思考与打磨：一道期末试题的命制与思考

1 原题呈现 1.1 题目 [阅读理解] 题目 反比例函数y=k/x(k为常数,k≠0)的图像是双曲线,其图像具有下列性质, 对称性:反比例函数的两支图像关于原点对称. 增减性:当k＞0时,双曲线的两支分别在第一、三象限,在每一个象限内,y随x的增大而减小;当k＜0时,双曲线的两支分别在第二、四象限,在每一个象限内,y随x的增大而增大. 这些熟悉的性质,能否通过证明得到?     

与面积有关的反比例函数问题

<正>解决与反比例函数有关问题时,经常要用到反比例函数的面积的不变性,即反比例函数图1y=k x的本质特征,两个变量y与x的乘积是一个常数k,由此不难得到反比例函数的一个重要性质:如图1,过双曲线y=k x(k≠0)上一点P分别作x轴、y轴的垂线PM、PN,所得的矩形的面积S=PM·PN=|x||y|=|xy|=|k|.下面举例介绍一些与面积有关的反比例函数问题.图2例1如图2,Rt△ABC的直角边BC在x轴正半轴上,斜边AC边上的中线BD反向延长线交y轴负半轴于E,双曲线y=k x(x>0)的图像经过点A,若△BEC的面积为4,则k     

抛物线的一个重要特征——不存在渐近线

曲线的渐近线能说明曲线的发展趋势 ,它在画图和解决有关问题时起着重要的作用 .例如正切曲线 y =tanx的渐近线为x =kπ + π2 (k∈Z) .如图 1 ,当x→kπ + π2 时 ,正切曲线越来越与渐近线靠近 ,但永不相交 .又如双典线 x2a2 - y2b2 =1 ,当 |x|增大时 ,曲线逐渐靠近它的渐近线 y =± bax ,而且永远不与之相交 ,如图 2 .有了渐近线 ,曲线的发展趋势就可有效地显示 ,图形就容易画准确 .图 1　正切曲线　　　　　图 2　双曲线对于抛物线 ,不难证明它没有渐近线 .图 3　抛物线事实上 ,x =0显然不是抛物线的渐近线 .设M (x ,y)为抛物线 y2 =2 p…     

为什么反比例函数的图象是双曲线

学习双曲线定义时,容易想到反比例函数y=k/x(k≠0)的图象也称作双曲线.反比例函数图象与圆锥曲线定义的双曲线是同一类曲线吗?为了让学生弄清这一问题,笔者建议学生在学完双曲线后,根据所学知识作一番探究,然后在适当时间将成果在课上进行交流.为简便起见,都以反比例函数y=1/x图象为研究对象.     

双曲线的一个性质

<正>本文拟介绍一个关于双曲线的性质.首先看如下性质:如图1,若AD∥BC,则S△ABC=S△DBC;反之,若S△ABC=S△DBC,则AD∥BC.下面利用这个性质给出双曲线的一个性质:情形1如图2,点M、N是双曲线y=k/x(k>0)第一象限     

一组平行线三种不同视角下的证明

<正>如图1,2,直线AB交双曲线y=k/x(k>0)x于A,B两点(A,B可能在同一支上,也可能分别在两支上),交x轴,y轴于C,D两点,过点A作AE⊥x轴于点E,AF⊥y轴于点F;过点B作BG⊥x轴于点G,AH⊥y轴于点H.AE与BH相交于点M,则AB∥EH∥FG.(k>0或k<0结论都成立,方便起见,此处仅给出k>0时的图形.)如何来证明这一组直线平行?问题来自于双曲线,"问渠那得清如许,为有源头活水来",因此就从反上例函数图像的性质以及直线和反比例函数的图像的位置关系来展开证明.     

蕴内涵 重能力 促发展——一道中考压轴题的亮点赏析及教学启示

一、试题呈现题目(2014年徐州卷第27题)如图1,将透明三角形纸片PAB的直角顶点P落在第四象限,顶点A、B分别落在反比例函数y=k x图像的两支上,且PB⊥x轴于点C,PA⊥y轴于点D,AB分别与x轴、y轴相交于点E、F,已知B(1,3).(1)k=_________;(2)试说明AE=BF;(3)当四边形ABCD的面积为214时,求点P的坐标.二、试题探析纵观近几年徐州市中考试卷不难发现,围绕反比例函数的图像及其性质考查的题目为数不少.如2012年卷第13题"已知交点(1,2),求反比例函数中k的值";压轴     

初三代数第二学期自测题

注 :本卷检测内容为 :代数第十三章函数及其图象与第十四章统计初步A组一、填空题 (每小题 3分 ,共 2 4分 )1 .已知点M(a+1 ,2 -a)的位置在第一象限 ,则a的取值范围是 .2 .函数y =x+2|x|-1 的自变量x的取值范围是.3 .已知直线y=kx +b经过 ( 2 ,0 )和 ( 0 ,-1 )两点 ,则k= ,b=.4.反比例函数y=kx1-2k,当x=12 ,y =;当x>0时 ,y随x的增大而 .5 .已知一次函数y =kx +2 ,请你补充一个条件,使y随x的增大而减小 .6.若 8个数据的平方和是 2 0 ,方差是 2 ,则平均数是 .7在数据组 :-1 ,0 ,4,5 ,8中 ,插入一个数据x ,使得该数据组的中位数为 3 ,则x=.8.…     

台形容器注水问题的函数模型——函数y=a（x-h）^3＋k的一种应用

函数 y =a(x -h) 3 +k (a >0 )的图象可以看作是由函数 y =ax3 图象把对称中心移到O′(h ,k)而进行平移得到的 .所以 y =a(x -h) 3 +k (a >0 )的对称中心为 (h ,k) ;图象在 (-∞ ,+∞ )内单调上升 .在x≥h时 ,图象下凸 ;在x≤h时 ,图象上凸 .图 1如图 1.本文中 ,我们将建立棱台 (圆台 )形容器注水问题中注水量V关于水深h的函数关系式 .为此 ,将会用到以上的函数 y =a(x -h) 3+k (a >0 ) .例 1　如图 2棱台、图 3圆台形容器 ,上口面积S1,下底面积为S2 (S1>S2 ) ,高为H ,把棱台 (圆台 )的底面水平放置 ,往此容器内注水 ,如注水深度为h时注…     

双曲线的通径不一定是最短的焦点弦

设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0,c=a2+b2),取其右焦点F(c,0),过点F的直线与双曲线交于不同两点P1(x1,y1),P2(x2,y2).若P1,P2同在双曲线右支上,则当P1P2垂直于实轴时,|P1P2|取最小值2b2a(即通径长)(证明见《中学数学》2005年第7期P16);若P1,P2分别在双曲线左、右支上,则当P1P2垂直于虚轴时,|P1P2|取最小值2a(即实轴长).证明如下:证明令直线P1P2的方程为y=kx+m(|k|相似文献   

一类隐函数最值问题求解方法

二次方程 x2a2 +y2b2 =1 ( a>0 ,b>0 )表示一椭圆曲线 ,其确定了一对隐函数 ,分别在 x=0取得最大值 b和最小值 -b。那么 ,对于一般二次曲线方程 ax2 +2 bxy+cy2 +2 dx+2 ey=1所确定的隐函数 ,如何求解它们的最大或最小值 ?1 .方程为 ax2 +2 bxy+cy2 =1情形由平面解析几何可知 ,当判别式δ≡ ac-b2 >0时 ,它是一条椭圆曲线 (或虚椭圆 ) ,方程所确定的两个隐函数分别在定义域内取得最大值和最小值 ;当 δ=0时 ,它是一对平行的直线 (或虚直线 ) ,无最值 ;当 δ<0时 ,它为双曲线 ,情况就不那么明显了。下面我们分别用代数和微分法两种方法进行分…     

综合题新编选登

题 76　已知O为坐标原点 ,A ,B为抛物线y2 =2 px (p >0 )上的点 ,设S△AOB =t·tan∠AOB ,求t的最小值 .图 1　题 76图解　设AB与x轴相交于点P(a ,0 ) ,A ,B的坐标分别为 (x1,y1) ,(x2 ,y2 ) ,当AB与x轴斜交时 ,设AB的方程为 :y =k (x -a) (k≠ 0 ) ,联立 y =k(x -a) ,y2 =2 px ,得x1x2 =a2 ,y1y2 =- 2ap .当AB与x轴垂直时 ,上述结论仍然成立 .由S△AOB =12 |OA |· |OB |sin∠AOB =12|OA|·|OB|cos∠AOB·tan∠AOB ,可知t =12 ·|OA|·|OB|cos∠AOB .由向量数量积的定义 ,得|OA|·|OB|cos∠AOB =OA ·OB =x1x2 + y…     

2004年中考数学模拟试题(6)

一、选择题 (本题满分 3 6分 ,每小题 3分 )1 .关于x的方程x2 +(k2 -4)x+(k-1 ) =0的两实数根互为相反数 ,则k值为 (　 ) .A .1　　　B .2　　　C .-2　　　D .2或 -22 .已知一次函数y=ax+b中 ,ab <0且y随x的增大而减小 ,则其图象不经过 (　 ) .A .第一象限　　　B .第二象限C .第三象限　　　D .第四象限3 .下列命题正确的是 (　 ) .①若a >b ,则a2 >b2 ;② 3≈ 1 .73 2 ,计算 123 0 0 0 0 0 0≈ 8.7× 1 0 2 (保留两个有效数字 ) ;③当a =-1 ,b =1时 ,最简根式2a + 4 2a +5b与3b-1a -2b +6是同类根式 ;④ x6x2 =x3 ;⑤cos48°3 7′ 相似文献   

等轴双曲线上三点构成正三角形的充要条件

1997年全国高中数学联赛一试第四题为 :设双曲线 xy =1的两支 C1、C2 ,正三角形PQR的三个顶点位于此双曲线上 ,求证 :P、Q、R不能都在双曲线的同一支上 .本文先给出赛题的几种证法 ,然后给出等轴双曲线上的三点构成正三角形的一个充要条件 .图 ( 1 )证法 1　假设 P、Q、R在双曲线 xy =1的同一支如 C1(如图 (1 ) )上 ,其坐标分别为 (x1,1x1)、(x2 ,1x2) ,(x3,1x3) ,不妨设 0 相似文献   

与反比例函数有关的面积问题

如图1,过双曲线y=k/x(k≠0)上任意一点P 作x轴、y轴的垂线PA、PB,易证S△POA=S△POB=1/2|y·x|=1/2|k|.这是反比例函数图像的一个重     

利用等轴双曲线的一个变换简解一道高考题

我们知道，反比例函数y=k/x（k≠0）的图象是双曲线，由它的两条渐近线x轴、y轴互相垂直可知．方程xy=k（k≠0）表示的曲线是等轴双曲线．     

矩形使双曲线的问题“有法可依”

<正>反比例函数y=k/x是初中数学中的一类重要的函数,它的图像双曲线的本质特点是:1.图像上任意一点P(x,y)的横、纵坐标之积为k;即xy=k.2.图像上任意一点向坐标轴引垂线与坐标轴所构成的矩形AOBP面积为|k|(如图1).这就使得矩形在解决有关双曲线的问题时有了特殊作用.笔     

与反比例函数的图象有关的面积问题

以反比例函数的图象和性质为载体,与三角形、正方形、圆等几何图形的面积相关的综合性问题,作为一种新颖的试题,在中考或数学竞赛试卷中频频出现,这类问题将函数知识与平面几何知识有机地融合在一起,要求解题者不仅掌握反比例函数的图象和性质,而且要熟悉平面几何图形的性质,因而这类试题倍受命题者和中学生的青睐.例1(自编题)已知正比例函数y=ax和y=bx,(a>0,b>0)的图象与反比例函数y=2xc,(c>0)的图象在第一象限内分别相交于点A,B,过点A作x轴的垂线,垂足为C,过点B作y轴的垂线,垂足为D.记△AOC,△BOD的面积分别为S1和S2,则S1和S2的大小关系怎样?解析在如图1中,设点A(x1,y1),B(x2,y2),则S1=21x1y1,S2=21x2y2,而点A,B都在反比例函数y=2xc,(c>0)的图象上,所以,x1y1=2c,x2y2=2c,所以S1=S2.图1图2例2(改编题)已知,如图2,正比例函数y=k1x与反比例函数y=kx2的图象相交于A,B两点(k1>0,k2>0),A点坐标为(4,2),分别以A、B为圆心的圆与x轴相切,则图中两个阴影部分面积的和为.解析由反比例函数的图象关于原点对...     

直击两道反比例函数中考题

<正>反比例函数问题,常含有几何图形背景,解法灵活多样.既要挖掘相应的几何内涵,又须利用函数图像上点满足函数解析式的值相等.现举例加以说明,供参考.一、与等边三角形相关联问题.例1(2014年武汉市)如图1,若双曲线y=k x与边长为5的等边△AOB的边OA、AB分别相交于C、D两点,且OC=3BD,则实数k的值为.     

通向面积之桥——|k|

一、重要结论反比例函数y=k/x(k≠0)中的比例系数k有以下几何意义：如图1,过双曲线上任意一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN,垂足分别为M、N,所得矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|