一次备课组活动的纪实与思考

1问题的提出在选修4-5《不等式选讲》的模块测试中,有这样一道题:已知不等式|3x-a|>x-1对x∈[0,2]恒成立,求实数a的取值范围.学生的答卷中有下面两种解答:解答1由绝对值不等式的等价形式|f(x)|>g(x)f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)可知:原不等式等价于3x-a>x-1或3x-a<1-x,即a<2x+1或a>4x-1.已知不等式|3x-a|>x-1对x∈[0,2]恒成立等价于a<2x+1或a>4x-1对x∈[0,2]恒成立,即a<2x+1对x∈[0,2]恒成立或a>4x-1对x∈[0,2]恒成立.则     

基于“端点效应”的必要探路法解决恒成立问题

<正>在拜读本刊的《“端点效应”巧解2021年八省适应性考试第22题》^[1]时,引起了我对“端点效应”解决恒成立问题的研究兴趣,本文希望借助具体例子展现“基于端点效应的必要探路法”解决恒成立问题的思想方法．     

再解“恒成立”问题

本刊 2 0 0 1年 18期《解一类“恒成立”问题的五种方法》、2 0 0 2年 12期《一类“恒成立”问题的又一解法》等文 ,先后介绍了求解“恒成立”问题的诸多方法 ,读后受益匪浅 .这里笔者再介绍一种简捷新颖的方法供同学们借鉴、参考 .题目　已知当ｘ∈ [0 ,1]时 ,ｆ(ｘ) =ｘ2 +ａｘ + 3-ａ >0恒成立 ,求ａ的取值范围 .解　原不等式变形为ａｘ + 3-ａ >-ｘ2 .设 ｇ(ｘ) =ａｘ + 3-ａ ,ｈ(ｘ) =-ｘ2 .由于ｘ∈[0 ,1]时 ,[ｈ(ｘ) ]ｍａｘ=0 ,所以欲使 ｆ(ｘ) =ｘ2 +ａｘ+ 3-ａ >0在ｘ∈ [0 ,1]上恒成立 ,只要 ｇ(ｘ) =ａｘ+ 3-ａ在ｘ∈ [0 ,1]上…     

例谈高考中“参数范围”问题的求解策略

在近几年的高考中,求参数的取值范围问题成了高考的热点,对于学生来说也是难点,求参变量的取值范围是高中数学中的一个重要内容,其中不少问题靠传统方法不容易求解,下面笔者结合一些教学实践谈谈其应用.一、利用函数最值求参数的取值范围解题中遇到形如"要使f(x)>a成立"或"要使f(x)a恒成立或f(x)_max0,b∈R,函数f(x)=4ax~3-2bx-a+b.     

恒成立问题的三角解法

<正>对数学竞赛中的一类恒成立问题,若能抓住题目的特征,恰当地运用三角代换常可使问题获得简易的解答.     

高考中涉及的"恒"与"都"问题

在数学问题中常遇到这样一类特殊的问题:无论问题多么复杂,条件怎样变化,问题本身总是恒定、不变的,我们称之为"恒"成立或"都"成立问题."恒"成立或"都"成立问题常见的有三类:一是在某条件下曲(直)线"恒"、"都"过定点;二是在某条件下代数式"恒"、"都"取定值;三是在某条件下不等式(等式)"恒"、"都"成立.在近年的高考中每年都有涉及,"恒"、"都"成立问题常与函数、不等式、数列、解几等知识联袂出题,多以中、高难度的题型出现.本文归纳出三类"恒"、"都"问题的题型及解题方法并以2005年、2006年全国各地高考题为例进行说明.     

一类恒成立问题的流行错解

本文从命题的等价转化角度分析了含"或"字的恒成立问题的错解原因,并给出了这类问题的一个处理策略,供读者参考.案例1已知|a-2x|>x-1对x∈[0,2]恒成立,求a的取值范围.错解原不等式等价于a>3x-1或a相似文献   

“恒”字类问题的破解策略

"恒"字类问题是指"恒成立"、"恒不成立"、"不恒成立"问题,这类问题既是高考的热点,又是高考的难点之一.本文结合实例讨论"恒"字类问题的几种常用解题思路,望对同学们能有所帮助.一、恒成立问题1.用一次函数的性质对于一次函数f(x)=kx+b,x∈[m,n],有:f(x)＞0恒成立(→){f(m)＞0,f(n)＞0.f(x)＜0恒成立(→){f(m)＜0,f(n)＜0.例1 若不等式2x-1 ＞m(x2-1)对满足-2≤m≤2的所有m都成立,求x的范围.     

分离系数法巧解恒成立问题

<正>对于含有参数a的不等式f(x)≤0(包括不等式f(x)≥0)恒成立或方程f(x)=0恒有实根问题,若对参数或变量进行讨论,再结合函数的图像求解一般都较难或繁,而通过分离系数巧用"求函数最值"的方法便可以简解此类问题,由于在转化与化归时常需分离出系数a,不妨称之为"分离系数法".     

“恒成立”与“恒有解”辨析

不等式“恒成立”与“恒有解”是容易混淆的问题.“f(x)>a在什么条件下在R上恒成立.”是指求对每个实数x,f(x)>a都成立的条件.用函数的观点来看,命题等价于“在什么条件下,函数y=f(x)的图像恒在直线y=a的上方.”     

一个恒成立问题的解法辨析

例题　不等式|x - 1 | >kx对一切实数x恒成立,求实数k的取值范围.由于是含有绝对值的不等式,因而好多同学从解不等式出发,形成了如下解法.错解:1 )当x≥1时,原不等式可化为x- 1 >kx ,即( 1 -k)x >1 .因为x≥1 ,所以1 -k >0 ,即k <1 ,故而x >11 -k.∴当x≥1时,要使|x - 1 | >kx恒成立,则11 -k≥1 ( 1 )又k <1 ,∴0≤k <1 .2 )当x <1时,原不等式可化为1 -x >kx ,即( 1 +k)x <1 ( 2 )①当1 +k <0 ,即k <- 1时,解不等式( 2 ) ,得　　x >1k + 1 ,∴此时不等式的解为1k + 1 kx恒成立,则1k + 1 <1 ( 3)∴k <- 1 .②当1 …     

八类函数型不等式恒成立问题的探究

<正>函数型不等式的恒成立问题在近年的高考中频频"闪亮登场",常以压轴题的身份出现,能有效地甄别考生的思维品质,成为高考的热点和难点.如2005年天津卷21,辽宁卷22等.由于这类问题综合性强,难度大,能力要求高,很多同学望而生畏,无从下笔.本文通过一些典型例题探究在高考中常见的八种类型,仅供参考.     

新高考强化了导数应用——不等式恒成立与有解问题辨析

不等式恒成立与有解问题,经常在函数、导数、不等式等知识点的交汇处出现,一直是中学数学的-个重点 在新课程高考试题中,不等式恒成立与有解的问题,经常与参数的范围联系在一起,成为新高考的一个亮点. 考场实践证明,考生容易把"恒成立与有解问题"弄混,使之成为高考中的一个难点.本文通过对"恒成立与有解问题"的辨析,看看导数在新高考中应用的强化.     

“恒成立”问题的几种转化途径

正在高中数学的学习过程中经常会碰到"恒成立"的问题,学生往往会感到困难.因此教师要帮助学生领会问题实质,把握问题的思维特点.实际上,"恒成立"问题的思维特点和解题的     

“恒成立”问题的一种错解分析

本刊2002年22期《再解“恒成立”问题》一文介绍了以下一种求解“恒成立问题”的方法,笔者认为存在逻辑推理方面的错误。为了便于说明,将原文中的解法摘录如下。     

解一类“恒成立”问题的五种方法

已知二次不等式在某区间上恒成立 ,求其中所含参数的取值范围 ,这是一类常见的题型 .这类问题涉及知识面广、综合性强 ,因而解题时应强调思路清晰 ,方法灵活 .下面通过一个典型例子介绍五种思想指导下的解法 ,供大家参考 .例题　已知当ｘ∈ [0 ,1]时 ,ｆ(ｘ) =ｘ2 ａｘ 3-ａ >0恒成立 ,求ａ的取值范围 .1　集合思想　解　设Ａ ={ｘ|ｆ(ｘ) >0 } ,由已知 [0 ,1] Ａ .令Δ =ａ2 - 4 (3-ａ) =ａ2 4ａ - 12 ,1)当Δ <0 ,即 - 6<ａ <2时 ,Ａ =Ｒ ,恒有 [0 ,1] Ａ .2 )当Δ≥ 0 ,即ａ≥ 2或ａ≤ - 6时 ,由 ｆ(ｘ) >0 ,得　Ａ ={ｘ|ｘ <-ａ -ａ2…     

三“恒“问题的题型及解法归类

在数学问题中常遇到所谓恒成立问题.恒成立问题常见有三类:一是在某条件下曲(直)线恒过定点;二是在某条件下代数式恒取定值;三是在某条件下不等式(等式)恒成立.本文归纳三“恒“问题的题型及解题方法,并以高考题或全国各地高考模拟题为例进行说明.……     

三“恒“问题的题型及解法归类

在数学问题中常遇到所谓恒成立问题.恒成立问题常见有三类:一是在某条件下曲(直)线恒过定点;二是在某条件下代数式恒取定值;三是在某条件下不等式(等式)恒成立.本文归纳三“恒“问题的题型及解题方法,并以高考题或全国各地高考模拟题为例进行说明.……     

似是而非的“恒成立”问题

《中学生数学》杂志2008年5月（上）P7《“双元不等式恒成立”解法举列》一文的开头提出了这样的结论：f（x）≤g（x）对A↓x∈A恒成立→←f（x）max≤g（x）min;     

指对同构式在函数与导数问题中的应用

<正>指对同构是近几年高考的一个高频考点,很多复杂的函数问题都有它的身影,本文借助几道典型例题,介绍几种破解指对同构问题的方法,并给出了常见的指对同构式,希望能为读者的复习与备考提供帮助．1在含参数恒成立(或能成立)问题中的应用