Sekundärströmungen in viskoelastischen Flüssigkeiten bei stationärer und periodischer Bewegung

Zusammenfassung Verschiedene Typen von Sekundärströmungen in viskoelastischen Flüssigkeiten werden besprochen, und es werden vor allem experimentelle Realisierungen derselben mitgeteilt, wobei als Versuchsflüssigkeit wäßrige Lösungen von Polyacrylamid Verwendung finden.Aus der Klasse der stationären Bewegungen werden Strömungen in geradlinigen Rohren von beliebigem Querschnitt und in gekrümmten Rohren von kreisförmigem Querschnitt unter einem konstanten Druckgradienten, sowie Strömungen um drehsymmetrische Körper, die um ihre Symmetrieachse rotieren, behandelt. Für den letztgenannten Fall wird u. a. das Gegeneinanderwirken von Viskoelastizitäts- und Trägheitseinflüssen aufgezeigt.In der Klasse der periodischen Bewegungen wird zuerst kurz auf die Strömung in einem geradlinigen Rohr von beliebigem Querschnitt unter einem alternierenden Druckgradienten eingegangen. Anschließend wird die Strömung um drehsymmetrische Körper, welche um ihre Symmetrieachse Rotationsschwingungen ausführen, untersucht. Dabei wird nicht nur eine stationäre Sekundärströmung in der Meridianebene, sondern außerdem auch eine solche in azimutaler Richtung nachgewiesen und als Folge der Unsymmetrie der anregenden periodischen Bewegung einsichtig gemacht. Schließlich wird gezeigt, daß im Innern eines Zylinders mit freier Flüssigkeitsoberfläche, der um seine Achse Drehschwingungen vollführt, eine unter Umständen recht komplizierte stationäre Sekundärströmung auftritt, und es wird deren Abhängigkeit von der Frequenz und der Füllhöhe untersucht.Vorgetragen auf der Jahrestagung der Deutschen Rheologen-Vereinigung und der Deutschen Rheologischen Gesellschaft in Bad Nauheim am 8. April 1965.Zum Schluß sei Herrn Prof. Dr.K. Weissenberg (The Royal Institution, London) herzlich für die Mitteilung seiner unveröffentlichten Ergebnisse gedankt, die zur Durchführung der zuletzt beschriebenen Versuche angeregt haben. Herrn Dipl.-Ing.K. Feldkamp (Technische Hochschule Braunschweig) sowie meinen Mitarbeitern HerrnH. Stollorz und HerrnH. Pickelin danke ich für ihre Hilfe bei Planung und Bau der Apparaturen und bei der Durchführung der Versuche, meinem Kollegen Herrn Dr.J. Pawlowski für manche anregende Diskussion sowie für die Messung der Fließkurven. Den Farbenfabriken Bayer AG., insbesondere Herrn Dr.W. Meskat gebührt schließlich mein Dank für die Förderung der vorliegenden Untersuchung.     

The effects of random longitudinal vibration on pipe flow of a non-Newtonian fluid

Summary A perturbation solution to a pulsating pipe flow of a non-Newtonian fluid is developed. The pipe is vibrated longitudinally in a random stationary manner and the fluid is driven by a constant pressure drop. Three explicit constitutive equations are studied: the generalized Newtonian, the strain-rate and the strain-dependent constitutive equations. It is found that all three of them are capable of describing the flow enhancement phenomenon observed byMena et al. and that this effect is entirely an inertia effect which is exhibited only by shear-thinning fluids.

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Zusammenfassung Es wird eine Näherungslösung für die pulsierende Rohrströmung einer nicht-newtonschen Flüssigkeit entwickelt. Das Rohr vibriert dabei in Längsrichtung nach Art eines stationären stochastischen Prozesses, und die Flüssigkeit wird durch ein konstantes Druckgefälle angetrieben. Drei Formen rheologischer Stoffgleichungen werden untersucht: die einer verallgemeinerten newtonschen, einer deformationsgeschwindigkeits-und einer deformationsabhängigen Flüssigkeit. Es wird gefunden, daß alle drei Modelle imstande sind, das vonMena und Mitarbeiter beobachtete Phänomen der Durchsatzsteigerung zu beschreiben und daß dieser Effekt ein reiner Trägheitseffekt ist, der nur bei Flüssigkeiten mit Scherentzähung vorkommt.

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With 3 figures     

Kielwasserströmungen um eine Platte

Zusammenfassung Es wird gezeigt, wie man durch einfache Überlagerung der Strömung einer Quellstrecke, der gewöhnlichen widerstandsfreien Potentialströmung um eine Platte und einer Rückströmung Kielwasserströmungen um eine Platte erhalten kann, die verschiedenen, noch freien Bedingungen angepaßt werden können. Ein spezieller Fall liefert eine im Außengebiet des Kielwassers mit der Oseenströmung fast identische Strömung. Der Zusammenhang zwischen einem durch zwei parallele Wirbelhalbstrahlen begrenzten Kielwasser und einer Quellbelegung der Plattenspur wird abgeleitet. Durch Übertragung der Ergebnisse auf eine schräge Platte wird versucht, die beiden versuchsmäßig bekannten Strömungsarten rechnungsmäßig zu erfassen. Für Auftriebs- und Widerstandsbeiwert werden Gesetze angegeben, durch die auch die Bedingung erfüllt wird, daß die resultierende Luftkraft auf der Platte senkrecht steht.     

Unsteady elastico-viscous flow in a rotating pipe

Summary An analysis is presented of incompressible flow in a straight pipe of circular cross-section, rotating about an axis perpendicular to its length, under the influence of a periodic pressure gradient. It is shown that the secondary axial velocity along the pipe is comprised of a steady part and an unsteady part oscillating at twice the frequency of the applied pressure gradient. Of particular interest is the steady component of velocity for which it is shown that, at high frequencies, a reversal of drift in certain regions can be induced.

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Zusammenfassung Es wird eine Analyse der inkompressiblen Strömung in einem geraden Rohr mit rundem Querschnitt, das um eine senkrecht zu seiner Länge verlaufende Achse rotiert, unter dem Einfluß eines periodischen Druckgradienten gegeben. Dabei wird gezeigt, daß die sekundäre axiale Anströmungsgeschwindigkeit in der Röhre aus einem stationären Anteil und aus einem nichtstationären Anteil besteht. Der letztere oszilliert mit einer Frequenz, die doppelt so groß ist wie die des wirkenden Druckgradienten. Von besonderem Interesse ist der stationäre Anteil der Angströmgeschwindigkeit, für den gezeigt wird, daß bei hohen Frequenzen in gewissen Bereichen eine Umkehr der Strömungsrichtung herbeigeführt werden kann.

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With 3 figures     

Über den einfluβ der stromlinienkrümmung auf die stabilität laminarer strömungen

Zusammenfassung In dieser Arbeit wurde gezeigt, daß eine laminare Strömung mit wellenförmigen Stromlinien in den Tälern dieser Wellen instabil ist gegenüber Störungen vom Typ der Taylor-Görtlerschen Längswirbel, falls nur die Stromlinienkrümmung genügend groß ist. Die dieser kritischen Krümmung entsprechende Wellen-amplitude lag bei der wellenförmig gestörten Blasiusschen Plattenströmung in der Größenordnung von 10^–4 Grenzschichtdicken.Besonderes Interesse hat diese Fragestellung im Hinblick auf den laminar-turbulenten Umschlag. Nachdem W. Tollmien [7] die Instabilität der laminaren Plattenströmung gegenüber wellenförmigen Störungen oberhalb einer gewissen Reynoldsschen Zahl gezeigt und dann G. B. Schubauer und H. K. Skramstad [8] diese Wellen als Anfangsstufe des laminar-turbulenten Umschlags erkannt hatten, ist die Frage des weiteren Übergangs in die turbulente Strömung viel diskutiert worden, ohne jedoch bisher in befriedigender Weise beantwortet zu sein.Nach den Resultaten dieser Arbeit liegt die Vermutung nahe, daß die wellen-förmig gestörte, aber immer noch ebene laminare Strömung auf Grund ihrer Instabilität gegenüber den wirbelartigen Sekundärstörungen in eine dreidimensionale laminare Strömung übergeht und der Umschlag in die dreidimensionale turbulente Strömung schließlich als Folge von Instabilitäten dritter und höherer Ordnung erfolgt. Eine letzte Entscheidung hierüber kann nur das Experiment liefern. Es wird deshalb besonders auf die erst kürzlich veröffentlichten neuen experimentellen Untersuchungen von G. B. Schubauer [24] hingewiesen, die mit unserer Vermutung in einem für den gegenwärtigen Stand von Theorie und Experiment durchaus befriedigenden Einklang stehen. Vorgelegt von H. Görtler     

Strömungen mit konstantem Geschwindigkeitsgradienten und die Bewegung von darin suspendierten Teilchen

Zusammenfassung Im Rahmen einer statistischen Rheologie der Suspensionen, Emulsionen und Lösungen ist es von Bedeutung, einen Überblick über die Gesamtmenge der Strömungen mit konstantem Geschwindigkeitsgradienten zu gewinnen. Deshalb werden die Lösungen der Differentialgleichung solcher Strömungen angegeben und diskutiert, insbesondere bezüglich des Einflusses des Deformations- und des Rotationsanteils des Geschwindigkeitsgradienten. Im Anschluß daran wird die Bewegung von starren Teilchen in diesen Strömungen analysiert. Sowohl die Strömungsformen selbst als auch die Bewegungsformen der suspendierten Teilchen lassen sich in zwei große Klassen einteilen: Bei überwiegendem Deformationseinfluß haben wir hyperbolisch-parabolische Strömungen sowie eine Einstellung der Teilchen in feste Richtungen, bei überwiegendem Rotationseinfluß dagegen elliptisch-spiralige Strömungen sowie eine ungleichmäßige Umlaufbewegung der Teilchen. Der Umschlag von der einen Bewegungsart in die andere ist hier indessen nicht nur von der Strömungsform, sondern ebenso von der Gestalt der Teilchen abhängig; der Deformationsanteil kommt um so stärker zur Geltung, je größer die Formanisotropie der Teilchen ist.     

Turbulente Strömungen in divergenten Kanälen

Zusammenfassung Die theoretische Behandlung turbulenter Grenzschichtströmungen mit mittlerem und starkem Druckanstieg erfordert die Berücksichtigung des Einflusses des Druckgradienten bis zur Wand hin. Unter Zugrundelegung des Prandtlschen Schubspannungsansatzes wird als Verallgemeinerung des logarithmischen Geschwindigkeitsgesetzes ein Wandgesetz abgeleitet, das diesem Einfluß in Wandnähe Rechnung trägt. Die empirischen Koeffizienten des Wandgesetzes sind die beiden empirischen Koeffizienten des logarithmischen Gesetzes und vom Druckgradienten der Strömung unabhängig. Das Wandgesetz kann unter Umständen dazu dienen, die Wandschubspannung aus der experimentellen Geschwindigkeitsverteilung in Wandnähe zu bestimmen.Der theoretischen Untersuchung turbulenter Strömungen in ebenen Diffusoren werden die bekannten Messungen Nikuradses zugrunde gelegt. Es zeigt sich, daß bereits mittels des Wandgesetzes Druckgradient, Wandschubspannung und Geschwindigkeitsverteilung für mittleren Druckanstieg in brauchbarer Näherung berechnet werden können. Methodisch wird dabei so vorgegangen, daß die Geschwindigkeitsverteilung über der gesamten Breite der Kanalströmung durch das Wandgesetz approximiert wird. Wandschubspannung und Druckgradient werden dann mittels des Impulssatzes und einer äußeren Randbedingung bestimmt.Eine brauchbare Wiedergabe der experimentellen Werte auch für starken Druckanstieg erzielt man, wenn man als approximierende Funktion eine analytische Weiterentwicklung des Wandgesetzes ins Innere der Grenzschichtströmung hinein benutzt. Diese analytische Weiterentwicklung ist charakterisiert durch Berücksichtigung der Trägheitskräfte in erster Näherung und Berücksichtigung des Vorganges der turbulenten Mischung in zweiter Näherung, d. h. Einbeziehung des zweiten Gliedes der Taylorentwicklung der Mischungswegfunktion in die Rechnung. Der dabei auftretende dritte empirische Koeffizient erweist sich als vom Druckgradienten unabhängig und ist darüber hinaus als universelle Konstante anzusehen.     

Non-steady two-phase stratified laminar flow of polymeric liquids in pipes

Summary A numerical method of solution is given for the non-steady two-phase stratified. laminar flow of various non-Newtonian fluids in pipes. In particular, the Ellis fluid model is chosen to illustrate inelastic shear thinning effects. It is shown that the method can be applied to the non-steady multi-phase stratified laminar flow of some non-Newtonian fluid models. An Oldroyd six constant model is used to illustrate the fully elastic flow. It is found that the presence of two phases of the same kind of immiscible liquids tends to suppress the typically viscoelastic response to time dependent situations that the same liquids would exhibit as a single phase. Overshoot of flow rates is reduced, if not completely eliminated in both the generation and decay of steady flows. In two-phase pulsatile flows, the flow enhancement is less marked and the time dependence of the individual flow rates can be significantly different. Theoretical results are used to interpret some of the flow instabilities encountered during the capillary flow of polymeric liquids.

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Zusammenfassung Es wird eine numerische Methode für die nichtstationäre geschichtete Zwei-Phasen-Strömung verschiedener nicht-newtonscher Flüssigkeiten durch Rohre angegeben, wobei zur Veranschaulichung unelastischer Scherentzähungseffekte speziell das Ellis-Modell ausgewählt wird. Dabei zeigt sich, daß diese Methode für die Anwendung auf nicht-stationäre Mehrphasenströmungen geschichteter laminarer Strömungen nicht-newtonscher Flüssigkeiten geeignet ist. Zur Veranschaulichung des vollständigen elastischen Fließens wird ein Oldroyd-Modell mit sechs Konstanten gewählt. Es wird gezeigt, daß die Anwesenheit von zwei Phasen nicht-mischbarer Flüssigkeiten die Unterdrückung des typisch viskoelastischen Verhaltens unter zeitabhängigen Bedingungen, wie es beim Vorhandensein einer einzigen Phase beobachtet wird, zur Folge hat. Das Überschwingen der Fließgeschwindigkeit wird sowohl beim Anfahren als auch beim Anhalten einer stationären Strömung verringert, wenn nicht gar völlig verhindert. In pulsierenden Zwei-Phasen-Strömungen ist die Geschwindigkeitserhöhung weniger ausgeprägt, und die Zeitabhängigkeit der beiden Fließgeschwindigkeiten kann wesentlich verschieden sein. Die theoretischen Ergebnisse werden dazu verwendet, einige bei der Durchströmung von Polymerflüssigkeiten durch Kapillaren beobachtete Fließinstabilitäten zu interpretieren.

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With 15 figures     

Turbulente Vermischung ebener Heißluftstrahlen

Zusammenfassung Auf der Grundlage eines vom Verfasser in einer vorangegangenen Arbeit aufgestellten Gleichungssystem für turbulente Strömungen von Gasen stark veränderlicher Dichte wird die turbulente Vermischung ebener Heißluftstrahlen, die zunächst durch eine Scheidewand getrennt sind und sich dann in einem Winkelraum mischen, berechnet. Die Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems erfolgt mittels eines Iterationsformalismus. Berechnet werden die Verteilungen der Geschwindigkeit und der Temperatur für eine Reihe von Parametern der Geschwindigkeits- und Temperaturdifferenz. Es resultiert, daß der Winkelraum der Mischung sich mit wachsender Temperaturdifferenz zum heißeren Strahl hin dreht. Weiterhin ergibt sich, daß der Zustrom zum Mischungsraum sich beim Überschreiten der Schwelle gleicher Impulsströmungen beider Strahlen in einen Abstrom wandelt. Der Vergleich mit vorliegenden Messungen an Heißluftstrahlen in bewegter Luft ergibt für die Temperaturverteilungen gute Übereinstimmung sowohl hinsichtlich der Mischbreite wie auch des Verhältnisses von Außen- zu Innenwinkel. Hinsichtlich der letztgenannten Charakteristik ist für die Geschwindigkeitsverteilungen befriedigende Übereinstimmung erst bei Einführung eines effektiven Düsenradius, der dem Impulsverlust der Strömung an der Düsenwandung Rechnung trägt, zu erzielen.     

Einige Bemerkungen zum Fließverhalten elasto-viskoser Flüssigkeiten in stationären Schichtströmungen

Zusammenfassung Es wird untersucht, auf welche Weise die rheologischen Eigenschaften elasto-viskoser Flüssigkeiten bei verschiedenen Strömungsformen der Klasse der stationären Schichtströmungen zutage treten und evtl. einer Messung zugänglich gemacht werden können. Behandelt werden im einzelnen die Scherströmung zwischen zwei ebenen parallelen Platten, die Torsionsströmung im Kegel-Platte-, im Parallelplatten-Viskosimeter und inReiners Zentripetal-Vakuum-Pumpe, dieCouette-Strömung zwischen zwei koaxialen Zylindern und schließlich die allgemeine geradlinige Strömung unter konstantem Druckgefälle. Dabei werden vor allem Kriterien für die verschiedenen Quereffekte abgeleitet. Zum Schluß werden die Ergebnisse in Bezug auf einige experimentelle und theoretische Befunde diskutiert. Dabei geht es um die Frage, ob elasto-viskose Flüssigkeiten existieren, deren Normalspannungs-Verhalten durch zwei unabhängige Funktionen bestimmt ist, oder ob allen realen Flüssigkeiten nur eine einzige derartige Funktion zuzuordnen ist.Herrn Dr.W. Meskat danke ich für die Förderung der vorliegenden Untersuchung.     

Turbulente Reibungsschichten mit Sekundärströmung

Zusammenfassung Es werden Messungen mit einer Versuchsanordnung beschrieben, die zur Untersuchung der Reibungsschicht an einer ebenen Wand dient, längs der eine Strömung vorhanden ist, deren Potentialstromlinien in zur Wand parallelen Ebenen gekrümmt sind. Entsprechend der auf Reibungsschichten in ebener Strömung häufig angewandten Gleichung, die man dort durch Anwendung des Impulssatzes zu gewinnen pflegt, wird eine Verallgemeinerung hergeleitet, die für Reibungsschichten mit räumlicher Strömung gilt. Mit Hilfe dieser Gleichung werden die Wandschubspannungen berechnet.Herrn Prof.Prandtl habe ich für die Veranlassung zu dieser Arbeit zu danken und der Notgemeinschaft der Deutschen Wissenschaft dafür, daß sie sie ermöglicht hat.     

Einige Beispiele zur Stabilitätstheorie von Strömungen an konkaven und erwärmten Wänden

Zusammenfassung In dieser Arbeit wird die von H. Görtler aufgezeigte Analogie zwischen der Instabilität laminarer Strömungen an konkaven und erwärmten Wänden gegenüber longitudinalen Wirbeln untersucht. Im Rahmen einer linearisierten Störungstheorie und bei Beschränkung auf kleine Wandkrümmungen und kleine Temperaturdifferenzen erweisen sich die Stabilitätstheorie der Strömungen an konkaven Wänden und die Theorie der thermokonvektiven Stabilität als völlig analoge Fragestellungen. Konkave Krümmung bzw. Wanderwärmung wirken destabilisierend, konvexe Krümmung bzw. Wandkühlung dagegen stabilisierend; dabei kann die stabilisierende Wirkung des einen Effekts durch die destabilisierende Wirkung des anderen überboten werden.Die Analogieaussage wird unter geringen Einschränkungen in Strenge bewiesen. Ferner werden numerische Ergebnisse für den Fall der Strömung zwischen zwei koaxialen, rotierenden Zylindern, der Strömung in einem gekrümmten Kanal und der Grenzschichtströmung an einer konkaven Wand mitgeteilt. Zum Schluß wird die Strömung über eine gegen die Horizontale geneigte und erwärmte Platte untersucht. Die theoretischen Ergebnisse über die instabilste Wirbelanordnung werden mit den experimentellen Werten von T. Terada verglichen. Es ergibt sich für nicht zu dicke Flüssigkeitsschichten gute Übereinstimmung.Aus dem Institut für angewandte Mathematik der Universität Freiburg und dem Institut für angewandte Mathematik und Mechanik der DVL an der Universität Freiburg. Diese Untersuchung wurde vom Wirtschaftsministerium des Landes Baden/Württemberg gefördert.     

Fast gefrorene Strömung eines Gases mit thermodynamischer Relaxation

Übersicht Es wird die durch eine beliebige Bewegung eines Kolbens in einem zylindrischen Rohr verursachte Strömung eines Gases untersucht, in dem beliebige Relaxationsprozesse ablaufen können. Die Strömung wird für Zeiten, die klein gegen die Relaxationszeiten sind, durch eine Entwicklung nach der Damköhlerzahl beschrieben. Die Strömungsgrößen 1. Ordnung werden analytisch angegeben und für zwei Spezialfälle diskutiert. Der erste Fall ist ein Beispiel dafür, daß die Relaxation die Entstehung eines Verdichtungsstoßes beschleunigen kann. Im zweiten Fall wird der Einfluß der Relaxation auf ein kurzes Signal untersucht.

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Summary The one-dimensional flow induced by an arbitrary motion of a piston into a gas with arbitrary internal rate processes is studied. For times, which are smaller than the relaxation times, the flow is described by an asymptotic expansion in the Damköhler-number. The first order quantities are given analytically and discussed in two special cases. The first case is an example for relaxation to favour the formation of a shock wave. In the second case the influence of relaxation on a rapid pulse is investigated.

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Herrn Professor Dr.-Ing. Karl Klotter zur Vollendung seines 70. Lebensjahres gewidmet.     

Die Einströmung einer idealen Flüssigkeit in eine kreisförmige Bordasche Mündung

Zusammenfassung Für die Einströmung einer idealen Flüssigkeit in ein kreisförmiges Rohr mit Strahlablösung (Bordasche Mündung) wird eine numerische Näherungslösung angegeben. Hierzu wird für einen probeweise angenommenen Strahlrand die vollständige Strömung berechnet durch numerische Integration der Differentialgleichung der Stromfunktion mit dem Liebmannschen Mittelungsverfahren. Nach den Abweichungen der Geschwindigkeit am angenommenen Strahlrand von dem geforderten konstanten Wert wird dann die Form des Randes verbessert. Schließlich wird noch eine Verbesserung auf graphischem Wege erreicht. Die Ergebnisse werden dann mit denen der entsprechenden ebenen Aufgabe verglichen.     

Secondary flow induced by the rotation of a wavy rod

Summary The flow induced by the rotation of a wavy rod is studied using the method of domain perturbations. Of particular interest is the motion in axial planes which enters at second order. These secondary motions are sensitive to changes in the geometric and material parameters. For some values of the parameters the flow is entirely dominated by inertia; for other values, by normal stresses. For still other values of the parameters the competition between inertia and normal stresses causes the flow field to split into two distinct regions with normal stresses dominant near the rod and inertia dominant far away from the rod. The problem treated may be regarded as a model for the flow induced by agitators and stirring rods. The predictions of the analysis are in qualitative agreement with the experiments ofWhite, Chankraiphon andIde (6).

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Zusammenfassung Die Strömung, die durch Rotation eines welligen Stabes verursacht wird, wird mit Hilfe der Domänen-Störungsmethode untersucht. Von besonderem Interesse ist dabei die Strömung in axialen Ebenen, die in zweiter Ordnung auftritt. Diese Sekundärströmungen reagieren empfindlich auf eine Änderung der geometrischen und der Materialparameter. Für bestimmte Werte dieser Parameter ist die Strömung ausschließlich durch Trägheitseffekte bestimmt, während für andere Werte Normalspannungen ausschlaggebend sind. Schließlich führt in einem bestimmten Parameterbereich der Wettbewerb zwischen Trägheit und Normalspannungen zu einer Aufspaltung des Strömungsfeldes in zwei verschiedene Gebiete, wobei die Normalspannungen in Stabnähe und die Trägheitseffekte in großer Entfernung vom Stab vorherrschen. Das hier behandelte Problem kann als Modell für Strömungsfelder betrachtet werden, die durch Rührwerke und Rührstäbe hervorgerufen werden. Die analytischen Voraussagen sind in qualitativer Übereinstimmung mit Experimenten vonWhite, Chankraiphon andIde (6).

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With 4 figures and 1 table     

Wandnahe Geschwindigkeitsverteilung turbulenter Grenzschichtströmungen mit Druckanstieg

Zusammenfassung Unter Vernachlässigung der Trägheitsglieder wird aus der Differentialgleichung turbulenter Grenzschichtströmungen bei Zugrundelegung desPrandtlschen Mischungswegansatzes, wobei der Mischungsweg dem Wandabstand proportional gesetzt wird, die wandnahe Geschwindigkeitsverteilung für Strömungen mit Druckanstieg bis einschließlich der Ablösung in geschlossener analytischer Form approximativ berechnet. Die Fehlerabschätzung, welche auf die Approximation eines elliptischen Integrals hinauskommt, ergibt einen für technische Strömungen vernachlässigbaren Fehler. Dem als Verallgemeinerung des logarithmischen Gesetzes erhaltenen Wandgesetz kann bei Einführung einer verallgemeinerten Schubspannungsgeschwindigkeit eine die universelle Form des logarithmischen Gesetzes enthaltende Formulierung gegeben werden. Die empirischen Koeffizienten des Wandgesetzes sind die des logarithmischen Gesetzes. Der Vergleich mit denNikuradseschen Messungen divergenter Kanalströmungen ergibt befriedigende Übereinstimmung.     

Das Verhalten paralleler Luftstrahlen

Zusammenfassung Zur Aufklärung der in der Strömung hinter Beruhigungsgittern auftretenden Unregelmäßigkeiten wurde die Strömung hinter drei Gittern mit verschiedener Maschenweite untersucht. Um in dieser besonders stark turbulenten Strömung brauchbare Geschwindigkeitsmessungen zu erzielen, wurde eine Sonde entwickelt, die sich an einer Freistrahl-Mischzone eichen ließ. Um den statischen Druck in einer Strömung zu messen, deren Turbulenz beträchtlich stärker ist als die in einer Freistrahl-Mischzone auftretende Turbulenz, wurden mit Hilfe von Impulssatz und Kontinuität Eichkurven zur Bestimmung des statischen Druckes, des Gesamtdruckes und des Staudruckes in Abhängigkeit von einem Turbulenzmaß hergeleitet, das die Sonde nebenher gibt. Für jeden Meßpunkt sind dazu drei Druckablesungen unter verschiedenen Drehwinkeln der Sonde erforderlich.Bei den untersuchten Gittern ergab sich, daß die beobachtete Instabilität um so leichter auftritt, je enger diese bei gleichbleibender Breite der Gitterstäbe gebaut sind.Theoretisch wurde diese Erscheinung durch Anwendung der hydrodynamischen Bewegungsgleichungen, die sich bei Mittelung der Geschwindigkeiten über die einzelnen Strahlen ergeben, verfolgt. Das Ergebnis bestätigte die bei Gitter II beobachtete Instabilität und zeigte, daß auch die Strömung von Gitter I wahrscheinlich einen instabilen Bereich hat, der wohl bei größerer Verschiebung eines Gitterstabes zutage getreten wäre.Die Versuche wurden am Kaiser Wilhelm-Institut für Strömungsforschung zu Göttingen ausgeführt.     

The velocity slip of polar fluids

Summary The theory of polar fluids, briefly reviewed and shown to be identical to the theory of micropolar fluids, is applied to five different viscometric flows and to the flow around a slowly rotating sphere. Comparing theoretical predictions with experimental results for the viscometric flows it is demonstrated that the theory may serve as a model for the flow of suspensions if a velocity slip along a solid wall is accounted for.In the important limit, in which the length scale of the microstructure is much less than a characteristic geometric length theNavier-Stokes equations subject to a velocity slip boundary condition are all one has to work with for the evaluation of the apparent fluidity; a positive slip coefficient guarantees the sigma phenomenon to result. For other flows one may also adopt this procedure as long as one is interested only in average macroscopic quantities. In this way it turns out that the classical expressions for the hydrodynamic force and torque on a slowly translating and rotating sphere may be employed if the geometric radius is replaced by an apparent one.But even for the evaluation of local quantities, where the full system of equations has to be used, one needs a velocity slip boundary condition. Only then does a qualitative agreement with the experimentally determined details of the flow field result. It is demonstrated that such a requirement is a natural and physically expected supposition for any continuum approximation of a fluid with internal structures.

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Zusammenfassung Die Theorie der polaren Flüssigkeit, welche kurz referiert und für die gezeigt wird, daß sie identisch ist mit der Theorie der mikropolaren Flüssigkeit, wird auf 5 stationäre Schichtenströmungen sowie auf die Strömung um eine langsam rotierende Kugel angewendet. Durch Vergleich von theoretischen Resultaten mit experimentellen Ergebnissen für Schichtenströmungen wird gezeigt, daß die Theorie durchaus als Modell für die Strömung von Suspensionen geeignet ist, vorausgesetzt, daß eine Geschwindigkeitsgleitung entlang einer Wand mitberücksichtigt wird.In dem entscheidenden Grenzfall, in dem die Größe der Mikrostruktur klein ist im Vergleich zu charakteristischen Makrodimensionen, hat man zur Bestimmung der scheinbaren Fluidität nur dieNavier-Stokes-Gleichungen zu lösen, allerdings unter der Randbedingung einer Geschwindigkeitsgleitung; ein positiver Gleitungskoeffizient führt dann zum Sigma-Effekt. Auch auf andere Strömungen ist diese Methode anwendbar, solange man sich nur für irgendwelche Mittelwerte interessiert. Auf diese Weise zeigt sich, daß die klassischen Ausdrücke für die hydrodynamische Kraft und das Drehmoment auf eine sich langsam bewegende starre Kugel ihre Gültigkeit behalten, wenn man den geometrischen Radius durch einen scheinbaren ersetzt.Aber sogar zur Berechnung lokaler Größen, für die man das vollständige Gleichungssystem benötigt, muß eine Geschwindigkeitsgleitung an der Wand angenommen werden. Denn nur dann erhält man eine qualitative Übereinstimmung mit dem experimentell bestimmten Strömungsprofil. Es wird gezeigt, daß eine derartige Annahme für jede Approximation einer Flüssigkeit mit innerer Struktur durch ein Kontinuum physikalisch zu erwarten ist.

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With 2 figures     

Die ebene Strömung um ein geknicktes Profil mit Spalt

Zusammenfassung Die Strömung um ein geknicktes Profil mit Spalt wird mit Hilfe der konformen Abbildung berechnet. Zuerst wird die Abbildungsfunktion der geknickten Platte mit Spalt so dargestellt, daß die numerische Auswertung für kleine Spalte besonders einfach wird. Durch Hinzunahme weiterer Abbildungen kann man schrittweise von der Strömung um Skelette übergehen zur Strömung um dünne Flosse und profiliertes Ruder und um Flosse und Ruder mit Wölbung und Dicke. Für alle diese Kombinationen wurden die Druckverteilungen berechnet. Es zeigt sich, daß die Rechnungen für Skelette schon recht gute Werte für die Gesamtkräfte liefern. Jeder Schritt in dem Annäherungsprozeß an Formen, wie sie der Wirklichkeit entsprechen, wurde wenn möglich einer entsprechenden Messung gegenübergestellt, um so den Einfluß der Form auf die Druckverteilung klar erkennen zu können. Zum Schluß ergibt sich, daß die Potentialtheorie alle wesentlichen Eigenschaften der Strömung um das geknickte Profil mit Spalt gut wiedergibt.     

Berechnung der Strömungsverluste von ungestaffelten ebenen Schaufelgittern

Zusammenfassung Zur Berechnung der Gitterverluste eines ebenen ungestaffelten Schaufelgitters aus vorgegebenen Profilen ist ein Rechenverfahren im Anschluß an eine Arbeit vonH. Schlichting undN. Scholz entwickelt worden. Als erster Schritt wird dabei mit Hilfe der Singularitätenmethode die Geschwindigkeitsverteilung an der Profilkontur sowie Zu- und Abströmrichtung in reibungsloser Strömung ermittelt. Mit den Ergebnissen der folgenden Grenzschichtrechnung werden die Gitterverluste sowie die Änderung von Zu- und Abströmrichtung durch die Reibung berechnet.Um einen Einblick in die Abhängigkeit der Strömungsparameter von den wesentlichsten geometrischen Parametern Profildicke und -wölbung sowie Gitterteilung zu erhalten (der Schaufelwinkel ist beim ungestaffelten Gitter unverändert _s =90°), sind die in Abb. 6 dargestellten Gitteranordnungen systematisch gerechnet worden. Aus den Ergebnissen sind diejenigen Anordnungen ermittelt worden, die bei einer vorgegebenen Strömungsumlenkung durch das Gitter die geringsten Verluste verursachen. Beschreibt man die vorgegebene Strömungsumlenkung durch die Gitterumlenkung (Änderung der Umfangskomponente der Abströmrichtung gegenüber der der Zuströmrichtung, mit der Durchsatzgeschwindigkeit dimensionslos gemacht), dann ergibt sich bei jedem Profil für eine gegebene Gitterumlenkung eine günstigste Teilung, bei der die Verluste einen Minimalwert annehmen. Diese Optimalwerte sind für alle gerechneten Profile in Abb. 18 zusammengefaßt. Mit diesen Optimalkurven lassen sich dann auch die Profile ermitteln, die ihrerseits für eine vorgegebene Aufgabe am günstigsten sind. Bei symmetrischen Profilen verursacht das 10% dicke Profil bei allen Gitterumlenkungen die geringsten Verluste. Bei gewölbten Profilen ist die günstigste Wölbung von der Gitterumlenkung abhängig, und zwar wächst die günstigste Wölbung mit der Gitterumlenkung.Gekürzte Fassung der Braunschweiger Dissertation 1953; Hauptberichter: Prof. Dr.H. Schlichting; Mitberichter: Prof. Dr.C. Pfleiderer. Auszugsweise vorgetragen auf der Tagung des VDI-Fachausschusses für Strömungstechnik in Zürich, 9. bis 11. Juni 1954. Diese Untersuchungen wurden durch die Deutsche Forschungsgemeinschaft unterstützt.