构造法巧解一题 (一个问题的巧解与反思)

<正>题目（武汉市2008年2月调研题）在三棱锥A—BCD中,三组对棱棱长分别相等且依次为5、34^1/2、41^1/2,求三棱锥A—BCD的体积和外接球的半径.解析联想到长方休的相对两个面的四条对角线相等,且不共面的四个顶点可构成三棱锥的四个顶点.如图,构造长方体,长、宽、高分别为a,b,c.取BC=     

例谈基底在解立休几何间题中的应用

<正>利用空间向量的坐标运算解立体几何问题,可把抽象的几何问题转化为代数计算问题,并具有很强的规律性和可操作性,因此,在解立体几何问题时被人们广泛应用,但建立空间直角坐标系往往受到图形的制约,很难在立体几何问题中普遍使用,其实,向量的坐标形式只是选取了特殊的基底,在一般情况下,根据题意在立体几何     

异面直线所成角的解法

异面直线所成角是确定两异面直线位置关系两要素之一 ,是立体几何的一个重点 ,同时也是一个难点 .求异面直线所成角的基本方法是根据异面直线所成角的定义求解 ,难点在于如何找到刻划异面直线所成角的平面角 .下面以高考题为例探讨异面直线所成角的解法 .1　面内平移法面内平移法是求异面直线所成角的基本方法 .条件是两异面直线中的一条在一已知平面内 ,而另一条与此平面有一交点 .作法是过此交点在已知面内作面内直线的平行线 ,从而得异面直线所成的角 .图 1　例 1图例 1　 (1992年全国高考题 )在棱长为 1的正方体ＡＢＣＤ Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中…     

数学解题应立足基础 力求简单自然──对一组不等式的证法再探有感

利用基本不等式a2+b2≥2ab在b>0时的变式a/2b≥a-b4,a2/b≥2a-b和a2/b≥2λa-λ2b,文[1]、文[2]证明了一组不等式.读后深受启发之余,感到有与原作者及广大同仁商榷之处:首先,基本不等式的变式较多,必会增加记忆负担,且易致应用时选择的困惑;其次,利用这些变式解决较复杂问题时恒等变形的取等号条件的配凑并非简单.鉴于此,笔者从立足基础、追求简单自然的视角,并根据整体优先意识     

两道习题的启示

对于求解圆锥曲线中以某个定点为中心的弦所在直线的方程的一类问题时,用求差法是比较简便的,而且计算量小．但是值得注意的是,在通过求差求出斜率时,得出的直线方程,并不一定满足题设条件,如下例1．     

寻找异面直线所成角的着眼点

异面直线所成角的问题,是空间“三大角”问题之一,历来是考试的重点内容。异面直线所成角的大小是用过空间一点分别引它们的平行线所成的锐角(或直角)来定义的,准确地定位角的顶点,平移直线构造三角形是解题的关键。下面通过举例谈谈寻找异面直线所成角的几种方法,请大家重点体会寻找异面直线所成角的几个着眼点。     

由一道高考立体几何题想开去

立体几何主要研究空间的直线、平面和简单几何体及它们的几何性质、位置关系的判定、画法、度量计算以及相关的应用,以培养学生的空间想象能力和推理论证能力.立体几何是高考必考的内容,试题一般以"两小题一大题或一大题一小题"的形式出现,分值在17-23分左右.笔者选取2008年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)理科卷的第19题进行例述.     

例析空间向量在求“角”问题中的应用

解决立体几何问题有综合推理与空间向量的方法,其中利用空间向量法可回避经过作图—证明—计算等复杂的推理过程,为一些用传统方法解决技巧性大、随机性较强的问题提供了通法.本文拟对2010年高考题空间向量在立体几何中有关线线、线面、面面所成角的问题的应用进行归纳和说明,以帮助同学们加深对这类问题的理解.一、异面直线所成的角考点若AB、CD为两条异面直线,(?),(?)分别为它们的方向向量,那么AB、CD所成     

直线的投影矩阵及其应用

介绍空间解析几何中直线的投影矩阵,并给出点在直线上的投影问题的统一解法及求两异面直线间距离的简捷方法     

三角换元法的应用

<正>三角换元法是一种用三角函数代替问题中的字母(或式子),然后利用三角函数之间的关系达到解题目的的一种解题方法.该解法的优点在于将已知条件通过代替转化为同一个角的某个三角函数来表示,从而利于我们运用熟知的三角公式进行化简,直至问题的解决.本文以部分数学高考题,自主招生试题,高中数学竞赛试题为例说明如下.例1(2012年浙江省高考题)若正数x、y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是     

一道立体几何题的向量解法

高中数学中,空间向量作为解决立体几何的一种工具,主要应用于通过建立空间直角坐标系,利用向量的夹角来求异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角的大小.对某些特殊的几何体如平行六面体,在不建立空间直角坐标系的情况下也可以用向量进行求解证明.引列:平行六面体AC1中AB=2,AD=3,AA1=4,且∠A1AB=∠A1AD=60°.求对角线AC1的长.解:如图,平行六面体AC1中,∵AC1=AB+AD+AA1∴AC12=(AB+AD+AA1)2=AB2+AD2+AA12+2AB·AD+2AB·AA1+2AD·AA1=22+32+42+2×2×3×cos60°+2×2×2×4×cos60°+2×3×4×cos60°=55∴对角线…     

空间直线方程一题多解的探析

探讨空间解析几何中一道求解直线方程习题的七种解法,利用一题多解来培养学生的发散思维和创新精神,从而提高学生分析问题和解决问题的能力.     

探究正方体中点线面的个数问题

正方体是立体几何中最常见的几何体,立体几何中许多概念、定理都可以用正方体的点、线、面的关系来说明,因此正方体有百宝箱的美称.高考立体几何题中正方体有许多新的视角,如探究点、线、面存在的个数问题备受命题者的青睐,     

用哲学观点驾驭空间几何中数学思维的理性

很多学生怕学空间几何,有人归咎于空间几何抽象难以萌发数学的直觉,空间想象力的缺失而导致解题思维之愚钝.如果我们静心反思课堂教学和学生解题时的困惑,归因就不那么简单.诚然,空间相关的基本概念、公理、定理和基本模型是学好此课的基石;典型问题的演练是培养学生学习与解题能力的重要途径,这些方面我们的教师并没懈怠.但     

一道希望杯赛题的多种证法

这是第二十届“希望杯”全国数学邀请赛高一第1试（第Ⅱ类）第8题,属于条件最值题型．下面给出几种解答方法,供参考．     

再议一类“过定点的动直线问题”

文[1]对过定点的动直线问题进行了深入探讨,并提到如下问题:如果直线l经过点P(1,2)且与两坐标轴围成的三角形的面积为     

等差和等比中项性质的另类应用

等差中项和等比中项是数列的两个重要概念,分别有如下性质：①b是a、c的等差中项←→b=a＋c;②b是a、c的等比中项←→b2=a·c（b≠0）.在题设条件具有＂2b=a＋c＂或＂b2=a·c＂结构特征的一些非数列问题,利用上述性质来处理,新颖独特,别具一格.     

透过现象看本质——数列中的恒成立问题

数列从本质上讲是一种特殊的函数,其特殊性表现在定义域是正整数集或它的有限子集,函数值是相应数列中的项.因此,研究数列的图象和性质,应注意从函数的观点入手.在高中数学中,函数与不等式、方程是相互联系的,在一定条件下是互相转化的.于是,数列中的恒成立问题主要表现于数列与不等式、方程相结合的恒成立问题.     

抛物线定义的“变脸”

我们知道抛物线的定义是＂平面内到定点F和定直线l（其中Fl）距离相等的动点的轨迹＂,在这个定义中动点满足的条件常常会做一些＂变脸＂,这就需要我们对题设条件认真分析,通过数形结合,