西部数学奥赛一题优美简捷的证明与推广

<正>拜读《中学生数学》高中版2008年第2期P₂₉页《西部数学奥赛一题的三角证法》一文,欣赏了宿晓阳老师提供的三角证法的新颖之处,但是同时感受到证明过程的曲折与繁复,因此,笔者产生了对该试题证明过程进行优化、     

一道美国数学奥赛题的再思考

第33届美国数学奥林匹克第5题为： 设a，b，c均为正实数，证明：     

R≥2r的更简捷证法

[1]、E2]给出欧拉不等式的两种证法，但不容易．应用三角形的边变换及均值不等式可以更简捷的证得R≥2r．[第一段]     

一道美国数学奥赛题的再思考

第33届美国数学奥林匹克第5题为： 设a，b，C均为正实数，证明： （a^5-a^2＋3）（b^5-b^2＋3）（c^5-c^2＋3）≥（a＋b＋c）^3.     

一道美国数学奥赛题的再推广

第33届美国数学奥林匹克第5题： 设a，b，c为正实数，证明：     

一道女子奥赛题的多种证法

<正>如图1,⊙O1与⊙O2交于A、B两点,延长O1A交⊙O2于点C,延长O2A交⊙O1于点D,过点B作BE∥O2A交⊙O1于点E,若DE∥O1A,求证:DC⊥CO2.这是2014年中国女子数学奥赛第一题,笔者从多角度来添设辅助线证明本题,供同学们参考.证法一如图1,分别连接DB、O1O2、AB,延长EB交⊙O2于H,连接AH.∵∠ABH=∠EDA=∠O1AO2=∠DAB,     

对一道奥赛题的再探索

第三届（2006年）东南数学奥林匹克第6题为： 求最小的实数m，使不等式 m（a^3＋b^3＋c^3）≥6（a^2＋b^2＋c^2）＋1     

一个三角不等式又一证法

笔者在《中学生数学》2008年2月（上）P29的文《西部数学奥赛一题的三角证法》中给出如下试题：     

也证一道西部数学奥赛题

《中学生数学》高中版2008年第2、6、12、12期的P29、P13、P25、P36分别发表了《西部数学奥赛题的三角证法》、《用导数解题》（的例5）、《西部数学奥赛一题优美简捷的证明与推广》、《道是无妨却有妨》等四文。仔细拜读,受益多多,同时也发现有的证法的某些不足之处（例如证法的科学性、简捷性、方法的初等化等）。     

两个不等式的三角证法及其推广

在一些刊物上 ,常讨论下述不等式 :设a >1,b>1,c>1,则a3b2 - 1+ b3c2 - 1+ c3a2 - 1≥ 92 3(1)a5b2 - 1+ b5c2 - 1+ c5a2 - 1≥2 56 15 (2 )本文就这两个不等式给出统一的三角证法 ,并给以推广 .首先给出下面引理 .引理　若θ∈ 0 ,π2 ,k是正整数 ,则sin2 θ·cos2k - 1θ≤ 2 (2k - 1) 2k - 1(2k + 1) 2k +1.当且仅当secθ =2k + 12k - 1时 ,等号成立 .证　由均值不等式得 :(2k - 1) (sin2 θ +cos2 θ) =(2k - 1)sin2 θ2 +(2k - 1)sin2 θ2 +cos2 θ+cos2 θ +… +cos2 θ(2k - 1)项≥ (2k +1)·2k + 1(2k - 1) 24 (sin2 θ·cos2k - 1…     

对一个优美不等式的换元证法

文[1]安振平老师提出了二十六个优美不等式,其中第十九个不等式如下:问题1:若a、b、c为正实数,且满足a+b+c=3,求证:(3/a---2)(3/b---2)(3/c---2)≤1.实际上,早在文[2]中安振平老师就给出了以上不等式(例12),并利用二元均值不等式给出了证明,但需要对字母的正负性加以讨论.笔者最近研究了以上不等式,发现了一个简单且不需要讨论的换元证法,现整理如下     

关于一道IMO训练题的引申

1998年加拿大IMO训练题 :设x1 ,x2 ,… ,xn+1 是正实数 ,满足条件 11 +x1+ 11 +x2+… +11 +xn+1=1 ,求证 :x1 x2 …xn+1 >nn+1 .上述命题表明 :如果正实数x1 ,x2 ,… ,xn+1满足条件 :11 +x1+ 11 +x2+… + 11 +xn=1 - 11 +xn+1时 ,有xn+1 ≥ nn+1 ni=1xi,所以 :11 +x1+ 11 +x2+…+ 11 +xn≥ 1 - 11 + nn +1 ni=1xi=nn+1 ni=1xi1 + nn +1 ni=1xi=nn+1nn+1 +x1 x2 …xn.由此我们引出一个新命题 :设x1 ,x2 ,… ,xn 是正实数 ,且11 +x1 + 11 +x2 +… + 11 +xn<1 ,　 11 +x1+ 11 +x2+… + 11 +xn≥ nn+1nn+1 +x1 x2 …xn( 1 )事实上 ,由于 11 +x…     

竞赛不等式的创新证法——向量内积法

文[1]利用匹配因子的方法，构造均值不等式来证明竞赛题中对称和轮换对称不等式．但笔者认为这种匹配因子的方法需要较高的技巧，在实际操作中很难掌握．     

一道不等式赛题的多种证法

2014年罗马尼亚数学奥林匹克竞赛中有一道不等式题是：     

对数学问题解答栏中若干数学问题的感悟

数学问题解答栏 ,每期登场的 5个问题都如一道道亮丽的风景 ,给人启示 ,耐人寻味 ,经常构筑成问题研究链的模式———即问题一出现便引起读者的兴趣 ,有人立即给出某个问题的简证 ;有人则研究某问题的加强与推广 ;有的问题干脆就成为某些后继问题的研究基石或工具 ,由此引发出一系列更深层次的研究课题 ;有些则成为数学竞赛好素材 ;有些问题自身的解法就给人以启发 ,使读者一看就有眼前一亮的神往和敬佩感 ,… ,如此等等 ,都对推动我国的初等数学研究事业、丰富数学竞赛课堂、促进常规数学教育教学改革起到了巨大的推动作用 ,这一切都应归功…     

一道2011年美国数学奥林匹克试题的换元证法

2011年美国数学奥林匹克试题的第2题是一道代数不等式证明题,本文先给出两种换元证法,并顺便获得它的两个加强结果.     

一道女子奥赛题的简单证明

本刊文[1][2]对如下一道女子奥赛题:设正实数x,y满足x3+y3=x-y,求证:x2+4y2<1.分别给出了它的巧妙证法,读后受益匪浅.但掩卷之后,仍有一种意犹未尽之感,经过探究,发现一种更为简单自然的证法,现叙述如下:     

一道西班牙奥赛题的再探究

拜读文[1]与文[2],文[2]指(给)出了文[1]中五个例题中证法的错误或结论的错误或证法的改进.但阅读中发现文[2]的证法依然是值得改进的,更为严重的是文[2]竟然把文[1]的例2误判