基本不等式(ab)~(1/2)≤(a+b)/2的应用

定理如果a,b是正数,那么(a+b)/2≥(ab)~(1/2)(当且仅当a=b时取=),这个定理适用的范围:a,b∈R~+;我们称(a+b)/2为a,b的算术平均数,称(ab)~(1/2)为a,b的几何平均数,即:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均     

也谈一个不等式的证明

<正>本刊今年第四期发表了《美国数学奥林匹克试题的别证》(以下称为原文)一文,对一道美国数学奥林匹克试题:     

基本不等式几何探究及应用

一、教材探究(人教A版必修5第111页探究题)在图1中,AB是圆的直径,点C是AB上一点,AC=a,BC=b,过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD,你能利用这个图形得出不等式(a+b)/2≥ab(1/2)的几何解释吗?几何解释:如图1,易知△ABD为直角三角形,因为     

一个几何不等式的推广

文[1]中介绍了如下一个经典的几何不等式: 命题 P是△ABC的一个内点,D、E、F分别是P与A、B、C的连线和对边的交点,则S△DEF≤1/4S△ABC. 本文对其作如下推广: 推广 P是△ABC的一个内点,D、E、F分别是P与A、B、C的连线和对边的交点,分别记△AEF、△BFD、△CDE、△DEF的面积为S1、S2、S3、S0,则S1S2S3≥S30,等号成立当且仅当P是△ABC的重心.     

平均差不等式及其应用

平均值不等式[1,2]∑naii=a/n≥n√n∏ni=1ai揭示了n个正数的算术平均不小于其几何平均,是一个应用相当广泛的基本不等式.平均值不等式(1)当仅当所有n个正数都相等时等号成立.当n个正数中有部分数不相等时,式(1)不可能有等号,此时这n个正数的算术平均与几何平均之差如何确定?     

对一道不等式问题的再思考

问题已知a,b为正数,求证：3a/a＋7b（1/2）＋3b/b＋7a（1/2）≥1. 在数学通讯2013年1,2期中杨先义老师从函数的角度对不等式给出了非常精妙的解释和推广,看后受益匪浅.不等式吸引笔者的地方同样也是问题中系数7的设计.很显然,当a=b时,根号中的数正好可以从根式中完全开出,成为有理数,我想这应该是系数设计为7的一个主要原因.由此,很自然的想到：     

一组加权平均值参数不等式

采用变量替换,构建了一组加权平均值参数不等式,对Popovic不等式与Rado不等式进行了加权推广,加细了加权算术-几何-调和平均值不等式．     

借用直线证明不等式

不等式的证明是数学中极其魅力的问题.笔者发现,有一类不等式可以借用直线加以证明,现举例说明此证明方法,供同学们学习时参考.     

向量平方非负与不等式证明

相当多的不等式入门书籍都从x2>0谈起,代换得到(a-b)²>0,进而推出十分基础且重要的均值不等式.对于实数x,不同的代换演变方式可能结果截然不同,这引发了不少研究者的兴趣.而这一操作对于向量而言,似乎还没有引起大家足够的重视.实数x若换成x,依然有x²≥0,当且仅当x=0等号成立.本文将利用向量平方非负的性质证明一些结论,更重要的是,这指出了一种发现新命题的方法.     

一个有理型不等式猜想的证明

郭要红老师在文[1]中对《数学通报》2010年第8期问题1869进行研究后提出了下面猜想:设a,b>0,n是正整数.     

柯西不等式的证明及应用

<正>高中数学学习中,不等式变形巧妙神奇,尤其是柯西不等式的应用.我梳理了一下有关柯西不等式的证明及应用,方便同学们使用.柯西不等式:(a1b1+a2b2+…+an bn)2≤(a21+a22+…+a2n)(b21+b22+…+b2n)(ai bi∈R,i=1,2…n).等号当且仅当a1=a2=…=an=0或bi=tai时成立(t为常数,i=1,2…n).柯西不等式的证明方法很多,下面的方法比较深刻且具通性.为简便,设ai不全为0.证法一(构造二次函数)f(x)=(a1x+b1)2+(a2x+b2)2+…+(an x+bn)2=(a21+a22+…+a2n)x2+2(a1b1+a2b2+…+an bn)x+(b21+b22+…+b2n).     

一类条件不等式的统一证明

贵刊文[1]、文[2]给出了下列一类条件不等式.若a,b,c>0,且a+b+c=1,则1/(1+a2)+1/(1+b2)+1/(1+c2)≤27/10.(1)若a,b,c,d>0,且a+b+c+d=1,则1/(1+a3)+1/(1+b3)+1/(1+c3)+1/(1+d3)≤256/65.(2)若a,b,c,d>0,且a+b+c+d=1,则1/(1+a2)2+1/(1+b2)2+1/(1+c2)2+1/(1+d2)2≤824/289.(3)笔者认为不等式(3)应改为:     

非负实数矩阵元素的一条运算性质与一类不等式的证明

n× m非负实数矩阵的每列元素之和的几何平均值不小于其每行元素的几何平均值之和 ,运用它给出了一类和 (或积 )式不等式的简捷证明 ,也导出了著名不等式 :Cauchy不等式、Holder不等式等的推广形式的积分不等式     

例谈不等式的五种证法

<正>~~     

绝对值不等式的性质如何用?

同学们知道,绝对值不等式有性质:|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.容易证明该性质还可以加强为:||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.如何运用这一性质?是高中数学学习中的一个难点.下面拟举例说明如何运用它.一、运用绝对值不等式的性质不取等号的     

三角形中一类新的几何不等式

众所周知,三角形中有高线、内角平分线、中线等几何元素.本文将给出与这些几何元素平行的一个新概念——三角形的外心线,并通过类比三角形中与高线、中线、内角平分线相关的不等式,建立三角形中一类与外心线有关的新的几何     

利用不等式取等号的条件解方程

文[1]结合几个例题详细介绍了利用不等式取等号的条件解方程的方法,笔者读后感觉受益匪浅.利用不等式取等号的条件解方程,关键是