一赛题的另解

题目在△ABC中,∠BAC=40°,∠ABC=60°,若D和E分别是边AC和AB上的点,且使∠CBD=40°,∠BCE=70°,F是BD和CE的交点,连结AF,求证：AF⊥BC．     

有关角格点问题的拓展探究

<正>1原练习题的呈现和说明原练习题的呈现《中学生数学》2020年7月下(初中版)课外练习初二年级第3题:如图1,在等腰△ABC中,顶角∠A=80°,在△ABC内取一点M,使∠MBC=30°,∠MCB=10°,计算∠AMC的值.说明在等腰△ABC中,顶角∠A=80°,则两个底角∠ABC=∠ACB=50°.已知∠MBC=30°,∠MCB=10°,则∠ABM=20°,∠ACM=40°,∠BMC=140°,(以上所得角的度数在另解时将直接引用).     

一道数学竞赛题的多种证明

<正>题目(2011年北京市中学数学竞赛)在△ABC中,∠ABC=60°,∠ACB=40°,P为∠ABC的角平分线与∠ACB的角平分线的交点.证明:AB=PC.为了使证明过程简明,我们先把后面证明中需要多次用到的关键步骤给出证明,当再次用到结论时,直接写出即可证明如图1,连结AP,在△ABC中,∠ABC=60°,∠ACB=40°,     

一赛题的另解

<正>题目在△ABC中,∠BAC=40°,∠ABC=60°,若D和E分别是边AC和AB上的点,且使∠CBD=40°,∠BCE=70°,F是BD和CE的交点,连结AF,求证:AF⊥BC.此题是2013年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题第四题,竞赛组委会所提供的答案是采用多组"四点共圆"进行证明的.本文再给出另外几种证法,供读者赏析.     

2010年莫斯科大学计算数学与控制论系入学考试试题解答

题目(重庆市初中数学竞赛)如图,△ABC中,∠ACB=90°,∠CAD=30°,AC=BC=AD.求证:BD=CD.分析由题设中的已知条件,△ABC为等腰直角三角形.易求得∠BAD=15°,∠ACD=75°,∠DCB=15°.要证明BD=CD,即要证明∠DBC=15°,或证明点D在BC的中垂线上.     

一道几何赛题的简证

<正>题目 (2013年北京市中学生数学竞赛复赛(高一))在△ABC中,已知∠BAC=40°,∠ABC=60°,D、E分别为边上AC、AB上的点,且使得∠CBD=40°,∠BCE=70°,F为BD与AC的交点,联结AF.证明:AF丄BC_[1].文[1]利用添辅助线的几何方法证明,十分繁琐,文[2]利用角元塞瓦定理,这个定理一般中学生不知道,比较冷僻,更谈不上应用.本文利用向量给出一种简单自然的证法,     

一道联赛试题的别证

题目如图1,在四边形ABCD中,已知∠BAD=60°,∠ABC=90°,∠BCD=120°,对角线AC,BD交于点S,且DS=2SB.求证:AD=DC这是2011年全国初中数学联赛第二试第二题(B卷),命题组提供的参考答案用三角形全等来证明.下面再提供三种有别于参考答案     

a+b=c+d型线段证明题的解法

<正>1.原题呈现在△ABC中,∠BAC=60°,∠C=40°,AP平分∠BAC交BC于P,BQ平分∠ABC交AC于Q.求证:AB+BP=AQ+BQ.题目解析这道题目区别于一般的证明a=b+c的形式,要证结论为等号两侧均是线段和,所以无法直接利用"截长补短"进行解决.针对这类题目首先要合理挖掘题目条件,找准转化方向,才能找到题目的突破点.2.解法探究     

一道课外练习题的解法探析

《中学生数学》(初中)2011年第9期(下)"课外练习"初三年级的第3题是:如图1,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=80°,P为△ABC内一点,若∠PBC=10°,∠PCB=30°,求∠PAB的度数.此为1983年前南斯拉夫数学奥林匹克试题,虽有一定的难度.但不乏思考性和趣味性.下面将探析该题的另几种新颖、独特的解法,供读者参考.     

判定直线与圆相切的办法

<正>一、已知条件中直线与圆有公共点,且存在连接公共点的半径,则可直接根据"经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线"来证明.图1例1如图1,已知AB是⊙O的直径,AC是⊙O的弦,点D为AB延长线上一点,连接CD,且∠OCA=25°,∠D=40°.判断直线CD与⊙O的位置关系,并证明你的结论.解直线CD与⊙O相切.理由如下:∵OA=OC,∠OCA=25°,∴∠A=∠OCA=25°.又∵∠DOC是△AOC的外角,∴∠DOC=∠A+∠OCA=25°+25°=50°.在△DCO中,∵∠D=40°,∠DOC=50°,     

一道几何证明题的探讨分析

<正>在我们刚刚学完八年级下册的第十三章《轴对称》后,我给学生出了一道课后思考题:已知:如图1,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点D在△ABC内,∠DBC=15°,∠DCB=30°,求证:DA=DC.学生给出了很多方法.方法 1:由对称构造特殊角,得到等边三角形分析把△ABD沿BD翻折,得到等边     

一个定理的七十二变

有这样一个定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.这个定理的证明方法如下:已知:在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°.求证:BC=12AB.证法一如图1,延长BC至D使CD=BC,连结AD.根据"边角边"可证△ABC≌     

数学问题解答

2011年7月号问题解答(解答由问题提供人给出)2011 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,点D在AB上(不含端点),点E在CA的延长线上,使得CE+ 2BD=√3CB,连结CD、BE.证明:CD=1/2BE.     

构造全等证角相等的若干方法

在平几中,证明两个角相等的方法较多.本文介绍一例“构造全等三角形”的证明方法.例已知:如图1,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,M是AC的中点,CE⊥BM于E,延长CE交AB于D.求证:∠CMB=∠AMD.分析:此题有两个基本图形,一个是Rt△ABC,其中AC=BC,∠A=∠ABC=45°,∠ACB=90°;另一个是Rt△M     

《数学通报》2011号问题的三角证法

《数学通报》2011年第8期刊登的2011号问题如下:图1如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,点D在AB上(不含端点),点E在CA的延长线上,使得CE+2BD=槡3CB,连结CD、BE.证明:CD=12BE.文[1]提供的参考答案利用了一个较陌生的     

一道竞赛题的多种解法

<正>原题如图1,在△ABC中,∠C=90°,∠CAD=30°,AC=BC=AD,求证:CD=BD.分析本题中,易知∠CAB=∠CBA=45°,结合∠CAD=30°可以求出一系列角的度数.同时,要充分挖掘三条相等线段的特殊关系,寻找恰当的全等三角形,而辅助线则成为该题解决的一个关键.     

画图工具走进中考试题

一些常用画图工具三角尺、直尺、量角器等,它们是一些特殊图形,熟知且便于操作．本文将举例分析由画图工具组合的图形问题．一、量角器与三角板组合例1如图1,形如量角器的半圆O的直径DE=12cm,形如三角板的△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,BC=12cm．半圆O以2cm/s的速度从左向右运动,在运动过程中,点D、E始终在直线BC上,设运动     

求阴影部分面积的几种常用方法

一、和差法仔细观察图形,明确该图形是由哪些简单而规则的图形组合而成,利用这些基本图形的和与差求出阴影部分的面积.例1如图1,在Rt△ABC中,已知∠BCA=90°,∠BAC=30°,AB=A′     

一道三角形周长最小值竞赛题的解法

题目 在△ABC中,∠A=60°,∠C=75°,AB=10,D,E,F分别在AB,BC,CA上,则△DEF的周长的最小值为___．     

巧解一道几何题

题目如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,点D在AB上（不含端点）,点E在CA的延长线上,使得CE+2BD=3^1/2CB,连接CD,BE.证明:CD=12BE.这是《数学通报》2011年第7期数学问题解答的第2011题,原文给出的解答过程比较复杂,引入并证明了引理下面给出一种非常