问题199：这道概率题的解法莫衷一是

人教A版必修3(第3版)第三章概率第134页B组第1题如下:某人有4把钥匙,其中2把能打开门.现随机地取1把钥匙试着开门,不能开门的就扔掉,问第2次才能把门打开的概率是多少?如果试过的钥匙不扔     

漫画趣题

选自《超时空数学之旅》漫画趣题答案第一题有三种排法 :第一节第二节第三节第四节( 1 )数学语文外语体育( 2 )数学外语语文体育( 3 )外语数学语文体育第二题甲桶有水 5升 .第 1次倒水后 ,两桶中的水一样多 ,都是1 0× 12 =5(升 ) ;第 2次 ,从乙桶倒出的水是 5×13 升 ,这时甲桶内有水 5× ( 1 +13 )升 ;第 3次 ,甲桶倒入乙桶的水是 5× ( 1 +13 )× 14=5×43 ×14=5× 13 升 ,恰好等于第 2次乙桶倒入甲桶的水 .这说明 ,经过 2、3两次 ,两只桶里的水又一样多了 .这中间的规律是 :从第 2次起 ,乙桶倒入甲桶的水 ,总是和下一次从甲桶倒回乙桶…     

漫画趣题

选自《超时空数学之旅》编著:李毓佩绘画:林航、王皓漫画趣题参考答案第一题把(3)填入问号处.第二题 21人.因为自然数中,能两次被3整除的前两个数是9和18,而9显然不满足下面条件,因此原队伍人数不会少于18人.又因为新队伍最右边的人报l,可知原队伍的人数比18多3人.是21人.由于最后只站出2人,不可能比21人再多了.第三题9棵.因为9×2一18,将18倒过来看是81,81:9×9.第四题有三种排法: (1) (2) (3) 219 273 327 438 546 654 657 819 981口漫画趣题@李毓佩 @林航 @王皓…     

并非文字游戏

语言是思维的载体与外壳 ,在数学教学中要十分重视语言对思维的作用 ,这对于提高学生的思维水平有着极其重要的意义 ,现举例加以说明 .例　需要用多少每千克售 4 2元的糖果才能与每千克售 3 4元的糖果混合成每千克售 3 6元的杂拌糖 2 0 0千克 ?(人教版《代数》第一册(下 )Ｐ39第 1 4题 )此题全文由 42个字和一个标点符号组成 .教学实践表明 ,部分学生对它所表达的意思感到难以理解 .于是 ,我们对此题作了以下四种处理方式 .1　合理断句　化长为短因为对语句正确实施意思上的停顿并不会影响语意 ,所以原题可变为 :“需要用多少 (停顿 )每千克…     

利用P_n(k)解题应注意的三点

(2005年全国高考江苏卷第20题)甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是2／3和3／4。假设两人射击是否击中目标,相互之间没有影响；每次射击是否击中目标,相互之间没有影响。 (1)求甲射击4次,至少1次未击中目标的概率； (2)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中3次的概率； (3)假设某人连续2次未击中目标,则停止射击。问乙恰好射击5次后,被中止射击的概率是多少? 注意一“至少”类问题的分解与转化对于“至少”类问题,一般有两种处理方法：一是分解成若干个互斥事件的和；二是转化为其对立事件,利用P(A)=1-P(A)求解。     

一类排列组合题的解法

学生在学习《排列与组合》一章时,由千对某些习题不能正确理解,从而对于解答则无法验证。因此,做出错误的解答而不知其错。此种情况有时见于某些书刊。如翻译出版的《高考数学习题集》第98页5.039题:“有30人分成三组。每组10人,共有多少种不同的分组方法?”书后答案为C_(30)~(10)·C_(20)~(10)·C_(10)~(10)(种)。很多学生做此题时也得到这个答案,此答案是否正确呢?由于此题得数较大,不易直接验证。因此,我们试用类比的方法进行研究。 类比题一:有四个人分成两组,每组两人。共有多少种不同的分组方法? 解:设四人为A,B,C,D,真分成两组。每组两人的分法有:{A、B},{C、D);{A、C},{B、D};{A、D},{B、C}。共三种。 请注意,C_4~2·C_2~3=(种) 类比题二:有六个人分成三组,每组两人、共有多少种不同的分组方法?     

新题征展(56)

A　题组新编图 11 .如图 1 ,在由二项式系数构成的杨辉三角形中 :( 1 )在从上往下的 n( n∈N* )行数中非 1的数字之和为;( 2 )在斜线 AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形数列 :1 ,2 ,3 ,3 ,6,4 ,1 0 ,… ,记其前 n项和为 Sn,则 S1 6=;( 3 )第行中从左向右第 1 4与第 1 5个数的比为 2∶ 3 ;( 4)在第行中出现三个相邻的数它们的比是 3∶ 4∶ 5 .2 .( 1 ) 4名男学生、3名女学生排成一排 ,3名女学生中恰有 2名相邻的排法有多少种 ?( 2 )一条连椅有 7个座位 ,4人就坐 ,3个空座位中恰有 2个连在一起的坐法有多少种 ?( 3 )在 7枪连续射击中 ,命中…     

计算机自动生成数学命题——以三元均值不等式的加强为例

<正>数学命题是数学研究的重要部分.如果没有好的题目源源不断地“生产”出来,解题研究也难以持续发展.然而,发现一个好的命题并不容易.设a,b,c为正数(下同),求证:a~3+b~3+c~3≥3abc+a (b-c)~2+b (c-a)~2+c (a-b)~2.这是华东师范大学《数学教学》(1985年第三期)上的一题.供题人冷岗松教授在《数学竞赛试题的若干命题策略》中讲述此题的发现经历.他给学生讲解瑞典1983年试题abc≥(-a+b+c)·(a+b-c)(a-b+c)时,一个学生采取“暴力展开”,于是有了发现.     

最大值到底是几?

题　函数 f( x) =sin x sin 2 x sin 3x的 (　　 ) .( A)最大值是 3( B)最大值不小于 3 32( C)最大值是 3　　 ( D)最小值是 1这是汪江松先生主编的《新编高中数学重难点手册》(供高一年级用 ) ( 2 0 0 0年 1月第9次印刷 ) P1 1 5的第 1 ( 8)题 ,汪先生提供的解答是 :f ( π4 ) =sin π4 sin π2 sin3π4　 =1 2 >3 32 ,从而应选择 ( B) .学生和教师在做此题时 ,都不满足仅得出正确的选择答案 ,而是异口同声地问 :此题的最大值到底是几 ?面对此题 ,大家都束手无策 .经探讨发现 ,此问题已超出高中数学知识范围 .汪先生将此题编…     

多题一解 殊途同归

“数学题”多种多样、千变万化 .但只要你留心观察 ,就会发现许多问题的本质都是相同的 ,只不过把它的内容变化了一下 .下例几题仅供参考 :题 1 　 (人民教育出版社《代数》第一册第2 3页Ｂ组第 3题 ) 3个球队进行单循环比赛(参加比赛的每一个球队都要与其他所有的队各赛一场 ) ,总的比赛场数是多少 ?4个球队呢 ?5个球队呢 ?写出ｍ个球队进行单循环比赛时总的场数ｎ的公式 .分析　 3个球队中的任一个球队要和另外2个球队赛 2场 ,也就是 3× 2 =6 (场 ) ,因为考虑到 3个球队之间赛的场数有重复 ,所以 3个球队的比赛总场数就是 ( 3× 2 ) /2 =…     

在探究中回归数学的本源

1 案例素材 苏教版数学选修2-3第10页第11题:"以正方形的4个顶点中某一点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作出多少个不同的向量?"① (上面的①是"问题①"的简记.下同.) 2案例背景 这道题是学生刚刚学完两个计数原理后的一道作业题,也可以看成苏教版数学必修4第60页第5题的后续题.必修教材中的原题是:如图,以1×3方格纸中的格点为起点和终点的所有向量中,有多少种大小不同的模?有多少种不同的方向?     

对一个不等式问题的完善

设ａ ,ｂ ,ｃ为正数 ,且满足ａｂｃ=1 ,试证 :1ａ3(ｂ ｃ) 1ｂ3(ａ ｃ) 1ｃ3(ａ ｂ) ≥ 32 .该题是第 3 6届ＩＭＯ试题 .自《数学通报》1 996年第 5期作为征解问题的第 1 0 1 3题以来 ,仅《数学通报》就有近 2 0篇文章 (见参考文献 ) ,作为例题或习题加以引用 ,用不同的方法进行了证明 ,也有一些文章对该题结论进行了推广 ,如文 [2 ]推广为设ａ ,ｂ ,ｃ为正数 ,且满足ａｂｃ=1 ,试证 :1ａｍ(ｂ ｃ) 1ｂｍ(ａ ｃ) 1ｃｍ(ａ ｂ) ≥32 (ｍ ∈Ｎ) .但其证明有错误 .文 [7]推广为ｍ ≥ 2的实数 .本人首先指出对该题或该题的推广的证明中…     

寻思沉潜如深海 为有源头活水来——2023年新高考数学Ⅰ卷第21题的源与流

<正>1 试题回顾(2023全国卷Ⅰ,21)甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下：若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8,由抽签决定第1次投篮的人选,第一次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.(1)求第2次投篮的人是乙的概率;(2)求第i次投篮的人是甲的概率;(3)已知：若随机变量Xi服从两点分布,     

一道几何题的教学处理

同济大学数学教研室主编的《高等数学》第四版上册第 42 9页上有一道几何题 ,如能在教学中引导学生对它进行充分思考 ,组织课堂讨论 ,有着启迪思维 ,开拓思路的价值。原题 :求过点 ( 2 ,1 ,3 )且与直线 x+13 =y-12 =z-1 垂直相交的直线的方程。对本题若是平铺直叙的讲解 ,学生则收效不大。若对本题稍加思考 ,在教学中将会收到事半功倍的效果。将本题叙为 :在已知点 M( 2 ,1 ,3 )和直线 L:x+13 =y-12 =z-1 的条件下 ,你认为能构造出多少不同的问题 ,并一一解答出来。让学生充分思考讨论后再归纳 ,我们不难得出以下问题 :1 .求过点 M( 2 ,1 …     

关于教材教法的点滴认识

(一)统编教材《高中数学》第四册习题二有一题:“求下面数列的前n项和: x+1/y,x~2+1/y~2,x~3+1/y~3,…x~n+1/y~n….”此题的解答无论是在师生中广为流传的《全国统编教材高中数学习题解》(以下简称《题解》)或高中数学第四册《教学参考书》(人民教育出     

一个探究问题的几种思维方法

题目 :○○○　○○○○○　○○○○○○○○○○○○○○○○( 1 ) ( 2 ) ( 3 )上面是用棋子摆成的“T”字 .( 1 )摆成第 1个“T”字需要多少枚棋子 ?第 2个呢 ?( 2 )按这样的规律摆下去 ,摆成第 1 0个“T”字需要多少枚棋子 ?第n个呢 ?这个探究型问题 ,选自经全国中小学教材审定委员会 2 0 0 1年初审通过的义务教育课程标准实验教科书《数学》七年级下册 (北京师范大学出版社 ) .第 1 2 5页总复习题中的第 2题 .经师生的共同探究 ,发现由不同的观察、分析、推理 ,将会找到不同的解题路径 ,从而产生多种不同的思维方法 .从这个意义上讲 …     

两道课外练习题的另证

《中学生数学》2011年7月(下)期课外练习中的初二年级第1题和第2题有另外的如下证明方法,供同学们参阅.题1(初二年级第1题)如图1,等腰△ABC中,顶角∠A=100°,∠B的平分线交BC     

圆台侧面两点间的最短距离

现行的中学数学教材《立体几何》复习参考题二第20题是: (1)有一个圆锥如图1,它的底面半径为r,母线长为l,在母线SA上有一点B,AB=a,求由A绕圆锥一周到B的最短距离是多少?     

女子奥赛题的另证

这是《中学生数学》2009年10月(上)的《女子奥赛题的巧证》题:(第四届中国女子数学奥林匹克)设正实数x,y满足x3+y3=x-y,求证:x2+4y2<1.本文给出另一种巧妙的证明方法,与大家共赏.证明∵x,y为正实数     

当凌绝顶一览众山——一道课本习题的溯源过程及应用

《普通高中课程标准实验教科书·数学5》(必修)P75页习题3.1A组第3题:例题 当x＞0时,求证:√1+x＜1+x/2.本题在高中的不同阶段有不同的解法,由于本题出现在必修五《不等式》的习题中,教师一般会向学生介绍综合法或分析法证明该不等式.