从直角三角形到直角四面体的类比

<正>类比是一位伟大的引路人,她可以帮助我们提出新的问题,作出新的发现.下面我们运用类比对高中数学选修2—2人教A版课本P₈₃例3作进一步的探究.课本P₈₃例3类比直角三角形的勾股定理c²=a²+b²提出猜想:在直角四面体中有S²= S₁²+S₂²+S₃²,即斜面面积的平方等于三个直角面面积的平方和,但是课本并未给出证明,现证明如下:     

简单现象背后的玄机

<正>我们经常会遇到一些简单、显然的事情或现象,细想想为什么会是这样,有时还真不容易说清楚.例题已知0123<π,设a= （sinx₁）/（x₁）,b=（sinx₂）/（x₂）,c=（sinx₃）/x₃,则a、b、c的大小关系是_<sub>.分析a、b、c具有相同的结构;都是分式形式,容易联想斜率公式,将问题转化为比较直线斜率的大小问题.     

几何体的面积和体积

面积和体积是立体几何中的两类重要问题 ,其中体积的计算和应用是重点 .几何体的面积主要包括表面积和截面的面积 .其中截面面积的计算是数学竞赛中的一种常见题型 .处理截面问题一般分为三个步骤 :定位、定形、定量 .在掌握好求体积的基本方法的基础上 ,还应重视以下的常用方法和技巧 :1)转移法 ,即利用祖 日恒原理或等积变换把所求几何体转化为与它等底、等高的几何体的体积 ;2 )分割求和法 ;3)补形求差法 ;4 )交换底面求三棱锥 (或四面体 )的体积 .面积和体积最值问题也是一种常见题型 ,解决这类问题的基本方法有三种 :1)“选变量 ,寻定…     

MAPS PRESERVING THE NORM OF THE POSITIVE SUM IN Lp SPACES

For 1

p）+be the set of positive elements in L_p with norm one.Assume that V₀:S(L_p（Ω₁）)₊→S(L_p（Ω₂）)₊ is a surjective norm-additive map;that is,‖V₀（x）+V₀（y）‖=‖x+y‖,?x,y∈S(L_p（Ω₁）)₊.In this paper,we show that V₀ can be extended to an isometry from L_p（Ω₁） onto L_p（Ω₂）.     

体积比问题的类型及解法

体积问题是立体几何中的一类重要问题 ,其中求几个几何体的体积比是较常见的一类问题 ,且多以选择题、填空题设置 .通常可设法求出每一个几何体的体积 ,再求体积比 ;或借助几何体的体积关系 ,整体处理求得体积比 .对选择题、填空题型 ,也可采取特殊化 (赋予几何体相关特殊值、特殊图形、特殊位置等 )思维策略求解 .本文结合典型问题仅以解答题求解方式探究此类问题的求解方法 .1　直接法　对于某些规则几何体 ,若据题意其体积易于求得 ,则可直接求出其体积 ,再求其体积比 .例 1　 (1991年上海高考题 )一个圆柱的底面直径和高都等于一个球的…     

补体法解题

题目图1是一个平面截长方体的剩余部分,已知AB=4,BC=3,AE=5,BF=8,CG=12,求几何体的体积.解此题是典型的利用补体法求体积.易求V=3×4×17×(1/2)=102.     

两例对数即时定义赏析

<正>一、基于对数性质的新定义运算【例1】已知a_n=log_n+1（n+2）（n∈N^*）,观察下列运算a₁×a₂=log₂ 3×log₃4=lg3/lg2×lg4/lg3=2,a₁·a₂·a₃·a₄·a₅·a₆=log₂3·log₃4……log₆7·log₇8=lg3/lg2·lg4/lg3……lg7/lg6·lg8/lg7=3,……     

对称群S5与循环群C3直积的整群环的挠单位

本文研究了五次对称群S₅与三阶循环群C₃直积的整群环的正规化挠单位.作为应用,证明了S₅×C₃满足Zassenhaus猜想.     

一道2019年高考抛物线最值题的探究与变式

<正>一、试题题1 (2019年高考浙江卷21题)如图1,已知点F(1,0)为抛物线y²=2px(p>0)的焦点,过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线上,使得△ABC的重心G在x轴上,直线AC交x轴于点Q,且Q在点F的右侧.记△AFG,△CQG的面积为S₁,S₂.(1)求p的值及抛物线的准线方程;(2)求S₁/S₂的最小值及此时点G的坐标.     

两种典型方法解决与体积相关问题

对于空间几何体,一般情况下求体积都能直接应用体积公式来解决,但是对于一些特例问题则不能直接解决,下面介绍两种方法来解决与体积相关问题.1.用"割补法"解决不规则几何体的体积一般地说,对于不是常见的柱、锥、台、球,通常有两种方法,一是将其分割,把它分割成若干个能直接应用公式求体积的几何体,二是在原来的几何体的基础上补形,补成一个能直接应用公式求体积的几何体,不过此时要求所补部分的体积易求或能够用所求几何体的体积来表示,通常把上述方法称为"割补法".     

树立“转化”的思想方法学习立体几何

立体几何是高中数学的一个重要内容,这部分内容除了学习一些规则几何体的面积和体积公式外,重点是两种位置关系（平行和垂直）和两个度量性质（夹角和距离）．在位置关系和度量性质的学习中,树立“转化”的思想方法,即在一定条件下将较复杂的问题转化为较熟悉的、简单的、基本的问题,     

起点低 入口宽 有梯度——2012年福建高考数学文科第19题评析

试题:2012年福建高考文科数学第19题（本小题满分12分）如图1,在长方体ABCDA₁B₁C₁D₁中,AB=AD=1,AA₁=2,M为棱DD₁上的一点.（Ⅰ）求三棱锥A-MCC₁的体积;（Ⅱ）当A₁M+MC取得最小值时,求证:B₁M⊥平面MAC.一、试题评析     

无向超环面网的(d,m)独立数

(d,m)独立数是度量实时平行网络性能的一个重要参数.得到d4（G）时无向超环面网C_d1×C₃的（d,4）独立数,以及d=d₄（G）-1时无向超环面网C_d1×C_d2的（d,4）独立数,这里d₂=4或d₁.     

割补法的巧用

将一个不规则的几何体补（割）成一个规则的几何体（如棱柱、棱锥等）,或将一个规则的几何体补（割）成一个容易求解的几何体,以便求解其中的距离、角、体积等,这一类方法叫做几何体的割补法．下面简要介绍一下空间几何体的表面积和体积运算中常见的几种割补方法技巧．     

对一个数列问题的探究

在数列学习过程中,有这样一个问题:已知各项均为正数的数列{a_n},其前n项和S_n满足4S_n=（1+a_n）²,求其首项和通项公式.这个问题的解决并不难,将n=1代入,可得首项a₁=1,用4S_n=（1+a_n）²减去4S_n-1=(1+a_n-1)²（n>1）,得a_n=a_n-1+2或a_n=-a_n-1（n>1）,因为该数列各项均为正数,所以a_n=-a_n-1不成立,得a_n=a_n-1+2（n>1）,为等差数列,所以a_n     

等比数列的项不能为零

<正>《普通高中课程标准实验教科书（人教B版）·数学5必修》第54页练习B第3题:已知数列{a_n}是等比数列,S_n是其前n项和,试问S_n,S_2n—S_n,S_3n—S_2n,S_4n—S_3n,…（?）成等比数列吗?证明你的结论.这是一道开放性题目,需要给出严格的证明.     

截面在解题中的妙用

有些立几问题 ,看似与截面无关 ,但若能恰当地作出截面 ,借用截面可使复杂问题得到简化、隐含条件得到显化 .以下举例说明 .1　妙用截面　实现体积转化1 997、1 999两届高考试题中都出现求多面体内部几何体的体积 ,大多数学生感到比较困难 .可巧作截面 ,借用截面实现体积转化 ,化为有一面在多面体表面的几何体体积 ,以达简化的目标 .例 1　如图 ,已知正四棱柱ＡＢＣＤ -Ａ1 Ｂ1 Ｃ1 Ｄ1 ,点Ｅ在棱Ｄ1 Ｄ上 ,截面ＥＡＣ ∥Ｄ1 Ｂ ,且面ＥＡＣ与底面ＡＢＣＤ所成的角为 45°,ＡＢ =ａ ,求三棱锥Ｂ1 -ＥＡＣ的体积 .( 1 999年全国高考题 )分析 …     

对一道浙江高考调测题的解法探究及推广

试题:如图1,椭圆C:x²+3y²=3b²（b>0）.（I）求椭圆C的离心率;（Ⅱ）若b=1,A,B是椭圆C上两点,且|AB|=3^1/2,求△AOB面积的最大值.解法一:（I）由x²+3y²=3b²得x²/（3b²）+y²/b²,所以e=c/a=(（3b²-b²）^1/2)/(（3b²）^1/2)（Ⅱ）设A（x₁,y₁）,B（x₂,y₂）,△ABO的面积为S.如果AB⊥x轴,由对称性不妨记A的坐标为(3^1/2/2,3^1/2/2),此时S=1/2·3^1/2/2·3^1/2=3/4;如果AB不垂直于x轴,设直线AB的方程为y=kx     

(3,1)-维李2-代数的分类（英文）

当V₀的维数是3,V₁的维数是1时,我们称李2-代数(V₁ ■V₀,l₂,l₃)为一个(3,1)-维李2-代数.我们分别给出了(3,1)-维李2-代数在等价、同构、线性同构三种关系下的分类.有趣的是,在这种情况下,等价和同构下的分类是一致的.     

von Neumann代数上的局部可乘Lie n-导子

A₁,…,A_n的（n-1）-换位子记为p_n（A₁,…,A_n）.令M是von Neumann代数,n ≥ 2是任意正整数,L：M → M是一个映射.本文证明了,若M不含I₁型中心直和项,且L满足L（p_n（A₁,…,A_n））=∑_k=1ⁿ p_n（A₁,…,A_k-1,L（A_k）,A_k+1,…,A_n）对所有满足条件A₁A₂=0的A₁,A₂,…,A_n ∈ M成立,则L（A）=φ（A）+f（A）对所有A ∈ M成立,其中φ：M → M和f：M → Z（M）（M的中心）是两个映射,且满足φ在P_iMP_j上是可加导子,f（p_n（A₁,A₂,…,A_n））=0对所有满足A₁A₂=0的A₁,A₂,…,A_n ∈ P_iMP_j成立（1 ≤ i,j ≤ 2）,P₁ ∈ M是core-free投影,P₂=I-P₁;若M还是因子且n ≥ 3,则L满足条件L（p_n（A₁,A₂,…,A_n））=∑_k=1ⁿ p_n（A₁,…,A_k-1,L（A_k）,A_k+1,…,A_n）对所有满足A₁A₂A₁=0的A₁,A₂,…,A_n ∈ M成立当且仅当L（A）=φ（A）+h（A）I对所有A ∈ M成立,其中φ是M上的可加导子,h是M上的泛函且满足h（p_n（A₁,A₂,…,A_n））=0对所有满足条件A₁A₂A₁=0的A₁,A₂,…,A_n ∈ M成立.