“直角”三证

<正>贵刊2017年3月下课外练习栏目初三年级的第3题:已知:如图1,PO平分∠AOB,PA⊥PB,PA=PB,∠A≠∠B,求证:∠AOB=90°.参考答案证明设OA=a,OB=b,PA=PB=x,OP=m,S△POA=S_1,S△POB=S_2,且∠POA=∠POB=α,则S_1=1/2OA·OP·sinα=1/2am sinα,S_2=1/2OB·OP·sinα=1/2bm sinα.同时S_1=1/2OA·AP·sin∠A=1/2ax sin∠A,     

一道初中选拔联题的探究

2011年全国初中数学联赛武汉市选拔赛第14题:图1如图1:已知点A在BG上,四边形ABCD与四边形DEFG都是正方形,其面积分别为7、11,则△CDE的面积为.这是一道不算难的题,利用sin∠CDE=sin(180°-∠ADG)=sin∠ADG,有S△CDE=12CD·DE·sin∠CDE=12AD·DG·sin∠ADG=12AD·AG=12槡7·槡11-7=槡7.笔者在研究这道题的过程中,发现还可以探得这个图中其它有意思的结论:分别求S△ADE和S△BDE的面积;并指出面积S△CDE、S△ADE、S△BDE三者之间的关系(如图2).     

数学问题解答

2005年8月号问题解答(解答由问题提供人给出)6在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,D,E在上,且∠DAE=60°,过A,D,E的圆交AB于P,AC于Q.(1)当BP CQ=EP DQ时,求∠BAD的度;(2)当AP=21CQ时,求∠BAD的度数.(福建厦门九中陈四川361004)解:(1)连结DP,EQ.∠B=∠C=30°,设∠BADα,∠CAE=β,α β=60°;⊙ADE的半径为R.因为∠ADC=∠1,∠C为公共角.所以△CDA△CQE,ACDD=ECQQ,CQ=EQ·ACDD.同理:BP=PD·ABEE.BP CQ=2R·sinα·sin(sαin B60°) 2R·sinβn(β 60°)sinC=4R[sinα·sin(α 60°) sinβ·β 60°)]=2R[cos60…     

由三弦定理想到的新定理

由文[1]中的三弦定理是：如图1,已知PA、PB、PC是⊙O的三条珐,记∠APB=a,∠BPC=β,则PB·sin（α＋β）=PC·sinα＋PA·sinβ．     

端点相连的三条弦的性质

<正>端点相连的三条弦可分为几种情形,下面介绍它们的性质.情形1[1]如图1,AB、AC、AD是⊙O中依次的三条弦,记∠CAD=α、∠BAC=β,则AC·sin(α+β)=AB·sinα+AD·sinβ.证明连接BD、BC、CD,由托勒密定理得AC·BD=AB·CD+AD·BC 1设⊙O的半径为R,显然有     

角格点一些猜想的统一证明

文 [1 ]给出了文 [2 ]中一些猜想的证明 .在此 ,笔者运用角元形式的塞瓦定理再给出这些猜想统一简捷的证明 .角元形式的塞瓦定理　设 A′,B′,C′分别是△ ABC的三边 BC,CA,AB上的点 ,则三直线 AA′,BB′,CC′共点的充要条件是sin∠ BAA′sin∠ A′AC.sin∠ CBB′sin∠ B′BA.sin∠ ACC′sin∠ C′CB=1 .事实上 ,如图 1 ,由BA′A′C=S△ ABA′S△ AA′C =AB . sin∠ BAA′AC . sin∠ A′AC,CB′B′A=BC . sin∠ CBB′AB . sin∠ B′BA,AC′C′B=AC . sin∠ ACC′BC . sin∠ C′CB.图 1三式相乘 ,再运用…     

2021年全国新高考Ⅰ卷第19题赏析

<正>(2021年全国新高考Ⅰ卷第19题)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b²=ac,点D在边AC上,BDsin∠ABC=asinC.(1)求证:BD=b;(2)若AD=2DC,求cos∠ABC.试题中(1)的证明较为简单,过程如下:如图1,在△ABC中,由正弦定理可得b sin∠ABC=c sinC.与BDsin∠ABC=asinC相乘得BD·b=ac=b2=ac,点D在边AC上,BDsin∠ABC=asinC.(1)求证:BD=b;(2)若AD=2DC,求cos∠ABC.试题中(1)的证明较为简单,过程如下:如图1,在△ABC中,由正弦定理可得b sin∠ABC=c sinC.与BDsin∠ABC=asinC相乘得BD·b=ac=b²?BD=b.     

对一道课本习题的多种证法探究

<正>试题(北师大版高中数学必修5第57页第1题)如图1,一条直线上有三点A,B,C,点C在点A与点B之间,点P是此直线外一点.设∠APC=α,∠BPC=β.求证:sin(α+β)/PC=sinα/PB+sinβ/PA.证法1正弦定理记PB=a,PA=b,PC=l,AC=m,BC=n.在△PAC中,sinα/m=sinA/ l,在△PBC中,sinβ/n=sinB/l.所以sinα=msinA/l,sinβ=nsinB/l.所以sinα/a+sinβ/b=msinA/la+nsinB/lb=m/l·sin(α+β)/m+n+n/l·sin(α+β)/m+n=sin(α+β)/m+n·m+n/l=sin(α+β)/l,     

双曲线的一个性质及应用

圆锥曲线有很多奇妙的性质．下面我们来探讨一下双曲线的一个性质及应用．性质 A是双曲线x2/a2-y2/b2=1上的一点, l1,l2是渐近线,作AB∥l2交l1于B,AC∥l1 交l2于C,则|AB|·|AC|为定值．证明如图1,作 AD⊥l1于D,作AE ⊥l2于E．∵ sin∠BOC 为定值,|AB|·|AC| =|AD|·|AE|/sin2∠BOC,故只需证得|AD|·|AE|为定值．设A(x0,y0),     

一个三角不等式确界的确定

在△ ABC中 ,设∠ A、∠ B、∠ C的对边分别为 a,b,c.文 [1 ]给出了不等式5940 相似文献   

三角形等角共轭点的一个性质

定理 设P、Q为△ABC内两点,且∠PAB=∠QAC, ∠PBC=∠QBA,∠PCA=∠QCB,求证:(AP)/(AQ)=(sin∠BQC)/(sin∠BPC), (BP)/(BQ)=(sin∠AQC)/(sin∠APC), (CP)/(CQ)=(sin∠AQB)/(sin∠APB).     

图证三角等式二例

图证三角等式,直观具体,深刻地揭示了数形间的联系,兹举两例,以示一斑。例1 设α、β为锐角,α>β,tga=2tgβ,求证:sin(α β)=3sin(α-β) 证明构造△ABC,AD⊥BC,D、E三等分BC,设∠BAD=β,∠CAL=a。满足题设要求。连结AE,则△ABE为一等腰三角形,且∠CAE=α-β。如图,作BC⊥AC,EF⊥AC则 sin(α β)=BG/AB=BG/AE,sin(α-β)=EF/AE, 由BG=3EF →sin(α β)=3sin(α-β)。例2 求证:1/sin12°=1/sin24° 1/sin48° sin96°证明构造Rt△ABC,使∠A=12°,作AB的垂直平分线交AC于D,连结BD,作BD的垂直平分线交AC于E,连BE,作BE的垂直平分线交AC的延长线于F,连BF,设BC=1,则     

“图”说锐角三角函数的增减性

(一)当0°<α<90°时,sinα、tanα的值均随α的增大而增大.图1如图1,在△A1BC中,∠C=90°,点A2、……、An在A1C边上,∠BA1C=α1、∠BA2C=α2、……、∠BAnC=αn.由定义得sinα1=BC A1B、sinα2=BC A2B、……、sinαn=BC AnB.由三角形外角大于不相邻的内角得α1<α2<……<αn,又在△BA1A2中,∠BA2A1>90°>α1,∴A1B>A2B(大角对大边).同理A2B>A3B>…AnB.∴A1B>A2B>……>AnB.∴sinα1相似文献   

三角形线段比中的两个定理及应用

本文首先介绍三角形线段比中的两个有用定理 .定理 1　在△ ABC中 ,E为 BC上一点 ,任作一直线分别交 AB、AE、AC于 P、N、Q,若记 BEEC=λ,则PNNQ=λ.APAB.ACAQ.证明　如图 1所示 ,在△ ABE和△ AEC中 ,由正弦定理可得sinα=BE .sin∠ 1AB ,sinβ =EC .sin∠ 2AC . 图 1∵　∠ 1     

椭圆、双曲线另一组离心率公式及其应用

求椭圆、双曲线离心率一般涉及到解析几何、平面几何、代数等多个知识点,综合性强方法灵活,解题关键是挖掘题中的隐含条件,可先找出含a,b,c的等式关系,再求离心率·在教学过程中,笔者发现椭圆、双曲线另一组离心率公式给我们解决某一类离心率问题会带来意想不到的“神奇”效果!现用定理的形式叙述并证明·1离心率公式定理1(如图1)设椭圆x2a2+yb22=1(a>b>0)的两个焦点为F1、F2,P是椭圆上异于长轴端点的任意一点,在△PF1F2中,记∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,∠F1PF2=γ,e是椭圆的离心率,则有sinαsin+γsinβ=e·图1图2证明在△PF1F2中,|sPinFα2|=|sPinFβ1|=|Fsi1nFγ2|,则|PF2|+|PF1|sinα+sinβ=|Fsi1nFγ2|,∴sinα2+asinβ=si2ncγsinαsin+γsinβ=22ac=e·定理2(如图2)设双曲线ax22-by22=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,P是双曲线上异于实轴端点的任意一点,在△PF1F2中,记∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,∠F1PF2=γ,e是双曲线的离心率,则有|sinαsin...     

四边形的内接三角形的一个性质

图1我们先了解关于圆内接三角形的一个性质.如图1,△x1y1z1为⊙O的内接三角形,P为圆内一点,x1P、y1P、z1P与圆分别交于x2、y2、z2.则△x1y1z1△x2y2z2=Px1·Py1·Pz1Px2·Py2·Pz2.注本文等式中的“△xyz”均表示△xyz的面积.简证设⊙O的半径为R,连z1O并延长交圆于y1′,连x1y1′,则∠x1y1z1=∠x1y1′z1.于是△x1y1z1=12x1y1·y1z1·sin∠x1y1z1=12x1y1·y1z1·sin∠x1y1′z1=12x1y1·y1z1·x1z12R=14Rx1y1·y1z1·x1z1.同理△x2y2z2=14Rx2y2·y2z2·x2z2.故△x1y1z1△x2y2z2=x1y1·y1z1·x1z1x2y2·y2z2·x2z2=     

一类离心率范围问题的统一结论

1　题目已知椭圆C :x2a2 + y2b2 =1(a >b >0 ) ,F1,F2 是焦点 ,如果C上存在一点P ,使∠F1PF2 =α(0° <α<180°) ,则椭圆离心率的范围是sin α2 ≤e <1.证明　方法 1:设 |PF1| =m ,|PF2 | =n ,∠PF2 F1=θ,则∠PF1F2 =180° - (α +θ) .在△F1PF2 中 ,根据正弦定理得 :msinθ=nsin[180° - (α +θ) ]=2csinα,根据比例性质及诱导公式得m +nsinθ +sin(α +θ) =2csinα.因m +n =2a ,故 2asinθ +sin(α +θ) =2csinα,所以e =ca =sinαsinθ +sin(α +θ)=2sinα·cos α22sin α2 +θcos α2=sin α2sin(α2 +θ)≥sin α2 ,当…     

布洛卡点与一道IMO试题

题设P是△ABC内一点,求证∠PAB、∠PBC、∠PCA至少有一个小于或等于30°。这是1991年举行的第32届国际数学奥林匹克第五题,我们把黄岗中学王崧的解法(参见[1])摘要如下: 证明如图1,容易推得sinasinβsiny=sin(A—a)sin(B—β)sin(c—y)(1) 由于当x,y∈(0,π)时有 sinxsiny=(cos(x-y)-cos(x y))/2 ≤sin~2(x y)/2 (2) 以及Insinx是上凸函数,故 sinasinβsinysin(A-α)sin(B-β)sin(C-y)≤sin~6(α β y A-a B-β C-)/6=(1/(2~6)) (3)     

一类三角函数式求值问题的解法与判别

先看一例例一,求sin78°sin66°sind2°sin6°的值, 解设A=sin78°sin66°sin42°sin6°, B=cos78°cos66°cos42°cos6°则A·B=(1/16)sin156°sin132°sin84°six12° =(1/16)cos66°cos42°cos6°cos78°即A·B=1/16B,     

再谈四面体的六棱求积公式

文[1],文[2],文[3]都是本刊陆续刊登的已知四面体六条棱的长求四面体体积的计算公式,可见此问题具有一定的研究价值,读完这一连串文章确实获益匪浅.笔者通过研究,借鉴这三篇文章的证明方法,得出已知四面体的六条棱求积的一个新公式.图1引理图引理在四面体SABC中∠CSB=α,∠CSA=β,∠BSA=γ,α1为二面角C SA B的平面角,则cosα1=cosα-cosβ·cosγsinβ·sinγ.证作CH⊥面ASB于H,CD⊥SA于D,连结DH并延长交SB于M,则∠CDM=α1为二面角C SA B的平面角.CD=SD·tanβ,CS=SD·secβ,DM=SD·tanγ,SM=SD·secγ.在△CSM与…