一道预赛不等式的简证

2010年全国高中数学联赛广东省预赛解答题第3题如下:题目设非负实数a,b,c满足a+b+c=1,求证:9abc≤ab+bc+ca≤1/4(1+9abc).证由Schur不等式的一个特例,即对于非负实数x,y,z,有     

权方和不等式的改进及其姊妹不等式

1 权方和不等式的改进 不等式:xm+1/1/ym/1+xm+1/2/ym/2+…+xm+1/n/ym/n≥(x1+x2+…+xn)m+1/(y1+y2+…+yn)m (A) (其中xi,yi∈R+,i=1,2,…,n,m＞0),当且仅当x1/y1=x2/y2=…=xn/yn时取等号.     

一个几何不等式的推广

文[1]中介绍了如下一个经典的几何不等式: 命题 P是△ABC的一个内点,D、E、F分别是P与A、B、C的连线和对边的交点,则S△DEF≤1/4S△ABC. 本文对其作如下推广: 推广 P是△ABC的一个内点,D、E、F分别是P与A、B、C的连线和对边的交点,分别记△AEF、△BFD、△CDE、△DEF的面积为S1、S2、S3、S0,则S1S2S3≥S30,等号成立当且仅当P是△ABC的重心.     

二元柯西不等式的一个类似

二元柯西不等式已知a,b,c,d∈R,求证(a2+b2)·(c2+d2)≥(ac+bd)2(当且仅当ad=bc时取等号). 二元柯西不等式的类似已知a,b,c,d∈R,求证(a2-b2)(c2-d2)≤(ac-bd)2(当且仅当ad=bc时取等号).读者用分析法容易证得它们,下面给出后者的运用.     

两道不等式的探究与推广

近日,看到文[1]中利用不等式的方法解决了一道求最小值的问题,作者的解法引起了我的遐想,正如牛顿所说"没有大胆的猜想,就做不出伟大的发现".下面将该题目改换一下形式,谈谈自己的点滴想法,希望能和大家共勉.     

一道联赛不等式的简证与溯源

题目(2010年全国联赛广东省预赛)设非负实数a,b,c满足a+6+c=1,求证:9abc≤ab+bc+ca≤1/4(1+9abc). 文[1]给出该不等式的一种证法,本文将给出它的另外两个简证并谈谈该不等式的源, 证明先证左边9abc≤ab+bc+ca<=>(b+c)≥(9a-1)bc<=>a(1-a)≥(9a-1)bc.     

一道联考试题的探究与推广

一、提出问题2011年北大等十三校联考(北约)自主招生考试数学试卷的压轴题是:求|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+…+|2011x-1|的最小值.如何求?二、探究思路引例1函数     

最小值问题的三种解法

<正>在学校数学组的一次教研活动中,有位老师提出一个值得探讨的问题:能用几种方法"求函数y=sinx+(4/(sinx))(x∈(0,π/2])的最小值"?对此,笔者经过思考,给出一个与数字2008有关的同类题,并给出三种不同的解法,供读者参考.     

应用均值不等式的“技巧”

均值不等式槡(ab)～(1/2)≤a+b/2(a>0,b>0,当且仅当a=b时取等号)是高中数学中的一个重要不等式,应用广泛,是求解某些函数最值问题的有效工具.应用均值不等式有三个必要条件:一正二定     

柯西不等式的妙用

设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立．以上不等式就是选修4-5<不等式选讲>中所介绍的柯西不等式(简记为方和积不小于积和方),其应用十分广泛和灵活,掌握它,对证明不等式、求函数的最值、解方程(组)、求参数的取值范围、求代数式的值、实现有效传接等都是大有裨益的.     

一个有理型不等式的类比

文[1]给出了如下不等式:设a,b>0,若ab≥1/2,则1/(1+a2)+1/(1+b2)≤1+1/(1+(a+b)2)当且仅当a=b=2～(1/2)/2时等号成立.本文给出不等式①的一个类比.     

巧用贝努利不等式及推论解竞赛题

贝努利不等式具有简单的结构、深刻的内涵,在高等数学中有广泛的应用,比如利用贝努利不等式能简洁明快地证明重要极限     

易被忽视的三角最值的求法

<正>若函数y=f（x）+g（x）,当f（x）、g（x）同时在某个自变量x₀处取得最大（小）值,则在自变量x₀处,函数y取得最大（小）值为f（x₀）+ g（x₀）.本文仅例探该结论在三角函数求最值方面的应用.     

几个重要指数不等式的应用

在近几年全国各地的高考试卷中,函数始终是考查的重点,也是热点,且大多以压轴题的形式出现.考查的重点是函数的性质以及与之相关的范围问题、最值问题、恒成立问题、不等式的证明问题和方程的解的个数问题等.在解决这些问题时,常常需要用到以下几个指数不等式：     

一道联考题的简证及一个不等式的加强

这是2012年湖北省七市(州)联考的压轴题:已知函数(f)(x)=aex,g(x)=lnx-lna,其中a为常数,e=2.71828…,且函数y=f(x)和y=g(x)的图像在它们与坐标轴交点处的切线互相平行.