探析如何利用导数解决实际问题中的“优化”问题

在实际生活中的优化问题一般为利润最大、用料最省、效率最高等问题.这类优化问题可归结为求函数的最值问题,导数正是求最值的有力工具,利用导数处理优化问题的基本思路是将题目中的实际问题转化为数学问题进行求解.笔者通过对几道试题的评析谈谈如何灵活运用导数处理     

最值互嵌问题

所谓“最值互嵌”问题是指在探索最值的过程中 ,最大最小关系相互嵌套在一起的一种问题 .这类问题通常构思新颖、设问巧妙 ,其解法也颇有峰回路转之妙 ,因而具有较高的思维训练价值 .本文对此类问题的解法作一初步的探讨 ,供读者参考研究 .1　分类讨论法最值互嵌问题一般包含内外两个层次 ,当内层关系看不清楚又不宜直接入手时 ,进行分类讨论是一个行之有效的办法 .例 1　若ａ >0 ,ｂ >0且Ｈ =ｍｉｎ{ａ ,ｂａ2 ｂ2 },试求Ｈｍａｘ.分析 :当正数ａ ,ｂ变化时 ,两数ａ ,ｂａ2 ｂ2 中的最小值Ｈ也在变化 ,问题即为求此变量Ｈ的最大值 .显然 …     

巧用七招 突破最值

最值问题一直是高考试题中的一个热点,几乎年年都有所涉及.求最大(小)值问题,绝大多数都可转化为不等式问题.本文总结了解决最值问题的七个常用模型.     

简单线性规划问题的图解法

在生产实践和商业往来中 ,经常遇到以下两类问题 :(1)怎样有效地利用一定的人力、物力资源去完成最大的任务 (最值问题 ) ;(2 )怎样进行合理安排 ,才以最少量的人力、物力资源去完成一定的任务 (合理匹配问题 ) ,这就是所谓线性规划问题 .一般的线性规划问题 ,要用专门的数学知识来解决 .简单的线性规划问题 ,可借助二元一次不等式的区域画图来解 .1　最值问题　诸如寻求最高产值、最大利润、最大能量、最低耗损等 ,这类问题的基本解题步骤是 :设出欲求变量ｘ ,ｙ ;依题意列出关于ｘ ,ｙ的二元一次不等式组 (或混合组 ) ,并画出不等式组的区…     

多元函数最值的求解策略

在近几年的高考及各种测试试题中,多元函数的最值及其衍生问题频频出现,因为变量多、解析式复杂、方法技巧性强、题目灵活多变而具有较强的挑战性,成为最值问题中的一个难点,也是考查学生的数学素养和能力的一个热点.根据课程标准的要求,求多元函数的最值,总的策略是转化为一元函数或二元函数最值问题,转化的具体策略多种多样,本文对此进行了归纳和梳理.     

浅谈解析几何中的定值、最值问题

近几年的数学高考试题中,出现过各种各样的最值问题和定值问题,选用的知识载体多种多样,代数、三角、立体几何、解析几何都曾出现过有关最值或定值的试题,有些应用问题也常以最大、小值作为设问的方式．不难看出,命制最值问题和定值问题能较好体现数学高考试题的命题原则,而分析和解决最值问题和定值问题的思路和方法也是多种多样的,因此应对最值问题和定值问题,最重要的是认真分析题目的情景,合理选用解题的方法．     

网络最小覆盖流问题

网络流理论中最基本的模型是最大流及最小费用流问题. 为研 究堵塞现象, 文献中出现了最小饱和流问题, 但它是NP-难的. 研究类似的最小覆盖流问题, 即求一流, 使每一条弧的流量达到一定的额定量, 而流的值为最小. 主要结果是给出多项式时间算法, 并应用于最小饱和流问题.     

第十一讲 竞赛中的最值问题

数学的真知在于完善,追求问题的最优解如最大、最小、最多、最少等是现实生活中最常见的,也是数学竞赛中典型的赛题。本讲拟从两大方面介绍一些这类问题。 一、数中的最值问题 例1 用1,2,3,4,5,6,7七个数字组成三个两位数,一个一位数,并且使这四个数之和等于100,要求最大的两位数尽可能大,那么最大的两位数是多少?(96奥决) 分析 我们用△△ □□ □□ □=     

解函数复合最值问题的常用策略

在数学竞赛和高考题中,常常会遇到一些在一类最大值中求其最小值或在一类最小值中求其最大值的复合最值问题.它是函数最值中的一种特殊类型,解决这类问题的方法也比较特殊.本文介绍解决此类问题的一些常用策略.     

带区间数据的最小风险斯坦纳树问题

考虑了在带区间数据的不确定网络中, 最小风险和模型以及最小最大风险模型下的斯坦纳树问题. 它们推广了相应模型下的最短路问题和最小支撑树问题, 在网络设计中具有更加广泛的应用.我们分别给出了这两个模型下斯坦纳树问题的近似算法, 并对算法性能做了理论分析和证明. 结果显示我们的算法具有优良的常数逼近的性质, 能在多项式时间内算出令人满意的解.     

圆锥曲线最值问题求解的六种策略

圆锥曲线中最值问题是高中数学的重点内容,是高考中的一类常见问题,由于它能很好地考查学生的逻辑思维能力,体现了圆锥曲线与三角、函数、不等式、方程、平面向量等代数知识之间的横向联系,使问题具有高度的综合性和灵活性．圆锥曲线中的最值问题,通常有两类：一类是有关长度、面积、角度等的最值问题;另一类是圆锥曲线中有关几何元素的最值问题．     

实现拆项与添项的四种策略

在利用基本不等式求最值时拆项、添项是务必要掌握的内容,本文着重来探讨求最值问题中的拆项、添项策略的实施。利用基本不等式求最值,必须满足三个前提条件,“一正二定三相等”,即：一正—字母为正数;二定—积或和为定值,当和为常数,积有最大值;当积为常数,和有最小值。有时需通过“配凑法”凑出定值;     

组合最值

用非常规办法去求最值的问题统称为组合最值问题 .这类问题的解答有两个难点 :一是最值的探求 ,二是最值的证明 .本文将通过一组实例说明解决这类问题的思想方法 .1　优化选择例 1　从 1,2 ,3,… ,1995这 1995个数中最多能选出多少个数 ,使得选出的数中没有一个数是另一个数的 19倍 ?分析　依据题设要求可知 ,若ｋ ,19ｋ是 1,2 ,… ,1995中的两个数 ,则这对数最多只能选择一个 ,为了使得选出的数具有规律性 ,不妨在每一对 (ｋ ,19ｋ)中选出最大的数 ,从而选出的数又能组成 1,2 ,3,… ,1995后面的一个片断 .∵ 199519=10 5 ,从而 ,10 6 ,10 7…     

对2022年上海高考数学第20题的思考

最值问题是高考的热点,而圆锥曲线的最值问题几乎是高考的必考点,不仅会在选择题或填空题中进行考查,在综合题中也往往将其设计为试题考查的核心.本文中以2022年上海高考数学第20题为例,分析了圆锥曲线中最值问题的一些基本的处理方法,如参数方程、作切线等方法.     

从近年无锡中考数学卷的最值问题说起

一、近五年无锡中考卷每年必考的“最值问题” 2015年3月,笔者应邀来到无锡江阴市夏港中学执教了一节初三复温研讨课,笔者认真分析了2011年至2015年的中考无锡数学卷,发现每年必考最值问题.2011年第25题考的是水果购销的利润最大问题,涉及二次函数最值求法;2012年第24题考的是纸片折成正方体包装盒,求包装盒表面积的最大值,也是二次函数的最值问题;2013年第25题考的是原材料加工废气排放问题,涉及一次函数的最值问题;2014年第28题考的是动点运动变换,第(2)问涉及的是三角形重叠部分面积的最大问题,用到的知识还是二次函数最值;2015年第25题考的是利润最大问题,涉及到一次函数的最值求法,上述考查的都是实际应用类问题.     

一类导数应用问题剖析

人民教育出版社选修2-2（A版）的书中指出,导数是＂研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题的最一般、最有效的工具＂,因此,通常借助导数研究函数的相关性质,如函数的零点问题,而又由于方程的根与函数零点之间的关系,导数也常用来研究方程的根.     

高考中线性规划问题的解法讨论

自从高中数学新增了线性规划知识点后,有关线性规划的问题越来越受到重视,题型也越来越丰富．从最初的简单判断可行域、求最值等问题在向求非线性目标函数的最值、比值、距离以及已知最值求目标函数中参量取值的逆向问题转变,在全国卷中甚至出现了和导数融合的综合性问题,可见线性规划在现在高考中的伤量。纵观近几年全国各高考试卷中出现的关于线性规划的问题,对题型和解法作一些探讨．     

双层最值问题的解题策略

双层最值也称复合最值,是指在给出的多个式子中,求这些式子中最大值中的最小值或求最小值中的最大值．这类问题在数学竞赛和高考中都有出现,学生对此常感到束手无策,本文通过几道例题,谈谈求双层最值问题的几种策略．     

竞赛中的双重最值问题解法策略

在2013年的浙江省竞赛卷中出现了一道在最大值中求最小值问题,2006年浙江省竞赛卷中出现了一道在最小值中求最大值问题．双重最值问题是竞赛中的一个热点,也是函数最值问题中比较特殊的一种情况,我们平时比较常用的办法是图像法,极端法,先猜后证法等,这里就不再赘述了．下面介绍几个其它方法,以二元或三元为例,仅供参考．     

解复合最值问题的常用方法

在数学教学中,我们常遇到如下最值问题: (1)求F(X)=max{f_1(x),f_2(C)、…、fn(x))(x∈D)的最小值; (2)求F(X)=min{f_1(x),f_2(x),…,fn(x)}(x∈D)的最大值。这类在一群最大(小)值中求最小(大)值的问题,我们称之为复合最值问题,复合最值问题,由于涉及到的知识点颇多,能力要求偏高,且富有一些智力因素,(加之叙述上不合常规),因此,它常使学生望而生畏,无从下手,或因思维定势的影响,而误入歧途,其实,只要把握“最大(小)”的深刻含义,善于从不同角度挖掘“最大(小)”的必要条件,这类问题还是不难解决的。本文拟给出解复合最值问题的几种常用