阿基米德螺线的性质与应用

阿基米德螺线ρ=ρ_0 αθ又称为等速螺线,它的特殊形式是过极点的螺线ρ=αθ。其主要性质有: 1.若点(ρ,θ)在曲线ρ=ρ_0十αθ上,则点(—ρ,—θ)在曲线ρ=—ρ_0 αθ上。这两支曲线关于π/2线对称。特别是(图1)当ρ_0=0时,阿基米德螺线ρ=αθ可以画出关于π/3线的对     

一个值得推敲的教参解答

题目求证:两条平行线和同一个平面所成的角相等〔高中《立体几何》全一册(必修)P3l第9题〕。《教学参考书》解答如下: 已知:a∥b,a ∩α=A_1,b∩α=B_1,∠θ_1、∠θ_2分别是a、b与a所成的角; 求证:∠θ_1=∠θ_2。     

从圆锥曲线的一个命题谈起

在一些平面解析几何的教科书和习题集里,常有关于圆锥曲线的这样一个命题:过圆锥曲线C的焦点F,作该圆锥曲线C的弦PQ,则: 1/FP+1/FQ=2/ep(e是圆锥曲线C的离心率,p为焦参数。) 常看到这样的证法:(简称证法(1)) 以焦点F为极点,极轴垂直于准线,且以准线到焦点的方向为其正向,建立极坐标系,则圆锥曲线方程为: ρ=ep/1-ecosθ如图(1),设P点的坐标为(ρ_1,θ_1),则Q点的坐标为(ρ_2,π+θ_1)于是     

圆锥曲线焦点弦的一个性质

笔者在利用《几何画板》探索圆锥曲线的性质时 ,发现圆锥曲线的焦点弦和准线间存在一个有趣性质 ,在此给出 ,共大家分享 .我们先看一个引理 :引理　在极坐标系中 ,设A(ρ1,θ1) ,B(ρ2 ,θ2 )是圆锥曲线 ρ=ep1 -ecosθ 上任意两点 ,则直线AB的方程为 :ρ[cos(θ1+θ22 -θ) -ecosθ1-θ22 cosθ]=epcosθ1-θ22 .证明　在极坐标系中 ,若A(ρ1,θ1) ,B(ρ2 ,θ2 ) ,则直线AB的方程是 :sin(θ1-θ2 )ρ =sin(θ1-θ)ρ2+sin(θ -θ2 )ρ1( )因为A(ρ1,θ1)、B(ρ2 ,θ2 )在圆锥曲线 ρ =ep1 -ecosθ上 ,所以 ρ1=ep1 -ecosθ1,ρ2 =ep1 -…     

C-代数交叉积K(l~2(Z_ ~2))×_(αθ)Z的协变同构(英)

本文研究C-代数交叉积K（l~2（Z_ ~2)）×_(αθ)Z的协变同构，这里K（l~2（Z_ ~2)）×_(αθ)Z为l2Z( 2)上的紧算子理想、给定0≤θ1，θ2；ρ1，ρ2＜1，假设K（l~2（Z_ ~2)）×_(αθ)Z和K（l~2（Z_ ~2)）×_(αθ)Z为协变同构．本文证明了若1，θ1，Z2关于Z线性独立，则通过一个置换，有θ1＝ρ1和θ2＝ρ2，另一方面，若1，θ1，θ2关于Z线性相关，则在任何情况下，本文举例说明上述关于θ和ρ的关系不一定成立。     

递归算术公理的简化

本文,我们把递归算术系统简化为下列三个系统:A_0V_2、A_0V_1I_2θ_2及A_0V_1I_2θ_2~*,此处A_0为存在性公理,而V_n、I_n、θ_n、θ_n~*为唯一性规则,其定义如下:A_0是:给了H(x,y),存在一函数F(u,x),使得规则V_n是:此处是指“可推导出”,x为约束变元,它在前件中不能进行代入,I_n是V_n当H是么函数I(I(x)=x)时的特例,θ_n是V_n当H为θ(θ(x)=0)时的特例,θ_n~*又是θ_n当F(u_1,…,u_n,0)=0时的特例。     

关于亚纯函数的奇异方向

本文讨论了无穷级亚纯函数结合导数涉及重值的奇异方向,得出如下结果:定理 设f(z)为|z|<∞中的亚纯函数,其级ρ(r)为熊庆来无穷级,则必存在从原点发出的半直线 B:arg z=θ_0(0≤θ_0<2π)具有如下性质:对于任意的正整数 l,p,k;任意的正数 ε 及一切有穷复数 α,β(β≠0),若((2+1/k)(k+2)-2)/l+((2+2/k)(k+1))/p<1,则有(?)(log{(?)_(l-1)(r,θ_0,ε,f=α)+(?)_(p-1)(r,θ_0,ε,f~((k))=β))/(ρ(r)logr)=1     

繁与简在于解法的选择

不久前,学校进行了一次考试,普遍认为最后一题过繁。原题如下: 设扇形AOB的半径为a,中心角为θ(锐角)。由A向半径OB引垂线AB_1,由垂足B_1引弦AB的平行钱交OA于A_1.再由A_l引半径OB的垂线AB_2,再由B_2引弦AB的平行线交OA于A_2,这样无限地反复地继续作下去。所得△ABB_1,△A_1B_1B_2,△A_nB_nB_(n+L)…的面积分别为S_1,S_2,S_3,…,s~n,…求所有这些三角形面积的和。     

3-李代数不可分解的T_θ~*-扩张

主要研究特征为零的域F上3-李代数不可分解的T_θ~*-扩张的结构.证明了如果3-李代数A具有3-上循环θ使得A的T_θ~*-扩张T_θ~*A是不可分解的度量3-李代数,则有:1)可以选择3-李代数A_1及3-上循环θ_1使得T_θ~*A=T_θ~*A_1,dimZ(A_1)≤dimZ(A),dim([A_1,A_1,A_1]A_1∩Z(A_1))dim([A,A,A]_A∩Z(A));2)存在3-李代数V及3-上循环θ使得T_θ~*A=T_θ~*V,Z(V)■[V,V,V]v.     

在极坐标系下求点到直线的距离的简化

在极坐标系中求点到直线的距离时 ,通常采用的方法是将极坐标方程化为直角坐标系下的方程 ,点化为直角坐标系下点的坐标后再求解 ,而此法计算较繁 .本文介绍一简单方法 .首先回归到直线在极坐标系下一般方程的求法 .图 1　例 1图例 1　在极坐标系中 ,求倾斜角为α ,且过定点(ρ0 ,θ0 )的直线ｌ的方程 .解　如图 1,过极点作ｌ的垂线 ,及与ｌ平行的直线ｌ1,在直线ｌ上任取一点 (ρ ,θ) ,有 ρ·ｓｉｎ(θ-α) =ρ0 ·ｓｉｎ(θ0 -α) ,则直线ｌ的方程为 ρ·ｓｉｎ(θ-α) =ρ0 ·ｓｉｎ(θ0 -α) .注意　若设 ρ·ｓｉｎ(θ -α) =ρ0 ·ｓ…     

函数极大值的几何解释

高中平面三角复习題中的52题是一道物理题。現在,我们把它改成数学問題来討論。设函数x=a_1sin(y φ_1) a_2sin(y φ_2),証其极大值为(a_1~2 a_2~2 2a_1a_2cos(φ_1φ_1))~(1/2)其中a_1,a_2为任意实数,φ_1,φ_2为定角,y为变角。这个极大式是很重要的,其他許多求极大植的題目都可作为此式特例,但此题的证法是相当困难的。为此,笔者想出了一种较易理解的几何方法直观証明。取两条互相平分于O的线段A_1A_2,B_1B_2,使A_1O=A_2O=|a_1|,B_1O=B_2O=|a_2|;(?)==φ_1φ_2(为討論簡单起見,我們总可以设O<φ_1--φ_2<180°;→表順时方向,下同)。再取过O之直线OC,使(?)=φ_2。設OM是繞O之轉动直綫,則(?)为变角y。 (ⅰ)当a_1=|a_1|,a_2=|a_2|时,由A_1,B_1向OM作垂线。则当OM在OB_1→OA_1或OB_2→个OA_2时,两垂綫之和x=(_-~ 0|a_1|sin(y φ_1)(_-~ )|a_2|sin(y     

关于亚纯函数的Hayman方向

定义1 设 f(z)为开平面上ρ(0≤ρ<+∞)级亚纯函数。B:argz=θ_0(0≤θ_0<2π)为原点出发的直线。若对任意正整数 l,任意正数ε,及任意两个有穷复数 a,b(b≠0)(?)(log+{n(r,θ,ε,f=a)+n(r,θ_0,ε,f~(l)=b)})/log     

平面几何证明的轨迹法例说

轨迹,作为平面几何的一部分,其解题思想、方法与其它内容多有不同。轨迹问题的解决常离不开几何证明,这是广为人知的。但是,轨迹用于几何证明,却并不多见。本文中的轨迹法就是有关这方面的探讨。应用轨迹法解题时,首先要明确与几何证明有关的轨迹,然后再从适当的轨迹中选出特殊元素,给出待证问题的证明。下面我们结合例子作些说明。例1 过△ABC的边BC、CA、AB上的点A_1、B_1、C_1引其垂线。这些垂线相交于一点的充要条件是: A_1B~2 B_1C~2 c_1A~2=A_1C~2 C_1B~2 B_1A~2 分析:由边AB的垂线,自然联想到“满足XA~2-XB~2=k的点X的轨迹是已知线段     

注意椭圆参数方程{x=acosθ y=bsinθ}中参数θ的意义

题目 A、B为椭圆b~2x~2+a~2y~2=a~2b~2(a>b>0)上的两点,O为中心,OA⊥OB;求1/OA+1/OB的南的最大值和最小值。错解化椭圆的普通方程为参数方程x=acosθ y=bsinθ (θ为参数) 设A、B两点的坐标分别(acosθ_1,bs nθ_1),(cosθ_2,bsinθ_2)。由OA⊥OB得θ_2+θ_1±π/2,则B点坐标为(±asinθ_1,bcosθ_1)。可证 1/(OA)~2+1/(OB)~2=(a~2+b~2)/a~2b~2。则有 (1/OA)+(1/OP)~2=(a~2+b~2)/(a~2b~2)+2/(OA·OB) =(a~2+b~2)/(a~2b~2)+2/(a~2b~2+(a~2-b~2)/2))~2sn~2θ_1     

关于抛物线的十个最值问题

本文用初等方法讨论了与抛物线有关的若干几何最值问题 ,得到了十个有趣的结论 .为方便读者摘用 ,现用定理形式叙述如下 :定理 1　抛物线的所有焦半径中 ,以过顶点的焦半径为最短 .证明　不妨设抛物线的极坐标方程为 ρ=ｐ1 -ｃｏｓθ,则显然有 ρ≥ ｐ2 ,其中等号成立当且仅当θ=2ｋπ+π(ｋ∈Ｚ)即焦半径通过抛物线的顶点时 .定理 2　抛物线的过焦点的所有弦中 ,以抛物线的通径为最短 .证明　设抛物线极坐标方程为 ρ =ｐ1 -ｃｏｓθ,焦点弦为ＡＢ ,且设Ａ(ρ1 ,θ) ,Ｂ(ρ2 ,θ +π) ,则有｜ＡＢ｜=ρ1 +ρ2 =ｐ1 -ｃｏｓθ+ ｐ1 -ｃｏｓ…     

一道立几习题的应用

六年制重点中学高中数学教材第二册第100页总复习参考题第3题: 如图,AB和平面a所成的角是θ_1,AC在平面a内,AC和AB的射影AB′成角θ_2,设∠BAC=θ,求证:cosθ_1cosθ_2=cosθ。 (I) 该命题可以看成三垂线定理的推广,在立体几何中有广泛的应用。一为了突出图形的特点,可以把上述命题改写成如下形式: 从直二面角棱上一点在两个面内任引两条射线,则射线与棱的夹角的余弦之积等于这两条射线夹角的余弦。用它来解决一类折叠成直二面角的立几题往往十分简捷。     

圆锥曲线的一个性质

由文 [1]可得圆锥曲线的一个性质 .定理　过圆锥曲线的焦点F的一条直线与这曲线相交于A ,B两点 ,M为F相应准线上一点 .则直线AM ,FM ,BM的斜率成等差数列 .证　对双曲线 x2a2 - y2b2 =1(a >0 ,b >0 ) ,记点A ,F ,M的坐标分别为 (x1,y1) ,(c ,0 ) ,(a2c ,m ) .设双曲线的极坐标方程为 ρ =ep1-ecosθ,点A的极坐标为 (ρ1,θ1) ,则无论点A在双曲线的左支还是在右支 ,都有 ρ1=ex1-a .于是AM的斜率为kAM =y1-mx1- a2c=e(y1-m)ex1-a =e(ρ1sinθ1-m )ρ1=e(epsinθ11-ecosθ1-m)ep1-ecosθ1=еpsinθ1+emcosθ1-mp .　　设点B的极角为…     

两个方差分量同时估计的可容许性

考虑方差分量模型 EY=X·β DY=σ_1~2V_1+_2~2V_2,其中β∈R~p,σ_1~2>0,σ_2~2>0均未知;X,V_1>0,V_2>0均已知;r(X)=p。我们要同时估计(σ_1~2,σ_2~2),并考虑估计类={d(A_1,A_2)=(Y′A_1Y,Y′A_2Y),A_1≥0,A_2≥0}。损失函数为: L(d(A_1,A_2),(σ_1~2,σ_2~2=1/σ_1~4(Y′A_1Y-σ_1~2)~2+1/σ_2~4(Y′A_2Y-σ_2~2)~2。本文给出了在V_1=V_2限制下,d(A_1,A_2)为容许估计的充分条件和必要条件,以及没有这个限制时d(A_1,A_2)为容许估计的充分条件。     

圆锥曲线的准线切线焦点弦的相关性

文 [1 ]定理 5概括了抛物线的准线切线焦点弦的一个相关性 .本文将利用极坐标法证明三种圆锥曲线的准线切线焦点弦的几个相关性质 .1　极坐标系中的直线方程引理 1　在极坐标系中 ,过两点A( ρ1 ,α) ,B( ρ2 ,β)的直线方程 (两点式 )为ρρ2 sin(θ - β) =ρρ1 sin(θ -α) + ρ1 ρ2 sin(α - β) ,或sin(α- β)ρ =sin(α-θ)ρ2 + sin(θ- β)ρ1(不经过极点时 ρρ1 ρ2 ≠ 0 ) .证明略 .引理 2　在极坐标系中 ,过点A( ρ1 ,α) ,斜率为k的直线方程 (点斜式 )为 ρsinθ-kρcosθ =ρ1 sinα-kρ1 cosα .引理 3　A( ρ1 ,α) ,B…     

限定Borel点的亚纯函数

设E是任意一个非空的闭实数集(mod 2π),ρ(θ)是E上一个上半连续的有界正值函数(0<ρ(θ)相似文献