一数学证明题引出的思考

<正>求证:C1n/1-C2n/2+C3n/3+…+(-1)n-1Cnn/n=1+1/2+1/3+…+1/n(n∈N*).这是文[1]中给出的一道数学题,此文中指出本题"入手一做感觉棘手,很繁杂,与同组老师研讨时,一致认为要用数学归纳法证明",后给出了具体的证明过程,几乎用到了组合数性质的所有常用公式,可以说是一道高三复习组合数性质和数学归纳法的好题.笔者读完此文后,对"一致认为要用数学归纳法证明"有些疑问,难道此题不用数学归纳法就很难证明吗?于是,对此题的非数学归纳法证明作了思考.     

由课本问题到欧拉常数的推广

1　引子高中《代数》下册复习题六第33题是:“用数学归纳法证明:1+ 12+ 13+…+1n>n (n>1,n∈N)”.此题很容易用数学归纳法证明,证明后我们自然会反思:此题是如何发现的?如何用推导的方法证明.使用放缩思想可得方法一:1+ 12+ 13+…+ 1n>1n+ 1n+…+ 1n=n·1n=n .由裂项求和的思想可想到方法二:n =(n - n- 1) + (n- 1-n- 2 ) + (n- 2 - n- 3) +…+ (2 - 1) +(1- 0 ) =1n + n- 1+ 1n- 1+ n- 2+…+12 + 1+ 11+ 0 .而n - n- 1=1n + n- 1,所以欲证原不等式,只需证1n>1n + n- 1(n>1) ,(当n=1时,取等号) .此不等式显然成立,所以原不等式得证.2　探索…     

一道二项式证明题的证法研究与改造

在二项式内容中曾做到这样一题:例题证明C1n 2C2n 3C3n … nCnn=n·2n-1(n∈N*).1例题的证法研究本题一般常见的证明方法有3种.证明1(数学归纳法)n=1时,左边=C11=1,右边=1·21-1=1,等式成立;假设n=k(k≥1)时等式也成立,即C1k 2C2k 3C3k … kCkk=k·2k-1,则n=k 1时,C1k 1 2C2k 1     

数列求和数表化的形象思维

1 问题的提出 高中代数(甲种本)第二册79页29题,用归纳法求数列 1,(1 2 1),(1 2 3 2 1),…,(1 2 … n … 2 1),…的通项公式及前,n项和的公式,然后用数学归纳法证明所得公式。     

几道高考不等式证明题的本源

题1 (1985年上海)设n≥2,n∈N·,证明:(1+1/3)(1+1/5)·…·(1+1/2n-1)>√2n+1/2).     

用二项式定理证明不等式的几类问题

众所周知,数学归纳法在含有自然数的命题证明方面有着较大的优势,但同时我们也发现:不是所有与自然数有关的命题都可以用数学归纳法来证明,而且在使用的新教材里目前对数学归纳法已经不作要求了.所以,在缺少了数学归纳法或出现了不宜用数学归纳法的题目之后,我们就需要去寻找另外的方法.实践证明,二项式定理在实际应用中具有很大的价值.例如,解决与自然数有关的幂不等式的证明,它就给我们提供了一种结构简明、思路清晰的证明方法.下面举例说明.1简单构造二项式和直接应用二项式定理例1(1)求证:n≥2时,2n≥n2+n+22;(2)证明:C2nn-1<4n-1(n>1)…     

分析结论 巧妙证明

题设n∈N且n≥3。试证明 2~(n(n+1))/2>(n+1)! 该不等式如果采用数学归纳法证明,其过程较繁杂,若仔细分析所证结论,不等式左边的指数中底数为2,联想到二项式定理推得的组合公式2~n=C_n~0+C_n~1+…+C_n~n>C_n~0+C_n~1=1+n。即2~n>n+1(n∈N 且n>1),就可使问题迎刃而解。     

也谈数学归纳法在解题中的应用

<正>1引言对于一类与正整数有关的命题的论证问题,当其他方法无法证明时,往往想到数学归纳法.用数学归纳法证明问题分三个步骤：第一步先证明当n取初始值n₀(n₀∈N*)时命题成立.这是第二步的前提,不可省去,初始值n₀视题目而定,不一定是1.第二步先假设当n=k(k∈N^*,k≥n₀)时命题成立,在此基础上,推证当n=k+1时命题也成立.这一步骤是数学归纳法最关键的步骤,要求对有关表达式进行恰当变形,而且在证明当n=k+1时命题成立时,     

异于归纳法的证明

高中《代数》第二册(甲种本)第73页,用数学归纳法证明:1·2 2·3 3·4 … n(n 1)=1/3(n 1)(n 2)不少同学证明之余问道,这个结论是如何得到的呢?现介绍除归纳法外的几种方法供同学们参考。     

开放题一例

设数列{xn}满足x1=1/2,x(n-1)=xn+x2n/n2,则x2003≤t,请把t∈(0,1200]改为一个具体的数值,越小越好,并证明你的结论. 解法一先用数学归纳法证明对任意的n∈N都有xn≤n/2 ①当n=1时,x1=1/2≤1/2, ∴①式成立.     

一类“形似而神异”的递推数列

2011年广东高考数学第20题第（1）问是：设b〉0,数列{an}满足a1=b,an=（nan-1）/（an-1＋2n-1）（n≥2）,求数列{an}的通项公式.看到这个问题,使我们想起了2006年江西高考22题第（1）问：已知数列{an}满足：a1=32,且an=（3nan-1）/（2an-1＋n-1）（n≥2,n∈...     

两项式ab~n+cd~n 的整除问题

高中数学课本第三册复习题四第14题(P158)要求用数学归纳法证明:3~(n+2)十4~(2n+1)能被13整除。本文对这类问题再提供一种极为简便的证法。定理:若d-b能被a+c整除,则ab~n十cd~n也能被a+c整除(a,b,c∈R,且a+c≠0,n∈N) 证明:ab~n+cd~n=(a+c)b~n+c(d~n-b~n)=(a+c)b~n+c(d-b)(d~(n-1)+d~n-2b+d~n-3 b~2 +…+db~(n-2)+L~(n-1))。因为(a+c)b~n和c(d-b)(d~(n-1)+d~(n-2)b++d~(n-3)b~2+…+d~(n-2)+b~(n-1))都能被a十c整除,故ab~n+cd~n能被a+c整除。例1 求证:3~(n+2)+~(2n+1)能被13整除证明:3~(n+2)+4~(2n+1)=9·3~(n+4)·16~n     

一道数列例题的改编——由前n项和Sn推导通项公式an

原题(人教A版必修5 P44例3) 已知数列{an}的前n项和Sn=n2+1/2n,求数列的通项公式an. 解:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2+1/2n)-[(n-1) 2+1/2(n-1)]=2n-1/2. 当n-1时,a1=S1=3/2,也适合an=2n-1/2, 所以an=2n-1/2. 分析:(1)教材目的是把握an与Sn的关系,学会通过S推导通项公式an={S1,n=1,Sn-Sn-1,n≥2.     

一类整除问题的由来与解法

常有如下的一类题目: n为任意自然数时,求证: (1) 3~(4n 2) 5~(2n 1)能被14整除; (2) 5~(2n 1) 3(n 2)·2~(n-1)能被19整除等。这类数学问题,通常都是为学习数学归纳法设置的。人们不禁要问:结论是如何得出来的呢?是否只能用数学归纳法解呢?本文介绍两个定理,它可以解决这些题。     

一道2014年《数学通报》征解题的另证与推广

《数学通报》2014年第3期问题2173如下： 设n为正整数,证明：1/1C1n＋3/2C2n＋5/3C3n＋…＋2n-1/nCnn≥n2/2n-1.以下笔者给出此题的一个另证,并进行适当的推广.证明因为由组合数的性质kCkn=nCk-1n-1（k=1,2,3,…,n）,得1C1n＋2C2n＋3C3n＋…＋nCnn=nC1-1n-1＋nC2-1n-1＋nC3-1n-1＋…＋nCn-1     

一道数学竞赛题另解

原题:实数a1,a2,…an满足al+a2+…+an=0. 　　求证:max(ak2)≤n/3 (aI-aI+1)2. 　　(2006中国数学奥林匹克第一天第一题[1]) 　　本题可以用数学归纳法解决. 　　当n=2时,结论显然成立; 　　假设对n个变量时,命题成立.……     

对一道高考题的探究

2006年江西高考理科压轴题的最后一问经提取后，即是要证明以下不等式成立：（1=1/3）（1-1/3……2）（1-1/3……3）·…·（1-1/3^n）〉1/2（n∈N^＋）注意到此不等式与自然数有关，故考虑用数学归纳法证明．而该式左边为含，2的表达式，右侧为一常数，由数学归纳法证明过程易想到如果不对1/2进行变形是很难证得原不等式的．采取对1/2变形再证明正是标准答案所给解法，也是市面上教辅材料中一般采用的解法．     

2007年全国高考数学湖北卷压轴题的探究与评析

题 已知m，n为正整数， 1）用数学归纳法证明，当x〉-1时，（1＋z）^m≥1＋mx；     

独辟蹊径智取高考压轴题

在近两年全国各地的高考试卷中,出现了几道题设中未指明用数学归纳法,但参考答案中仅提供了用数学归纳法解答的试题,如2005年浙江卷、湖北卷、江西卷的压轴题,以上几道题的解答都可以避开数学归纳法,独辟蹊径巧妙解答!1.根据单调性,避免用数学归纳法例1数列{an}满足a1=1且an 1=(1 n21 n)an 21n(n≥1).(Ⅰ)用数学归纳法证明:an≥2(n≥2);(Ⅱ)已知不等式ln(1 x)0成立,证明:an相似文献   

来信摘录

笔者认为《数学通报》1988年第5期发表的“注重习题教学发展学生思维能力”一文例1中证法四利用数学归纳法证明恒等式C_n~1 2C_n~2 3C_n~3 … nC_n~n=n·2~(n-1)的过程是错误的。过程中k 1型结论的正确性,根本未用到k型结论正确性的假设,违背了数学归纳法的证明原则,正确证明应为