数形结合巧解绝对值方程

定理对于方程|x-a|+|x-b|=c,(1)当|x-a|+|x-b|<|a-b|时,方程无解.(2)当|x-a\+|x-b|=|a-b|时,方程的解为min{a,b}≤x≤max{a,b}.(max{a,b)表示a、b中较大的数,min{a,b}表示a、b中较小的数)(3)当|x-a|+|x-b|>|a-b|时,方程     

编者给许跃辉同学的复信

许跃辉同学: 你好!读了你给编辑部的来信,谢谢你对我们的信任和支持. 就你信中所问,我认为,你提出的"原理"没有错.就是说,在一定条件下,不等式 |x-a|+|x-b|≤m(或≥m)     

关于复数的三角不等式

我们知道 ,对于任意两个复数 z1 和 z2 ,有　 |z1 |- |z2 |≤ |z1 +z2 |≤ |z1 |+|z2 |,这是有名的的三角不等式 .它是一个极其初等而又重要的不等式 ,在分析学里扮演着基本的角色 ,具体可见文献 [1][2 ].根据这个不等式 ,我们容易知道 ,对于任意两个模为 1的复数 t1 和 t2 ,亦有|z1 |- |z2 |≤ |t1 z1 +t2 z2 |≤ |z1 |+|z2 |.现在 ,我们运用三角形的正弦定理和射影定理来分析上面的三角不等式 ,首先证明下面的定理 1　设 z1 、z2 和 z是 3个复数 ,满足|z1 |- |z2 |≤ |z|≤ |z1 |+|z2 |,则存在两个模为 1的复数 t1 和 t2 ,使得z =t1 z1 +t…     

关于|a+b|=|a|+|b|及|a-b|=|a|-|b|的应用

1.在重要不等式|a+b|≤|a|+|b|中,当且仅当a≥0,b≥0或a≤0,b≤0时等号成立,即|a+b|=|a|+|b|的充要条件是ab≥0。因此|a+b|<|a|+|b|的充要条件是ab<0。同样,等式|a_1+a_2+…+a_n|=|a_1|+|a_2|+…+|a_n|成立的充要条件是a_1,a_2,…,a_n有相同符号。这一简单事实,在数学中有着重要的应用。 1)在解方程中的应用解方程|lg(2x-3)+lg(4-x~2)|==|lg(2x-3)|+|lg(4-x~2)|。解:根据|a+b|=|a|+|b|的充要条件是ab≥0,所以原方程等价于不等式 lg(2x-3)lg(4-x~2)≥0。解这个不等式: lg(2x-3)lg(4-x~2)≥0 lg(2x-3)lg(4-x~2)≥0 2x-3>0 4-x~2>0     

从几何意义入手求绝对值的最值

《中学生数学》2010年9月(下)发表了田茂江老师的《一类新的绝对值最值问题》,文中讨论了形如|x-a1|+|x-a2|+|x-a3|+…+|x-an|其中a1≤a2≤…≤an一类绝对值问     

利用绝对和差的几何意义求解几类问题

<正>我们知道,"|x-a|+|x-b|"的几何意义为:数轴上的点x到两定点a、b的距离之和;"|x-a|-|x-b|"的几何意义为:数轴上的点x到两定点a、b的距离之差.这将是用数形结合研究此类问题的关键,下面笔者就用其几何意义解决最值问题﹑恒成立问题﹑存在性问题﹑解不等式等问题.     

绝对值不等式的性质如何用?

同学们知道,绝对值不等式有性质:|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.容易证明该性质还可以加强为:||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.如何运用这一性质?是高中数学学习中的一个难点.下面拟举例说明如何运用它.一、运用绝对值不等式的性质不取等号的     

不等式“|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|”应用例析

不等式“|a|- |b|≤ |a b|≤ |a| |b|[1] ”(以下简称 [1])是高中数学的一个重要知识点 ,考试大纲说明中对此有明确要求 :会应用不等式“|a|- |b|≤ |a b|≤ |a| |b|”.事实上 ,如何有效地、灵活地应用不等式 [1]证明有关综合性代数推理题是高中数学的难点 .以下简述知识要点     

平底锅不等式的两种类型

<正>2019年最新修订的高中数学人教B版教材中有一类有趣的绝对值函数,其图象比较有特点,本文对这类函数的图象特征进行总结,旨在利用结论可以使同学们方便地在图象中求解问题,而不需要分类讨论.1平底锅不等式的两种类型(1)锅型不等式形如y=|λx-a|+|λx-b|的函数,其图象如平底锅的锅身,如图1所示.1)锅底的两个拐点坐标分别为|λx-a|=0和|λx-b|=0的根;     

一道联考试题的探究与推广

一、提出问题2011年北大等十三校联考(北约)自主招生考试数学试卷的压轴题是:求|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+…+|2011x-1|的最小值.如何求?二、探究思路引例1函数     

对一类函数不等式的讨论

一、问题的来源例 :已知 :当 |x|≤ 1时 ,有 |ax2 +bx +c|≤ 1 .证明 :当 |x|≤ 1时 ,有 |2ax +b|≤ 4 .以上为一匈牙利奥数竞赛题 ,综观各类文献 ,其典型的证法有以下两种 :证法一 :记f(x) =ax2 +bx+c,g(x) =2ax+b.因函数 g(x)在 [- 1 ,1 ]上单调 ,故只要证明在已知条件下有 |g(1 ) |=|2a+b|≤4且|g(- 1 ) |=|- 2a+b|≤ 4即可 .易知2a+b=32 (a +b +c) +12 (a -b +c) - 2c=32 f(1 ) +12 f(- 1 ) - 2f(0 ) .于是由 |f(- 1 ) |≤ 1 ,|f(0 ) |≤ 1及|f(1 ) |≤ 1 ,知 |2a +b|≤ 32 |f(1 ) |+12 |f(- 1 ) |+2 |f(0 ) |≤32 +12 +2 =4,即 |2a +b|…     

函数f(x)=∑ni=1|aix+bi|的最小值求法探究

众所周知,函数 f(x)=|x-b1|+|x-b2|(b1＜b2)的最小值为|b1-b2|,此时x∈[b1,b2].这不仅可以利用函数图像求得,也可用绝对值不等式的性质很快得出结果.     

一类绝对值不等式的快速解法

大家知道:形如|x 2| |3x-5|≥4x 3或|x 2| |3x-5|≤4x 3的不等式,一般采用对x分区间去绝对值的方法来求解,因此较为麻烦.下面将给出这类问题的一种快速解法,为此,我们先给出这类不等式的两个同解定理。     

一道2011年自主招生题的探究与反思

题目(2011年北大等十三校联考(北约)自主招生第7题)求|x-1|+|2x-1|+…+|2011x-1|的最小值.本题作为最后的压轴题,完解本题,意义非凡.对多数考生和老师来说,题型新而难,是备考中没有见过的,不知从何入手.实际上,文[1],[2],[3]对此题型作了专门探讨,分别用绝对值不等式性质和分段函数的单调性给出了结论及其证明.在此基础     

为什么是错解?

高考模拟卷中的一道题:若对任意的x∈[1/6,1/3],不等式|a-lnx|+ln3/3x+2>0成立,求实数a的取值范围.此题正确而又简单的解法是避免打开绝对值.     

An inequality for polynomials with a prescribed zero

Let p_n(z)=∑_(k-0)~n a_kz~k be a polynomial of degree n such that |p_n(z)|≤M for |z|≤1. It is well.known that for 0≤u相似文献   

用辅助函数法解题

引入辅助函数以帮助解题是数学上的重要方法,引入辅助函数后,可以运用函数的增减性,定义域、值域、最值、连续、可导,可微、可积来帮助解题。现举几例加以说明: 例1 求证(|a+b|)/(1+|a+b|)≤(|a|+|b|)/(1+|a|+|b|) 分析:由于0≤|a+b|≤|a|+|b|、把|a+b|,(|a|+|b|)作为一个变量的两个不同的值,设x_1=|a+b|、x_2=|a|+|b|。原不等式化为x_1/(1+x_2)≤x_2/(1+x_2),因此只要证明函数f(x)=x/(1+x)在x≥0是增函数即可,用研究函数的增减性来代替不等式的证明。     

一个命题的某些应用

六年制代数二册课本P_(106)定理一的推论为:|a_1+a_2+…+a_n|≤|a_1|+|a_2|+…+|a_n|(※)此式可据定理一采用数学归纳法来证。但课本上并没有指明(※)中等号成立的条件,试问(※)取等号的条件是什么?易知,当且仅当a_i同为非负或同为非正时,(※)取等号。此结论用来解某些含绝对值的问题对,较之一般使用分区间去绝对值号的方法要简明得多,现分别举例说明如下。例1 求证|x十1/x|≥2(x≠0) 证明∵x≠0,∴x与1/x恒同号,依(※)取等号的条件得|x+1/x|=|x|+|1/x|≥2((|x||1/x|)~(1/2))=2.     

利用二元均值不等式求最值四则

<正>对于正实数a,b有■≥0,于是a+b≥■,当且仅当a=b时等号成立,这就是二元均值不等式.利用这个不等式可方便地求一类函数的最值.例1 (2008年"《数学周报》杯"全国初中数学竞赛)在直角坐标系xO y中,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,且使得△OAB的面积值等于|OA|+|OB|+3.     

一类绝对值函数最值问题的解法及其推广

笔者通过对两道含有多个一次函数绝对值之和的竞赛试题的思考和研究,给出这类函数最小值问题的一般性结论.在结论1中讨论形如f(x)=|x-x1|+|x-x2|+…+|x-xn|的函数何时取到最小值,并给出最小值的计算,进一步,当绝对值前面的系数不是1而是一般的常数时,给出这类函数图像的特点,即此时的函数图形是一条开口向上或开口向下或两端水平的折线。