利用梯形性质证明不等式

<正>（2ab）/（a+b）≤（ab）^1/2≤（a+b）/2≤（（a²+b²）/2）^1/2（a>0,b>0）是不等式中最著名的不等式,也是最基本最重要的不等式,其中（2ab）/（a+b）=2（（1/a）+（1/b））^-1称为调和平均值,（ab）^1/2称为几何平均值,（a+b）/2称为算术平均数,（（a²+b²）/2）^1/2称为平方平均数,当且仅当a=b时式中等号成立,它的代数证法并不难,笔者发现,通过构造梯形,利用几何的方法亦可通俗易懂地证明这个不等式。     

一道竞赛题“新解”的错误及其另解

<正>题目（2004年西部数学奥林匹克竞赛题）求证:对任意正实数a,b,c,都有1< (a/（a²+b²）^1/2)+(b/（b²+c²）^1/2)+(c/（c²+a²）^1/2≤(32^1/2/2) （*）文[1]利用三角代换,在证以上右边含上界的不等式时最后一步有误!现将文[1]证明过程的最后几步摘录如下:     

一个无理不等式的简证及推广

<正>题目已知a,b∈R⁺,且a+b=1,求证:（a²+1）^1/2+（b²+1）^1/2≥5^1/2.《中学数学》《中学数学教学参考》等数学杂志曾用放缩法、几何法、向量法、不等式法等十多种方法对此题作了精彩证明,读后令人折     

基本不等式的研究性学习

一、背景介绍基本不等式姨（ab）^1/2≤a+b/2（a>0,b>0）（basic inequality）是高中数学中最重要的一个不等式.在现行教材编排的体系中,基本不等式首先出现在《数学5》（必修）[1-3]之后在     

西部数学奥赛一题的三角证法

<正>题目求证:对任意正实数a、b、c都有1≤(a/（a²+b²）^1/2)+(b/（b²+c²）^1/2)+(c/（c²+a²）^1/2)≤(3 2^1/2/2).《中学生数学》2007年1月（上）P₃₆刊出了杨安琪同学对此题的"新解".可惜原文的最后两步有误.因由cos²α+cos²β+cos²γ≥3·（cos²α·cos²β·cos²γ）^1/3,cos²αcos²βcos²γ≤（1/8）,不能推出cos²α+cos²β+cos²γ≥3·（1/8）^1/3.尽管原文出现小小的失误,但原文的思想方法很好.     

无理函数y=（a1x+b1）～（1/2）+（a2x+b2）～（1/2）的最值求法

无理函数y=（a₁x+b₁）^1/2+（a₂x+b₂）^1/2（a1,a2,b1,b2均不为0）（1）的最值问题,是代数中较为典型的一类最值问题之一.当a1a2≥0时,函数（1）为单调函数,求出定义域后利用单调性很容易确定最大值和最小值.但当a1a2<0时,函数（1）最值的求解具有一定的难度.其实,当a1a2<0时,无理函数（1）可改写成如下形式:y=a（x-b）^1/2+c（d-x）^1/2（a,c>0,b,d≠0）（2）当b≤d时,函数才有意义.当b=d时,函数值域为单点集{0}.本文考虑b相似文献   

探究向量模的求法

题目（苏北2013年调研）已知平面向量a,b,c两两所成角为2π/3,并且|a|=1,|b|=2,|c|=3,求|a+b+c|的值.分析求向量的模,利用模长公式|a|=a⁽1/（?）=x²+y^21/2解决.解|a+b+c|= a+b+c^1/2=（?）=3^1/33.进一步思考变式1已知平面向量a,b,c两两所成角相等,并且|a|=1,|b|=2,|c|=3,求|a+b+c|的值.分析本题得了解对向量的夹角的定义,夹     

分式型不等式的证明

题组若a,b,c∈R₊,则（1）a/（b+c）+b/（c+a）+c/（a+b）≥3/2（1963年莫斯科数学竞赛题）.（2）（a⁺b^）/（a+b）+（b²+c²）/（b+c）+（c²+a²）/（c+a）≥a+b+c.（3）（W.Janoux猜想）（c²-b²）/（a+b）+^a-c2/（b+c）+（b²-a²）/（c+a）≥0.（4）a²/(b+c+b²（c+a）+c²/（a+b）≥（a+b+c）/3（第二届友谊杯国际数学邀请赛试题）.     

多角度证明不等式一例

例题设a,b为直角三角形的两直角边的长,c为斜边的长,m,n为任意实数,求证:ma+nb/（m2+n2）^1/2≤c.方法一（综合法）证明:因为a,b为直角三角形的两直角边的长,c为斜边的长,所以a2+b2=c2.     

再谈不动点在数列通项公式求解中的作用

<正>贵刊文[1]利用函数f（x）的"不动点"巧妙地求出了形如a_n=(a·a_n-1+b)/(c·a_n-1+d)（a,b,c,d均不为零且（d-a）⁺4dc≥0）,及a_n=(a·a_n-1²+b)/(2a·a_n-1+c) （a,b,c均不为零且c²+4ad>0）的数列通项公式,读后深受启发.经过研究,本人发现利用函数f（x）的"不动点"还可求出如下一种形式的数列通项公式:     

构造函数法证明不等式

<正>构造函数法就是根据所证不等式的特征,构造适当的函数,然后利用一元二次函数的判别式、函数的奇偶性、单调性、有界性等性质来证明不等式,这种方法,统称为构造函数法.例1设a,b,c∈R,求证:a²+ac+c2+ac+c²+3b(a+b+c)≥0,并指出等号何时成立.证明左边整理成关于a的二次式f(a)=a2+3b(a+b+c)≥0,并指出等号何时成立.证明左边整理成关于a的二次式f(a)=a²+(c+3b)a+c2+(c+3b)a+c²+3b2+3b²+3bc.∵Δ=(c+3b)2+3bc.∵Δ=(c+3b)²-4(c2-4(c²+3b2+3b²+3bc)=     

数学中的“神似”

<正>例1已知a、b、c、d都是实数,求证:（a²+b²）^1/2+（c²+d²）^1/2≥（（a-c）²+（b-d）²）^1/2.解析从题目的表象来看,要证的结论的右端与平面上两点间的距离很"神似",而左端可看作点到原点距离公式.据此特征不妨证明如下:     

巧证“轮换”不等式

<正>这类不等式的特征是:字母成轮换对称形式,其证法思路是连续三次用均值不等式,并且相加,化简或推理之后可证,方法十分巧妙现举例说明.例1已知a、b、c为实数,且a+b+c=1,求证:a²+b2+b²+c2+c²≥1/3.证法1∵a+b+c=1,当且仅当a=b=c=1/3时,不等式中等号成立.于是有下列证法:     

An extension of the hardy-littlewood-pólya inequality

The Hardy-Littlewood-Pólya （HLP） inequality [1] states that if a∈l^p,b∈l^q and p>1,q>1,1/p + 1/q>1, λ=2-（1/p+1/q）,then Σ[（a_rb_s）/︱r-s︱^λ]（r≠s）≤C‖a‖_P‖b‖_q.In this article, we prove the HLP inequality in the case where λ= 1, p = q = 2 with a logarithm correction, as conjectured by Ding [2]:Σ[（a_rb_s）/︱r-s︱^λ]（r≠s,1≤r,s≤N）≤（2㏑N+1）‖a‖₂‖b‖₂.In addition, we derive an accurate estimate for the best constant for this inequality.     

巧用向量数量积

<正>熟知,a·b≤|a||b|,当且仅当向量a与b方向相同时等号成立.利用这一性质,可以轻松解决一类变化多样的问题.例1设x、y∈R⁺,且x+y=1,求证:(x+1)+,且x+y=1,求证:(x+1)^(1/2)+(y+2)(1/2)+(y+2)^(1/2)≤2(2)(1/2)≤2(2)^(1/2)解解法一(不等式法):     

习题的加强推广与应用

<正>习题已知a,b∈R+,求证:(a+b)/2≥a+b(abba)～(1/2).这是高中新课程选修教材《不等式选讲》中的习题2.2的第5题,该不等式左右两端结构差异较大,直接证明有一定难度.而(a+b)/2是两正数a、b的算术平均数,联想到均值不等式(a+b)/2≥ab～(1/2)并尝试着代入几组特殊数值,验证后发现(ab)～(1/2)≥a+b(abba)～(1/2)是成立的,于是将此习题所要求证的结论加强如下:加强1已知a,b∈R+,求证:(ab)^(1/2)≥a+b(abba)(1/2)≥a+b(abba)^(1/2).解析由于(ab)(1/2).解析由于(ab)^(1/2)和a+b(abba)(1/2)和a+b(abba)^(1/2)的结构相同,     

一道函数题引发的思考

<正>我们学过基本不等式后老师出的一道函数题引发了我的思考,下面是我对这道题的一点感悟.题已知:f(x)=ax²+bx+c的图像过(-1,0)是否存在常数a,b,c使不等式x≤f(x)≤x2+bx+c的图像过(-1,0)是否存在常数a,b,c使不等式x≤f(x)≤x²+1/2对一切实数x都成立.一般解法假设存在实数a、b、c满足题意.∵f(x)的图像过(-1,0)对一切实数x都成立,     

迷人的经典 异样的精彩

<正>1919年,著名几何学家R.weitenbock(外森比克)提出并证明了经典不等式:在△ABC中,a,b,c为其三边长,Δ为其面积,则有a²+b2+b²+c2+c²≥432≥43^(1/2)Δ.多少年来这个迷人的经典不等式引起了人们广泛的关注和喜爱.安振平老师在文[1]中就曾给出其如下两种加强的精彩证明.     

余弦定理的一种变式及应用

<正>大家知道,余弦定理是:在△ABC中,a²=b2=b²+c2+c²-2bccos A,b2-2bccos A,b²=c2=c²+a2+a²-2cacosB,c2-2cacosB,c²=a2=a²+b2+b²-2abcosC,把以上三式配方变形,即得a2-2abcosC,把以上三式配方变形,即得a²=(b+c)2=(b+c)²-2bc(1+cos A).b2-2bc(1+cos A).b²=(c+a)2=(c+a)²-2ca(1+cosB).c2-2ca(1+cosB).c²=(a+b)2=(a+b)²-2ab(1+cosC).由观察知这三个式子有以下的列功能.(1)把已知三角形两边和与积及夹角,可迅速求第三边,为解题奠定基础;(2)已知等式中有两数和与两数积,因此它们可以与韦达定理建立联系;     

一个不等式问题的换元法证明

有一道不等式的证明题:对于所有的正实数a,b,证明（a/（a+3b））^1/2+（b/（3a+b））^1/2≥1（*）在《数学通报》2005年第4期由提供人用反证法给出了证明,如果我们另避蹊径,还可得到以下证明方法:解法1由式子的结构通过联想,字母轮换对称,被开方式子都是一次比例式,为求计