思维的源泉从这里开始——从正方体透视正四面体与球体的切接问题

统编教材立体几何第108页习题十三第1题:从一个正方体中,如图1那样截去四个三棱锥后,得到一个正三棱锥ABCD.它的体积是正方体体积的几分之几?这道看似简单,     

三种方法 三样效果——立体几何教课实验报告

立体几何教学中,以“正方体切割后的体积”为课题,选择了两题,在高一(3)班进行了电教课教学试验。这两题是:①课本p.109,习题十三第一题;从一个正方体中,如图那样裁去四个三棱锥后,得到一个正三棱锥A—BCD。问它的体积是正方体体积的几分之几?(还要求分别画出截去第一个,第二个、第三个、第四个三棱锥后的图形)。②课本p.148总复习参考题B组第22题:将正方的棱     

从一道立体几何习题谈割补法与联想思维

从一道立体几何习题谈割补法与联想思维深圳拱北中学方友贤立体几何课本（全一册）习题十三第一题：“从一个正方体中，如图那样截去四个三棱锥后，得到一个正三棱锥Ａ—ＢＣＤ，求它的体积是正方体体积的几分之几？”仅从求解角度来说是一个很平常的题目，可利用该页练习...     

新题征展(121)

A 题组新编 1.(胡寅年)(1)以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有 A.70个B.64个C.58个D.52个 (2)以一个正方体的顶点为顶点的正四面体共有 A.2个B.8个C.16个D.24个 (3)以一个正方体的顶点为顶点的正三棱锥共有 A.8个B.10个C.16个D.24个 (4)以一个正方体的顶点为顶点的四个面都是直角三角形的三棱锥共有 A.12个B.24个C.36个D.48个 2.(胡寅年)(1)设f(x)是定义在(-∞,+∞)上的可导函数,且满足f'x+f(x)>0,对任意正实数a,下面不等式恒成立的是     

一道课本习题的应用

由立几课本 P1 0 8习题十三的第一题可知 ,正方体截去四个直角后 ,得到一个正四面体 .如图 1 ,若设正方体的棱长为 a,正四面体的棱长为 a′,正方体及正四面体的外接球半径分别为 R、R′,正方体的内切球及正四面体的棱切球半径分别为 r、r′,易知有如下结论 :1正四面体内接于一正方体 ,且 a′=2 a;2 V正四面体 =13V正方体 ;3R =R′;　 4 r =r′.(证明略 )利用上述结论可迅速解决如下各题 :图 1　　　　　　　　图 2例 1　正三棱锥 S- ABC的侧棱与底面边长相等 ,如果 E、F分别为 SC、AB的中点 ,那么异面直线 EF与 SA所成的角等于(　…     

借助正方体解题

<正>正方体是一种常见而且典型的几何模型,立体几何中所研究的很多边角关系都可以在正方体中直观的展示出来,比如很多同学对这样一个问题比较困惑:有没有四个面都是直角三角形的四面体?此问题若从常规角度出发,不易举证.如图1,构造正方体,不难发现,三棱锥A-BCD四个面都是直角三角形.可见,     

利用三棱锥的体积求距离

三棱锥是一个特殊的棱锥:它的每个面皆可为棱锥的底面,每个顶点皆可为棱锥的顶点,而其体积总是不变的,利用这一点,我们可以把求点到面的距离转化成求三棱锥的高。这给求点到面、线到线的距离另辟了蹊径。一、求点到平面的距离求点到平面的距离,一般先作出过这点的平面的垂线,此点与垂足之间的部分即为所求。我们也可以把求点与面的距离转化成求三棱锥的高,进而利用等积的三棱锥来求。例1 正方体AC′的棱长为1,BC上有一点E,BE=1/3 BC,AA′上有一点F,AF=1/4 AA′,0为正方体的中心,求B′到面EFO的距离     

利用等积变换求三棱锥体积的几种技巧

在求三棱锥的体积时 ,当棱锥的底面面积或高较难直接求 ,甚至不能求时 ,这就要求我们将三棱锥的底面或高进行变换 ,利用等积变换来求其体积 .利用等积变换求三棱锥的体积时 ,常有如下几种技巧 :图 1(1)1　换顶点 ,换底面例 1　如图 1 (1 )所示 ,正方形ABCD的边长为 1 ,点E ,F是BC ,CD的中点 ,现沿AE ,EF ,AF折成一个三棱锥 ,使B ,C ,D三点重合 ,记作S如图 1 (2 ) ,求所得三棱锥S -AEF的体积 .分析　此三棱锥体积直接求解难点在于选择AEF为底面 ,较难求出其锥体的高 ,这时 ,我们若将此锥体的底面与顶点换一下 ,换成以点A为顶点 ,…     

四阶幻方的几个有趣性质简

正方体是一种常见而且典型的几何模型．立体几何中所研究的很多边角关系都可以在正方体中直观的展示出来，比如很多同学对这样一个问题比较困惑：有没有四个面都是直角三角形的四面体？此问题若从常规角度出发，不易举证．如图1，构造正方体，不难发现，三棱锥A—BCD四个丽都是直角三角形．可见，借助正方体研究问题，可以弥补初学者空间想象能力的不足，给解题提供一定的依据．下面请看几个例子．     

运用化归思想解排列组合题

例 1　正方体八个顶点的连线中 ,异面直线有多少对 ?分析　因为一个三棱锥各对棱所在直线均异面 ,有 3对异面直线 .受这一结果的启发 ,原问题可化归为 :正方体八个顶点中任取 4个点 ,可构成多少个三棱锥 ?于是因由正方体的顶点构成的三棱锥的个数为Ｃ4 8- 12 ,故所求异面直线的对数为 :3(Ｃ4 8-12 ) =174 (对 ) .例 2　圆内接八边形的任意三条对角线不在圆内共点 ,那么所有对角线在圆内共有多少个交点 ?分析　因为圆内接四边形的两条对角线的交点位于圆内 ,故问题化归为只需考虑以圆内接八边形的顶点为顶点可构成多少个圆内接四边形 .因从圆…     

三棱锥体积在解题中的应用

三棱锥是一种特殊的棱锥;它的每一个顶点都可为棱锥的顶点,它的每一个面均可为棱锥的底面,而体积总是不变的。利用这一特点,可以把求多面体的体积和多边形的面积分别转化为求三棱锥的体积和三校锥的底面积;把求点到平面的距离、直线和平面的距离以及两条异面直线的距离转化为求三棱锥的高等等。一求多面体的体积多面体的体积,可以转化成若干个三棱锥的体积和,由于三棱锥的底面具有轮换性,可适当选取三棱锥的底面,较容易地求出三棱锥的体积,进而求出多面体的体积。     

三棱锥体积公式教学中的几个问题

对于三棱锥的体积公式 ,多数学生都能熟练掌握其内容 .然而 ,公式引入和证明过程中所隐含的重要数学观点和思想方法 ,不少学生体会不深 ,解题时 ,对三棱锥的体积公式也不能灵活加以运用 .为此 ,本文就三棱锥体积公式的教学 ,谈几点浅见 ,供大家参考 .1　公式的引入实验、观察、猜想 ,往往是发现真理的重要一步 .引入三棱锥的体积公式 ,应遵循“实践———理论———实践”这一认识论的基本规律 ,培养学生的实验观点和观察猜想能力 .取两个等底等高的容器 (一个三棱柱和一个三棱锥 ) ,用水或沙装满锥体容器 ,然后倒入柱体容器 ,倒三次刚好倒…     

这样的几何体存在吗?

<正>最近,笔者遇到这样一道题目:三棱锥的三条侧棱两两垂直,三侧面与底面所成的二面角分别为30°、45°、60°,底面积为6^1/2,则此三棱锥的体积为_<sub><sub><sub><sub><sub>.     

例谈三棱锥外接球问题的求解策略

<正>三棱锥的外接球是其球面经过三棱锥的四个顶点的球,如何解决三棱锥的外接球问题?本文介绍三种基本方法.1定义法例1(2020年广东省高考二模试题)如图1,在矩形ABCD中,已知AB=2AD=2a,E是AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折成A_1DE,连接A_1C.若当三棱锥A_1-CDE的体积取得最大值时,     

构造法巧解一题 (一个问题的巧解与反思)

<正>题目（武汉市2008年2月调研题）在三棱锥A—BCD中,三组对棱棱长分别相等且依次为5、34^1/2、41^1/2,求三棱锥A—BCD的体积和外接球的半径.解析联想到长方休的相对两个面的四条对角线相等,且不共面的四个顶点可构成三棱锥的四个顶点.如图,构造长方体,长、宽、高分别为a,b,c.取BC=     

简单多面体与球

1本单元重、难点分析本单元的重点是:多面体和凸多面体的概念,棱柱、棱锥的概念和性质,直棱柱和正棱锥的直观图的画法,正多面体,欧拉公式,球的概念和性质,球的体积和表面积.棱柱中重点研究的是三棱柱和平行六面体,其中的长方体(正方体)是建立空间概念培养空间想象能力的理想模型.棱锥中重点研究的是正棱锥和三棱锥,它们是许多空间几何问题的载体.棱柱和棱锥的性质是进行计算和证明的理论依据,必须掌握.欧拉公式描述了简单多面体的顶点数、面数和棱数之间的关系,是进行相关推理和计算的重要工具.球是一个特殊的几何体,它只有一个面(即球面),…     

一类组合题解答的转化思路

<正>以几何图形为载体的组合题,直接求解不易奏效,这时我们要认真思考,进行转化,把它转化为与它等价的且容易解答的问题,从而使原问题得解.问题的转化应注意三点:(1)注意联想,运用有关知识,为转化奠定基础;(2)加强分析,确定方向,为转化开路;(3)注意掌握方法,为转化提供措施.现通过例题加以说明.例1正方体的8个顶点的连线中,异面直线共有多少对.分析一个三棱锥各组对棱所在直线异     

挖掘隐含“定值” 实现“以静制动”

一、问题的提出题目（2013第一学期杭州七县期末教学质量检测高二文-17）如图1,在单位正方体ABCD^A₁B₁C₁D₁中,设M是△AB₁D₁内任一点（不包括边界）,定义f（M）=（m,n,p）,其中m,n,p分别是三棱锥M-A₁D₁A,三棱锥M-A₁AB₁,三棱锥MA₁B₁D₁的体积.若f（M）=（1/（24）,x,y）,则1/（4x）+1/y的最小值为_<sub>.笔者统计了这张试卷所有题目的得分情况,发现这道题目的得分率仅为0.02,是所有题目中得分率最低的,真的有那么难吗?通过调查研究,发现学     

编拟习题时应注意问题的存在性

例1若正三棱锥P-ABC的侧面积、体积分别为12、4,求点A到面PBC的距离。
　　常规解法：可求得该正三棱锥的侧面PBC的面积是4,由等体积法可求得点A到面PBC的距离为3。     

由高考试题引出的一个体积公式

87年高考试卷理工类第四题是: 如图,三棱锥P-ABC中,已知PA(?)BC,PA=BC=l,PA、BC的公垂线ED=h,求证三棱锥P-ABC的体积V=1/6b~2h这是一道由已知三棱锥的一组对棱的长以及它们的相对位置(所成的角和距离)计算其体积的问题。如果使问题一般化,即令对棱PA、BC所成角为α,则有下列关于三棱锥体积的一个定理。定理三棱锥的一组对棱长分别为a、b,它们的距离和所成的角分别为h、a,则三棱锥体积V=1/6abhsinα。