巧用数列单调性解决不等式问题

<正>数列是一种特殊的函数,一种定义在正整数集（或其子集）上的函数,因此也具有单调性.单调性是数列的一个重要性质.一般地,如果数列{a_n}满足:对任何正整数n,若a_n+1>a_n(或a_n+1n)均成立,则称数列{a_n}是单调递增（单调递减）.很多与正整数有关的不等式问题,均可利用相关数列的单调性获得简单解决.     

递推数列的通项求法例析

在必修5《数列》P69T6:已知数列{a_n}中,a₁=5,a₂=2,a_n=2a_n-1+3a_n-2（n≥3）对于这个数列的通项公式作一研究,能否写出它的通项公式?这是一道已知数列的递推式,求数列的通项公式,而且涉及到三个量的关系,它是本章内容的一个提升.本文试从这道题的类型展开加以研究.     

用整数函数求一类递推数列前n项和

<正>问题设数列{a_n}的前m项为a₁,a₂,…,a_m,且a₍n+m₌a_n+d（n=1,2,…）,d为非零常数,求数列{a_n}的前n项之和S_n.这类递推数列的求和问题,是求递推数列前n项和中难度最大的问题.为此,本文以实例来说明它的求     

一类Cantor整数的渐近性质

对于任意的正整数p≥3,用{a_n}_n≥0表示p-进展式数字只取偶数的非负整数所构成的数列.我们给出了a_n的增长阶为log_sp,其中s=[p/2],[·]为取上整函数.证明了{a_n/n^{log_s p}}_n≥1在[2s-2/p-1,2]中稠密.并从测度的角度对该稠密性加以阐释.     

评讲 深思 拓展 提升——谈高三试卷评讲课的思维深度

<正>文[1]指出,高三试卷讲评课中存在"就题论题,缺少必要的延伸拓展"现象,造成这种现象的原因值得深思.本文从评讲课中的"好数列"入手,深思"好数列"的背景,并借用2017年南通二模卷的20题拓展,将问题推而广之和牵引到等比数列上,深刻反思试卷讲评课不能有效拓展现象,与各位同仁一起反思进步.一、讲评课中的"好数列"例1 设数列{a_n}的前n项和为S_n,且数列{a_n}的各项均为不等的正整数,我们称满足条件:"对任意的m,n∈N*,均有     

蛛网图的深化及应用

<正>对一阶递推关系式a_n+1=f(a_n)而言,函数y=f(x)称为数列{a_n}的递推(迭代)函数,a₁为递推初值.利用递推函数:y=f(x)与直线y=x的图像可以方便、直观地研究数列{a_n}的相关性质.这种形象、便捷的方法称之为蛛网图.     

对一个数列问题的探究

在数列学习过程中,有这样一个问题:已知各项均为正数的数列{a_n},其前n项和S_n满足4S_n=（1+a_n）²,求其首项和通项公式.这个问题的解决并不难,将n=1代入,可得首项a₁=1,用4S_n=（1+a_n）²减去4S_n-1=(1+a_n-1)²（n>1）,得a_n=a_n-1+2或a_n=-a_n-1（n>1）,因为该数列各项均为正数,所以a_n=-a_n-1不成立,得a_n=a_n-1+2（n>1）,为等差数列,所以a_n     

对一个分段递推数列周期性的研究

在教学过程中,我遇到了这样一个问题: 问题0 已知以a为首项的数列{an}满足:an+1={an-3,an＞3 2an,an≤2,其中n∈N*.求正整数a,k的值,使得等式an+k=an对任意正整数n都成立. 本问题的实质是探求该数列的周期性,其中的条件"a∈N*"深深吸引了我,如果a可以取其他的实数值,该数列周期性的结论是怎样的呢?     

基于一道多选题探究求和型不等式的处理策略

基于一道多选题,探讨数列和型不等式S_n≤g(n)或S_n≥g(n)的常用求解策略(其中Sn是数列{a_n}的前n项和,a_n已知),注重题目的“想”的过程,旨在展现思维过程,打通条件与待求之间的连接通道.     

函数与等差数列

<正>一、利用一次函数的图像例1已知等差数列{a_n},a_m=n,a_n=m,（m,n∈N^*,m≠n）,则a_m+n=_<sub><sub>.解对于等差数列{a_n),其通项a_n=a₁+     

妙解三例

<正>等差数列{a_n},其通项可以统设为a_n=An +B,（其中A=d,B=a₁-d）,前n项和可以统设为S_n=An²+Bn,（其中A=（d/2）,B=a₁-（d/2））,灵活运用这个公式,可使解题变得简单,快捷.例1若数列{a_n}为等差数列,a_p=q,a_q=     

2023年天津高考数学数列题的解法及拓展

<正>今年高考结束后和一个天津考生交流,他说今年的第19题数列题“有点儿怪”．下面我们就来看看这道题．1原题及解法分析题目已知{a_n}是等差数列,a₂+a₅=16,a₅-a₃=4.(1)求{a_n}的通项公式和■     

基于中学生数学运算能力的解题教学模式探究

<正>不同的教学理论、教学目标、教学策略以及对师生双边活动的不同安排,构成了不同的教学模式.教学模式是建立在一定的教学理论和教学思想下的,"每一个模式都有一个内在的理论基础".笔者针对"提高中学生数学运算能力"问题下的解题教学模式进行探究,提出一种"诊疗式"的解题教学模式.1案例表征题目在等比数列教学后,可设置这样的问题:已知数列{a_n}满足a₁=t>1,a_n+1=（n+1）/na_n,求数列{a_n}的通项公式.分析:本题考查由数列递推公式求数列通项公式,涉及到等比数列求通项公式的方法.考查学生观     

Fibonacci数列模p~r的周期性研究

对任意素数p、正整数r,Fibonacci数列{Fn}对pr取模构成一个数列{an}.若{Fn}的最小正周期为T,则{an}的最小正周期为pr-1T,首次提出该定理,并用数学归纳法进行了证明.此外对任意正整数m,不加证明地给出了{Fmod m}的周期性定理.     

Fibonacci数列的模数列的周期性

对于Fibonacci数列{Fn}以及给定的正整数m,由Fn关于模m的最小非负剩余an,构成一个新的数列{an},称为Fibonacci数列的模数列.本文利用初等数论的知识和数学归纳法,证明了Fibonacci数列的模数列是周期数列,并且是纯周期数列.     

Fibonacci数列的模数列的周期的一个性质

Fibonacci数列的模数列是周期数列,并且是纯周期数列.利用模数列的定义,讨论了Fibonacci数列的模数列的周期的一个性质,证明了下列结果:假设m1与m2为不同的正整数,Fibonacci数列{Fn}的模数列{an(m1)}与{an(m2)}的最小正周期分别为T1与T2,则模数列{an([m1,m2])}的最小正周期为[T1,T2].     

利用单位根给出一般周期数列的通项公式

首先回顾周期数列的定义:给定数列{an},如果存在不为0的正整数T,使得ai=ai+T对一切自然数i都成立,则称数列{an}称为周期数列,称T为这个数列的周期.例如a,b,c,a,b,c,…,一般要写出这个简单周期数列的通项并不困难,通常可以用分段通项公式来确定.但     

再谈不动点在数列通项公式求解中的作用

<正>贵刊文[1]利用函数f（x）的"不动点"巧妙地求出了形如a_n=(a·a_n-1+b)/(c·a_n-1+d)（a,b,c,d均不为零且（d-a）⁺4dc≥0）,及a_n=(a·a_n-1²+b)/(2a·a_n-1+c) （a,b,c均不为零且c²+4ad>0）的数列通项公式,读后深受启发.经过研究,本人发现利用函数f（x）的"不动点"还可求出如下一种形式的数列通项公式:     

求数列通项的题型分析及方法总结

<正>求数列通项是数列部分的一种常考题型,本文中对求数列通项的题型进行分类总结,给出六种求解方法:累加法、累乘法、裂项相消法、特征根法、对数构造法、换元构造法.1 累加法形如a_n+1=a_n+f(n)或a_n+1-a_n=f(n)的递推数列,其中f(n)是关于n的函数.对于该类数列的通项求解可采用累加法.具体方法如下:将a_n+1=a_n+f(n)列举为■将(n-1)个式子左右两边对应相加,得a_n+1-a₁=f(1)+f(2)+……+f(n),进而可求得该数列的通项公式.     

等比数列的项不能为零

<正>《普通高中课程标准实验教科书（人教B版）·数学5必修》第54页练习B第3题:已知数列{a_n}是等比数列,S_n是其前n项和,试问S_n,S_2n—S_n,S_3n—S_2n,S_4n—S_3n,…（?）成等比数列吗?证明你的结论.这是一道开放性题目,需要给出严格的证明.