椭圆小辅助圆的若干性质

把以椭圆短轴为直径的圆x²+y²=b²称为椭圆C:(x²/a²)+(y²/b²)=1 (a> b> 0)的小辅助圆,本文介绍椭圆C的小辅助圆x²+y²=b²的几条性质.     

函数不等式中的参数取值范围的求解方法

<正>求函数不等式f(x)≥g(x)中的参数的取值范围(最值)的方法到底有几种?何时用哪种方法求解速度快?对此问题,本文作一些归纳、总结、探究,以飨读者朋友.例1定义在R上的奇函数f(x)对任意x¹,x1,x²(x2(x¹≠x1≠x²)都有(x2)都有(x¹-x1-x²)[f(x2)[f(x¹)-f(x1)-f(x²)]<0.若实数a,b(a>0)使得不等式f(a2)]<0.若实数a,b(a>0)使得不等式f(a²e2e^a-aa-a²)     

“母子”椭圆和双曲线及其一个有趣性质

<正>椭圆（x²/c²）+（y²/b²）=1(a>c>6>0,c=（a²-b²）^1/2内含于椭圆（x²/a²）+（y²/b²）=1（a>b>0）,双曲线（x²/c²） -（y²/b²）=1(a>0,b>0,c=（a⁺b²）^1/2内含于双曲线（x²/a²）-（y²/b²）=1（n>0,b>0）.所以,我们不妨把     

一道初三课外练习的另解及说明

<正>贵刊2015年第9期(初中版)课外练习,初三年级.解方程(1+x+x²)(1+x+x2)(1+x+x²+…+x2+…+x⁽¹⁰⁾)=(1+x+x(10))=(1+x+x²+…+x2+…+x⁶)2.为了比较另解与原解答的不同,我们还是先给原解答,然后展开另解.一、原解答解显然x=0是原方程的根.若x≠0则原方程可以化为     

数学解题应遵循“多想少算”原则

1问题的提出在辅导一名高三学生时,遇到了这样一个数学问题:函数f(x)=1+3x²/|x|√1+x²(x≠0)的最小值为__.     

数学问题解答

2020年12月号问题解答(解答由问题提供人给出)2576已知x>0,y>0,y³(5-2x³)=3,求P=2/x²+3y²的最小值.     

椭圆中的最值问题

<正>最值问题是解析几何中的一类常考问题,具有综合性强、思维量大等特点,经常作为压轴题出现.下面以椭圆为例,谈一下破解策略,供大家参考.策略一、借助二次函数的性质例1已知点P(x,y)在椭圆x²/8+y2/8+y²/4=1上,点B(0,1),求|PB|的最大值.解因为|PB|2/4=1上,点B(0,1),求|PB|的最大值.解因为|PB|²=x2=x²+(y-1)2+(y-1)²,且x2,且x²=     

探究二元不等式链的间距问题

利用基本不等式√ab≤(a>0,b>0),容易证明如下二元不等式链:若x,y∈R⁺,则x²+y²/2√xy≥x²+y²/x+y≥√x²+y²/2≥x+y/2≥√xy≥√2xy/x+y≥√2xy/√x²+y².     

对一道浙江高考调测题的解法探究及推广

试题:如图1,椭圆C:x²+3y²=3b²（b>0）.（I）求椭圆C的离心率;（Ⅱ）若b=1,A,B是椭圆C上两点,且|AB|=3^1/2,求△AOB面积的最大值.解法一:（I）由x²+3y²=3b²得x²/（3b²）+y²/b²,所以e=c/a=(（3b²-b²）^1/2)/(（3b²）^1/2)（Ⅱ）设A（x₁,y₁）,B（x₂,y₂）,△ABO的面积为S.如果AB⊥x轴,由对称性不妨记A的坐标为(3^1/2/2,3^1/2/2),此时S=1/2·3^1/2/2·3^1/2=3/4;如果AB不垂直于x轴,设直线AB的方程为y=kx     

一道西班牙数学竞赛题的探究

<正>第31届西班牙数学奥林匹克第2题为命题1如果(x+（x²+1）^1/2)(y+（y²+1）^1/2) =1,那么x+y=0.文[1]、[2]给出了命题1的三种证法,文[2]还给出了命题1的类似命题2如果x,y∈[1,+∞),或x,y∈(—∞,—1],且(x+（x²—1）^1/2)(y+（y²—1）^1/2)=1,那么x=y.     

活用幂的运算法则解题

<正>幂的运算法则有如下四条:a^m·am·aⁿ=an=a^(m+n);(a(m+n);(a^m)m)ⁿ=an=a^(mn);(ab)(mn);(ab)^m=am=a^m bm b^m;am;a^m÷am÷aⁿ=an=a^(m-n)在解决有关幂的问题时,若能注意活用这些法则,常能使问题化繁为简,化难为易.一、直接运用在运算中,直接运用幂的运算法则进行解答.例1已知x(m-n)在解决有关幂的问题时,若能注意活用这些法则,常能使问题化繁为简,化难为易.一、直接运用在运算中,直接运用幂的运算法则进行解答.例1已知x³·x3·x^a·xa·x^(2a+1)=x(2a+1)=x⁽³¹⁾,求a的值.     

对一类最值问题的深入思考

<正>马上轮到我做数学"课前5分钟"了,讲些什么内容好呢?我想起了初中时做过的一道题目:问题1已知02+1)2+1)^(1/2)+(x(1/2)+(x²-6x+18)2-6x+18)^(1/2)的最小值.解析首先将式子整理为y=(x(1/2)的最小值.解析首先将式子整理为y=(x²+12+1²)2)^(1/2)+((3-x)(1/2)+((3-x)²+32+3²)2)^(1/2),因为0相似文献   

非线性方程组的Newton流线法

为求解非线性方程组F(x)=0, 研究了Newton流方程x_t=V(x)=-(DF(x))^-1F(x),x(0)=x⁰,及数值Newton流x^j+1=x^j+hV(x^j),h∈(0,1].导出了减幅指标g_j(h)=||F(x^j+1)||/||F(x^j)||=1-h+h²d_jh<1和m重根x^*附近的表示g_j(h)=(1-h/m)^m+h²O(||x^j-x^*||).最后基于4个可计算量g_j,d_j,K_j,q_j,提出了新的Newton流线法,如果投入大量的随机初始点, 能找到所有实根、重根和复根.     

巧换元 妙解方程(组)

<正>有些方程或方程组不易直接求解,若巧换元,还可妙解题.换元的关键是选择换元对象,确定换元方法,有时还要做些变形,才能妙解题.换元是一种解题技巧,而巧换元则是巧中之巧,现举例说明.例1解方程(4x-1)(3x-1)(2x-1)(x-1)=8x⁴.解先搭配括号展开.原方程变形为(4x4.解先搭配括号展开.原方程变形为(4x²-5x+1)(6x2-5x+1)(6x²-5x+1)=8x2-5x+1)=8x⁴.(1)     

一道解析几何试题的多视角探析

<正>已知椭圆C:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)的离心率为32=1(a>b>0)的离心率为3^(1/2)/2,一个顶点在抛物线:x(1/2)/2,一个顶点在抛物线:x²=4y的准线上.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设O为坐标原点,M,N为椭圆上的两个不同的动点,直线OM,ON的斜率分别为k1和k2,当k1k2=-1/4时,探讨△MON的面积是否为定值,若为定值,求出该定值.若不为定值,说明理由.     

利用导数求参变量范围题的错题分析

<正>题目设函数f（x）=-a（x²+1）^1/2+x+ a,x∈（0,1）a∈R⁺.若f（x）在（0,1）上是增函数,求a的取值范围.错解f′（x）=（-ax）/（x²+1）^1/2+1,∵f（x）在（0,1）上是增函数,∴在x∈（0,1）上有f′（x）>0,     

椭圆最值与范围问题的探讨

<正>椭圆是我们高中解析几何的重要组成部分,椭圆中的最值与范围的求解有异曲同工之处,方法也往往众多.如何掌握并迅速锁定方法是我们要解决的一个重要问题.现在我们结合例题梳理一下方法吧.例1求椭圆x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)的内接矩形的面积的最大值.解由x2=1(a>b>0)的内接矩形的面积的最大值.解由x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1结合基本不等式可知     

一道错题的剖析与再变

1错题由来题已知Rt△ABC的周长是4+4 3^1/2,斜边上的中线长是2,则S_△ABC=_<sub><sub><sub>.学生的解法:解法1（标准答案）:因为Rt△ABC的周长是4+4 3^1/2,斜边上的中线长是2,所以斜边长为4,设两个直角边的长为x、y,则x+y=4 3^1/2,x²+y²=16,故S_△ABC-1/4[（x+y）²-（x²+y²）]=1/4[(4 3^1/2)²-16=8.解法2:因为Rt△ABC的周长是4+4 3^1/2,斜边上的中线长是2,所以斜边长为4,设两个直角边的长为x、y则x+y=4 3^1/2,x²+y²=16,消去y得x²-4 3^1/2x     

关于同心椭圆与圆的切线的一个结论

<正>题目对于任给的椭圆C:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0),存在内含圆O_内:x2=1(a>b>0),存在内含圆O_内:x²+y2+y²=a2=a²b2b²/a2/a²+b2+b²和外包圆O_外:x2和外包圆O_外:x²+y2+y²=a2=a²+b2+b².(1)圆O内任何一条切线交椭圆C于点A、B,则OA⊥OB;(2)从圆O外上任意一点P引椭圆C的两     

由四个解析几何命题引发的猜想及其证明

笔者在文[1]和文[2]中得到了4个命题:命题1如图1,点F₁,F₂分别是椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的左、右焦点,线段AB是过F₁的椭圆的一条弦.