由tanA/2=r/p-a导出的三角恒等式

1．引理 记△ABC的三边分别为a，b，C，其内切圆、外接圆半径分别为r，R，p=1/2（a＋b＋c），则tanA/2=r/p-a，tanB/2=r/p-b，tanC/2=r/p-c.     

三角形中两个新的三角恒等式

我们发现三角形中的两个优美的恒等式 .定理 1　在△ＡＢＣ中 ,有ｔａｎ(ｎＡ)ｔａｎ[ｎ(Ｂ -Ｃ) ]+ｔａｎ(ｎＢ)ｔａｎ[ｎ(Ｃ -Ａ) ]+ｔａｎ(ｎＣ)ｔａｎ[ｎ(Ａ -Ｂ) ]=-ｔａｎ(ｎＡ)ｔａｎ(ｎＢ)ｔａｎ(ｎＣ)ｔａｎ[ｎ(Ａ -Ｂ) ]ｔａｎ[ｎ(Ｂ -Ｃ) ]ｔａｎ[ｎ(Ｃ -Ａ) ],其中 ,ｎ∈Ｚ .定理 2　在△ＡＢＣ中 ,有　　ｔａｎ (ｎ +12 )Ａ ｔａｎ (ｎ +12 )Ｂ·ｔａｎ (ｎ +12 ) (Ａ -Ｂ) +ｔａｎ (ｎ +12 )Ｂ·ｔａｎ (ｎ +12 )Ｃ ｔａｎ (ｎ +12 ) (Ｂ -Ｃ) +ｔａｎ (ｎ +12 )Ａｔａｎ (ｎ +12 ) (Ｃ -Ａ)=-ｔａｎ (ｎ +12 ) (Ａ -Ｂ) ｔａ…     

两个优美的几何恒等式

1预备知识 引理1△ABC的面积为S，其外接圆半径为R，内切圆半径为r，则sinA sinB sinC=S/Rr。     

关于三角形的一类三角恒等式的探究

高三复习时，围绕关于三角形的三角恒等式的探求与证明，我们组织学生进行了一次研究性学习活动．通过这次活动，促进了同学们观察能力、分析归纳能力的提高，让大家经历了一次数学转化的体验，加强同学们对数学思想方法的认识．现对这次活动的主要内容介绍如下．     

一个三角恒等式的证明与应用

定理结构简洁、对称、优美,易于记忆且不超纲．在解题中如能灵活运用,可使解答简洁、流畅,赏心悦目．     

三个三角恒等式与若干三角不等式的证明

本文给出三角形中的三个恒等式,并应用它证明若干三角不等式．     

两个三角恒等式及其应用

笔者在查阅2010年安徽理科试卷16题时发现了一个简洁的三角恒等式,并追踪发现历年考题中都有它的身影．本文就证明它并指出它在高考题中的应用．     

源于一个三角恒等式的几个三角问题

在锐角三角形中，有同学们熟悉的一个不等式：在锐角△ABC中，有     

一个三角恒等式的简证

文 [1]中证明了一个恒等式 :若α + β +γ =nπ(n∈Z) ,则tanαtan(β -γ) +tanβtan(γ -α) +tanγtan(α - β) =-tanαtanβtanγtan(α - β)tan(β -γ)tan(γ -α) ( ) .其证明太繁 ,下面笔者给出一个自然简单证明以供参考 .同时将看到上式中条件α+ β +γ =nπ是多余的 .证明　由正切和差公式易知 :tanα -tanβ =tan(α - β) (1+tanαtanβ) ,tanα +tanβ =tan(α + β)(1-tanαtanβ) .当α + β +γ =0时 ,tan(α + β) =-tanγ ,则tanα +tanβ +tanγ =tanαtanβtanγ .∵ (α - β) + (β -γ) + (γ -α) =0 ,∴tan(…     

获得一类三角恒等式的新方法

基于一元高次方程根与系数的关系,应用对称多项式知识,建立获得一类三角恒等式的新方法,举例说明其应用.     

一个三角恒等式的应用

首先给出一个三角恒等式. 设α为实数,m≥3且m∈N*,则有 cosα+cos(2π/m+α)+cos(4π/m+α)+…+cos[2(m-1π/m+α]=0 (1)     

一类三角恒等式的“特值验证法”

命题　若 ｆ(ｘ) =Ａｓｉｎｘ Ｂｃｏｓｘ满足ｆ(ｘ1) =ｆ(ｘ2 ) =0 ,且ｘ1-ｘ2 ≠ｋπ (ｋ∈Ｚ) ,则ｆ(ｘ) ≡ 0 .证　∵ Ａｓｉｎｘ1 Ｂｃｏｓｘ1=0Ａｓｉｎｘ2 Ｂｃｏｓｘ2 =0 (1 )而Ｄ =ｓｉｎｘ1　ｃｏｓｘ1ｓｉｎｘ2 　ｃｏｓｘ2=ｓｉｎｘ1ｃｏｓｘ2 -ｃｏｓｘ1ｓｉｎｘ2 =ｓｉｎ(ｘ1-ｘ2 )≠ 0 (∵ｘ1-ｘ2 ≠ｋπ ,ｋ∈Ｚ) ,故关于Ａ ,Ｂ的齐次线性方程组 (1 )只有零解Ａ =Ｂ =0 ,则ｆ(ｘ) ≡ 0 .据此命题可知 :对于某些三角恒等式证明题 ,若能转化为ｓｉｎｘ ,ｃｏｓｘ的一次齐次式ｆ(ｘ) =Ａｓｉｎｘ Ｂｃｏｓｘ ,只需取特殊值…     

美英早期三角学教科书中的三角恒等式

本文聚焦三角形中的三角恒等式的系统文献研究,对美英早期三角学教科书进行考察,对其中的三角恒等式进行归类,对三角恒等式的证明方法加以梳理,为课堂教学提供素材和思想启迪.     

一个三角题设的充分性之辨

题目已知sinα＋sinaβ=sinαsinaβ,求sinα＋β/2的值．     

运用“变”的思想方法解三角题

所谓“变”即将题设条件或结论进行适当的变换,使条件与结论便于沟通,有利于问题的解决． 1．变角 在三角运算中,可根据角与角之间的和、差、倍、半、互补、互余等关系运用角的变换沟通条件与结论中角的差异,使问题迎刃而解,常用的变角方法有：①将结论式中的角向条件式中的角转化;②将条件式中的角向结论式中的角转化;③将题目中的一些角用另外一些角表示;④找特殊角帮忙．     

三角恒等式的多种证法

<正>题目求证:sum from k=1 to n cos[(a+2(k-1)π)/n]=0(n≥3,n∈N).这是一道经典的三角恒等式,有不少文章谈及它的证明方法.笔者收集、整理,得到了四种构造性的证明方法.本文一一介绍给大家.以供参考.     

McCoy-Orrick恒等式的注记

使用复分析方法研究有限三角和与有限三角交错和,从而给出了McCoy-Orrick恒等式的另一种推广.     

用“平方法”巧解三角题

平方法是数学解题中一种重要的转化手段,某些三角题,通过平方升次,可以巧妙地利用恒等式sin2θ＋cos2θ=1,优化解题过程,现举几例加以说明.     

一个三角不等式又一证法

笔者在《中学生数学》2008年2月（上）P29的文《西部数学奥赛一题的三角证法》中给出如下试题：     

解三角题应注意的一些误区

在三角函数这一章里 ,由于公式多 ,因而解题方法比较灵活 ,如果解法选择不当 ,不仅运算麻烦 ,而且有时还会改变解集 .由于三角函数的独特性质 ,解题时若注意不到或挖掘不彻底 ,也会陷入不可自拔的误区中 .本文通过举例 ,来说明这种现象 .1　误区之一　解法不当引起复杂的运算有些三角问题 ,若解法不当 ,就需分类讨论 ,运算量大 ,易出错 ,若选择恰当的解法 ,则可避免解题过程复杂化 .例 1　若ｓｉｎ θ2 =35 ,ｃｏｓ θ2 =- 45 ,判断θ是第几象限的角 .解法 1　∵ｓｉｎ θ2 =35 >12 ,∴ 2ｋπ +π6<θ2 <2ｋπ +5π6　　 (ｋ∈Ｚ) .即 4ｋπ…