关于椭圆x2/a2+y2/b2=1的一组优美结论

椭圆x2/a2+y2/b2=1(x,y,a,b∈R,且a≠0,b≠0,｜a｜≠｜b｜),有许多简捷、优美的结论,且有着广泛的用途.结论1 若x2/a2+y2/b2=1(x,y,a,b∈R,且a≠0,b≠0,｜a｜≠｜b｜),则(1)a2+b2≥(x+y)2(当且仅当b2x-a2y=0时等号成立);     

一类条件最小值问题的统一解法

本文给出一类条件最小值问题及其统一的解法,这类问题是:已知a,b,c为正实数,且a+b+c=1,k(k≠0,1)为整数,求(a+b)k+(b+c)k+(c+a)k的最小值.统一解法使用的工具是n(n≥2)元均值不等式:a1+a2+…+an≥nna1a2…槡an(ai>0,i=     

二元均值不等式求三角函数最值

<正>来看这样一个问题:设0相似文献   

浅谈求函数y=a1x2+b1x+c1/a2x2+b2x+c2值域的判别式法

函数y=a1x2+b1x+c1/a2x2+b2x+c2值域的求法,很多资料上给出方法是判别式(即△)法,而一旦自变量的范围给以限定,当△法失效时,还有其他方法吗?一般资料上就避而不谈了.要全面系统解决函数y=a1x2+b1x+c1/a2x2+b2x+c2值域的问题,本文以为需解决以下三个事情:①判别式法的过程和依据,②自变量有限制时还能用判别式法吗?③自变量有范围限制,问题可以归结为三类常见函数:反比例函数;y=t+c/t(c＞0);y=t+c/t(c＜0)的值域求法.     

一类条件不等式的统一证明

贵刊文[1]、文[2]给出了下列一类条件不等式.若a,b,c>0,且a+b+c=1,则1/(1+a2)+1/(1+b2)+1/(1+c2)≤27/10.(1)若a,b,c,d>0,且a+b+c+d=1,则1/(1+a3)+1/(1+b3)+1/(1+c3)+1/(1+d3)≤256/65.(2)若a,b,c,d>0,且a+b+c+d=1,则1/(1+a2)2+1/(1+b2)2+1/(1+c2)2+1/(1+d2)2≤824/289.(3)笔者认为不等式(3)应改为:     

三点共线条件在解题中的应用

由解析几何知 ,三点P1(x1,y1) ,P2 (x2 ,y2 ) ,P3(x3,y3)共线的充分必要条件是 :(x3-x1) (y2 - y1) - (x2 -x1) (y3- y1) =0 .这一结论除用于判定或求解有关解析几何的共线问题外 ,也可用于求解一些三角以及代数中的问题 ,其解法具有一定的启发性 ,下面举几例说明 .例 1　已知一次函数 f(x) =ax +b ,且 - 1≤f(- 1) ≤ 2 ,- 2≤f(2 )≤ 3,求 f(3)的取值范围 .解　由已知 f(- 1) =-a +b ,f(2 ) =2a +b ,f(3) =3a +b ,整理即-a - f(- 1) +b =0 ,2a - f(2 ) +b =0 ,3a - f(3) +b =0 ,上式表明点P1(- 1,f(- 1) ) ,P2 (2 ,f(2 ) ) ,P3(3,f(3) …     

无理函数y=（a1x+b1）～（1/2）+（a2x+b2）～（1/2）的最值求法

无理函数y=（a₁x+b₁）^1/2+（a₂x+b₂）^1/2（a1,a2,b1,b2均不为0）（1）的最值问题,是代数中较为典型的一类最值问题之一.当a1a2≥0时,函数（1）为单调函数,求出定义域后利用单调性很容易确定最大值和最小值.但当a1a2<0时,函数（1）最值的求解具有一定的难度.其实,当a1a2<0时,无理函数（1）可改写成如下形式:y=a（x-b）^1/2+c（d-x）^1/2（a,c>0,b,d≠0）（2）当b≤d时,函数才有意义.当b=d时,函数值域为单点集{0}.本文考虑b相似文献   

剖析一道习题解法错误

在我们平时教学中,学生做错练习题是常见的,但主动寻找错误原因的同学还很不多。在解题过程中,对错误解法进行分析,找出病因,对巩固基础知识,提高解题能力是非常必要的。下面仅就一道习题几种常见错误解法进行剖析,并提出正确的解法,供参考。题目设x、y为正变数,a、b为正常数,且a/x+b/y=1,求x+y的最小值。错解一∵a、b、x,y为正数,∴a/x及b/y均为正数,∴a/x+b/y≥2((ab/xy)~(1/2)),而a/x+b/y=1.∴(ab/xy)~(1/2)≤1/2.∴(xy/ab)~(1/2)≥2∴xy~(1/2)≥2((ab)~(1/2)),又∵x+y≥2((xy)~(1/2))∴x+y≥4((ab)~(1/2)),∴x+y的最小值为4(ab)~(1/2)     

新题征展(103)

A题组新编 　　1.(1)已知Y∈R+,求证: 　　1/2(x+y)2+1/4(x+y)≥x√y+y√x; 　　(2)设a、b、c为不全相等的正数,求证: 　　bc/a+ac/b+ab/c>a+6+c; 　　(3)已知口,b,c∈R+, 　　求证:a2/b+c+b2/c+a+c2/a+b≥a+d+c/2; 　　(4)已知a,b,c∈R+, 　　求证:c/a+b+a/b+c+b/c+a≥3/2; 　　(5)若正数a、b,c满足a+b+c=1, 　　求证:(1/a+q1(1/b+1)(1/c+1)≥64.……     

函数y=ax＋b／x的单调性及其应用

一、如何讨论函数y=ax+b/x(a>0,b>0)函数的单调性? 先从“图象”上来寻求函数性质,再作论证. 不妨先讨论具体的a、b值.例如:a=2、b=1,即研究函数y=2x+1/x的单调性. 1.用图象叠加法作出大致图象     

第1628号数学问题的推广与探究

最近笔者在研究圆锥曲线时,发现文[1]给出了第1628号数学问题为:直线l:x/m+y/n=1与椭圆x2/a2+y2/b2=1(a,b＞0,a≠b)交于P、Q两点,O为椭圆的中心.求证:∠POQ=π/2的充要条件是1/m2+1/n2=1/a2+1/b2.文[2]经过探究得到性质(文[2]中的性质6):设P、Q为椭圆x2/a2+y2/b2=1(a,b＞0,a≠b)上的两点,O为坐标原点,OP⊥OQ,则1/|OP|2+1/|OQ2|=1/a2+1/b2.     

一个有理型不等式的类比

文[1]给出了如下不等式:设a,b>0,若ab≥1/2,则1/(1+a2)+1/(1+b2)≤1+1/(1+(a+b)2)当且仅当a=b=2～(1/2)/2时等号成立.本文给出不等式①的一个类比.     

一个椭圆最值问题的多角度探究

文 1对如下的问题从解法和推广两方面作了探讨 ,本文对此问题先作一变换 ,然后从解法、推广、引申、推论四个方面对其作进一步探究 .问题 1　曲线 x2a2 y2b2 =1 (a,b∈ R )过点 M(1 ,1 ) ,求 a b的最小值 .问题 1等价于 :已知 1a2 1b2 =1 (a,b∈R ) ,求 a b的最小值 .将点 M(1 ,1 )一般化 ,则得到如下的问题2 .问题 2　已知 a,b,x,y∈ R ,且 ax by= 1 ,求 x12 y12 的最小值 .1　别解解法 1　 (基本不等式法 )∵　 ax by =1 ,∴　 (x12 y12 ) 2= (ax by) (x12 y12 ) 2= (ax by) (x 2 x12 y12 y)= a 2 ax-12 y12 ax-1y bxy…     

数形结合巧解一题(二)

问题已知a、b、c∈R,a+b+c=1,a2+b2 +c2=1,求证:-1/3≤c≤1. 证明∵点P(a,b)是直线x+y=1-c 和圆x2+y2=1-c2上的点,即P是直线和圆的公共点,     

一道高考题的解法探究与推广

题目:(11重庆高考理科卷7)设a>0,b>0,若a+b=2,则y=1/a+4/b最小值为______.A.7/2B.4C.9/2D.5这道试题从它的问题背景和难易程度来看,显然相当平凡,不见得有多大的"新奇"之处,但剖析其内涵,挖掘其内在的功能,可引发众多的思考,笔者结合自己的教学实践,谈谈试题带给我们的思考,供大家参考.     

有趣的数形结合

例 1.求函数y =x - 3-x - 1的值域解 :y =x - 3-x - 1=- 4　 (x 3)2 - 2x　 (- 1 x 3)4　 (x - 1)得　y∈ - 4,4 (如图 )变式 :已知 :a 相似文献   

两个代数不等式及应用

定理 1　对于 x ,y ,a ,b∈R ,则有　 (x -a) 2 + ( y -b) 2≥ (x2 + y2 -a2 +b2 ) 2 ( 1 )等号成立当且仅当x y =a b并且x与a同号 .证　将 ( 1 )左端减去右端得(x -a) 2 + ( y -b) 2 - (x2 + y2 -a2 +b2 ) 2=- 2 (ax +by) + 2 (x2 + y2 ) (a2 +b2 )≥ 0 (应用Cauchy不等式 ) .等号成立当且仅当x y =a b并且x与a同号 ,可见式 ( 1 )成立 .定理 2　对于 xi,yi∈R ,若当n≥ 2时存在x2 + y2 ≥∑ni=1xi2 + yi2 ,则有(x -∑ni=1xi) 2 + ( y -∑ni=1yi) 2　≥ (x2 + y2 -∑ni=1xi2 + yi2 ) 2 ( 2 )等号成立当且仅当 x1y1=x2y2=… =xnyn=xy 且x…     

应用均值不等式的“技巧”

均值不等式槡(ab)～(1/2)≤a+b/2(a>0,b>0,当且仅当a=b时取等号)是高中数学中的一个重要不等式,应用广泛,是求解某些函数最值问题的有效工具.应用均值不等式有三个必要条件:一正二定     

一道预赛不等式的简证

2010年全国高中数学联赛广东省预赛解答题第3题如下:题目设非负实数a,b,c满足a+b+c=1,求证:9abc≤ab+bc+ca≤1/4(1+9abc).证由Schur不等式的一个特例,即对于非负实数x,y,z,有     

新题征展(124)第5题的进一步思考

题目 设a,b,c为正实数,1≤a,b,c≤2,求(a+b+c)(a/1+b/1+c/1)的最大值. 答案 当且仅当a=b=c=1时,所求最大值为27. 进一步思考