考.一、直接运用题目中的条件不等式构建不等式     

平面几何定理在解析几何中的应用

解析几何主要是通过平面直角坐标系,建立点与实数对之间的一一对应关系,运用代数方法来研究几何问题.在常规的教学过程中,师生往往过于关注代数推理过程,而忽视了平面几何性质在解决解析几何问题中的作用.在解析几何中有许多问题,比如求参数的取值范围,求圆锥曲线的离心率和     

具有线性等式和不等式约束的非线性规划的一个算法

§1.引言既约梯度法是求解非线性规划的一类方法.我们目前只看到约束为线性等式或非线性等式的既约梯度法,对于线性不等式或非线性不等式约束的情形还没有相应的既约梯度法.如果通过松驰变量把线性不等式约束化成线性等式的情形处理,则要增加变量的维数,而这是与既约梯度法的思想背道而驰的.在本文中,我们结合既约梯度法与 Ritter在文献[3]中的思想,对具有线性等式和不等式约束的非线性规划问题给出了一种算法,它保留了既约梯度法降低维数的优点,又简化了 Ritter 在[3]中给出的算法.另外,我们还证明了算法的收敛性.