利用单调函数的性质证明一类不等式

利用单调函数的性质证明一类不等式苏万春（吉林省永吉三中）由单调函数定义知：若函数ｆ（ｘ）在区间Ｍ上是增函数，则对于Ｍ上的任意两个不同的自变量的值ｘ１和ｘ２都有（ｘ１－ｘ２）·［ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）］＞０（反之亦然）；若函数ｆ（ｘ）在区间Ｍ上是减函数...     

巧用函数单调性解赛题

函数ｆ（ｘ）在区间［ａ,ｂ］上单调增加（或单调减少）,又ｃ、ｄ∈［ａ,ｂ］上,若ｆ（ｃ）＝ｆ（ａ）,则有ｃ＝ｄ．１　求代数式的值例１　已知ｘ、ｙ∈［－π４,π４］,ａ∈Ｒ,且　ｘ３＋ｓｉｎｘ－２ａ＝０４ｙ３＋ｓｉｎｙｃｏｓｙ＋ａ＝０则ｃｏｓ（ｘ＋２ｙ）＝　　．（１９９４年全国高中数学竞赛题）解　由已知条件,可得　　ｘ３＋ｓｉｎｘ＝２ａ（－２ｙ）３＋ｓｉｎ（－２ｙ）＝２ａ故可设函数ｆ（ｔ）＝ｔ３＋ｓｉｎｔ,则有ｆ（ｘ）＝ｆ（－２ｙ）＝２ａ．由于函数ｆ（ｔ）＝ｔ３＋ｓｉｎｔ,在［－π２,π２］上是单…     

不等式恒成立问题中的定参方法

不等式历来是高考和竞赛命题的热点,已知不等式恒成立求参数范围,是一类常见的题型,近年来在各地的高考及模拟试题中更是屡见不鲜．笔者在多年的教学中发现这类问题有以下几种常用解法,现举例说明．１定量分方法 若不等式通过变量分离可化为ａ＜ｆ（ｘ）（或ａ ＞ｆ（ｘ））恒成立的形式,此时可利用以下定理求参数范围： 定理 Ｉ．α＞ｆ（ｘ）恒成立 ａ＞ｆ（ｘ）ｍａｘ; Ｉ．α＜ｆ（ｘ）恒成立 ａ＜ｆ（ｘ）ｍａｘ, 例１ 已知ａ（０,１）。函数ｆ（ｘ）在上有意义,求实数ｋ的取值范围． 解 由题意 ａ恒成立恒成立 因此,实数ｋ…     

利用函数单调性解竞赛题

本文谈谈利用函数单调性解竞赛题 .一、直接利用单调函数的概念、性质及定理解题纵观近年的各种高中数学竞赛题 ,发现许多问题可由函数的单调性定义和有关单调性的一些常见的定理直接解 .如函数单调性的一个性质 :函数 ｆ(ｘ) =ｘ + ｍｘ(ｍ >0 )在区间( 0 ,ｍ ]内单调递减 ;在区间 [ｍ ,+∞ )上单调递增 (考虑到该函数是奇函数 ,可得其对称区间上的单调性 )就是很有用的结论 .例 1　已知 0 <ａ <1 ,函数ｆ (ｘ) =-ｘ + 1ｘ + 1 ( 0 <ｘ≤ａ)的最大值是.( 2 0 0 2年《通讯杯》高中数学综合应用能力竞赛题第 7题 )解　由于函数ｘ + 1ｘ在区间…     

新题征展(4)

Ａ．题组新编１．（１）图１是四个对数函数ｙ＝ｌｏｇａｘ、ｙ＝ｌｏｇｂｘ、ｙ＝ｌｏｇｃｘ、ｙ＝ｌｏｇｄｘ的图象,则ａ、ｂ、ｃ、ｄ、０、１等六个实数之间的大小关系是　　．（２）设２＜ｍ＜ｎ＜３,则ｌｏｇｍ（ｍ－２）与ｌｏｇｎ（ｎ－２）的大小关系是　　．（３）设０＜ｍ＜ｎ＜１,则ｌｏｇｍ（ｍ＋１）与ｌｏｇｎ（ｎ＋１）的大小关系是　　．２．已知关于ｘ的二次不等式ｘ２－（ａ－２）ｘ＋３ａ＜０在区间（－２,１）内：（１）恒成立,则实数ａ的取值范围是　　;（２）无解,则实数ａ的取值范围是　　;（３）存在解,则…     

分析错解原因探求解法规律

最近在一本中学数学杂志上见到这样一道题目：已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ２－２ｘ－４的定义域与值域都是Ｉ（Ｉ为至少一端闭的连续区间）,求数集Ｉ． 原解 令ｘ２－２ｘ－４＝ｘ,解之得 ｘ１＝－１,ｘ２＝４ ａ＞０, 由图１可知,所求的Ｉ＝｛ｘ｜４≤ｘ｝．１ 错解分析 上述解法“妙”不可言,可见数形结合的“威力”,但是解法是否正确呢？在回答这个问题之前,我们先来看解决这道题的一个通法． 通解 先求满足条件的闭区间Ｉ． 令Ｉ＝［ｍ,ｎ］,分情况讨论如下： （１）ｍ＜ｎ≤ｌ ｆ（ｘ）在［ｍ,ｎ］上单调递减,令 １１ｔ ｍ）——…     

不等式“有解”与“恒成立”

不等式历来是高考和竞赛命题的热点．不等式“有解”与“恒成立”是容易混淆的问题．下面给出一组命题,说明两者之间的区别．Ⅰ　ａ＞ｆ（ｘ）恒成立　　ａ＞ｆｍａｘ（ｘ）;Ⅱ　ａ＜ｆ（ｘ）恒成立　　ａ＜ｆｍｉｎ（ｘ）;Ⅲ　ａ＞ｆ（ｘ）有解　　ａ＞ｆｍｉｎ（ｘ）;Ⅳ　ａ＜ｆ（ｘ）有解　　ａ＜ｆｍａｘ（ｘ）．例１　不等式ｋｘ２＋ｋ－２＜０有解,求ｋ的范围．解　ｋｘ２＋ｋ－２＜０有解　ｋ（ｘ２＋１）＜２有解ｋ＜２ｘ２＋１有解　ｋ＜［２ｘ２＋１］ｍａｘ＝２　（应用命题Ⅳ）∴　　　　ｋ∈（－∞,２）．…     

周期问题分类浅析

近年在各级各类的试卷中,常见与周期有关的试题．由于周期函数在中学课本中仅介绍定义．练习中也只有求三角函数的周期,除此之外,在课本中再也找不到与周期有关的问题．因此,涉及周期问题的求解,学生颇感困难,本文以近年各类试题为例,对周期问题从周期给出的方式入手进行分类浅析．１　直接给出周期周期为Ｔ的函数,直接给出周期的方式有：ｆ（ｘ＋Ｔ）＝ｆ（ｘ）、ｆ（ｘ＋Ｔ２）＝－ｆ（ｘ）、ｆ（ｘ＋Ｔ２）＝１ｆ（ｘ）、ｆ（ｘ＋Ｔ２）＝－１ｆ（ｘ）等．例１　若ｆ（ｘ）（ｘ∈Ｒ）是以２为周期的偶函数,当ｘ∈［０,１］时,…     

复合函数中外函数的确定

问题很多书刊资料上都有这样一道题：例１已知函数ｆ（ｘ２－３）＝ｌｇｘ２ｘ２－６，求ｆ（ｘ）并判断ｆ（ｘ）的奇偶性．而其答案却有两种：答案一：ｆ（ｘ）＝ｌｇｘ＋３ｘ－３（ｘ＞３），它没有奇偶性．〔１〕答案二：ｆ（ｘ）＝ｌｇｘ＋３ｘ－３，它是奇函数．为什...     

用方程“asinx bcosx=c”有解的条件解题

三角方程ａｓｉｎｘ＋ｂｃｏｓｘ＝ｃ有解的充要条件是ａ２＋ｂ２≥ｃ２．事实上,原方程可化成ｓｉｎｘａａ２＋ｂ２＋ｃｏｓｘｂａ２＋ｂ２＝ｃａ２＋ｂ２,即　ｓｉｎ（ｘ＋θ）＝ｃａ２＋ｂ２（其中ｔｇθ＝ｂａ）．由于｜ｓｉｎ（ｘ＋θ）｜≤１　知ｃａ２＋ｂ２≤１,即得ａ２＋ｂ２≥ｃ２．显见其逆亦真．利用此结论有时可简捷地解答一些类型的问题．例１　若关于ｘ的方程３＋２ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ１＋２ｓｉｎｘ＋３ｃｏｓｘ＝ｋ恒有实数解,求实数ｋ的取值范围．解　原方程可整理成（３ｋ－１）ｃｏｓｘ＋（２ｋ－２）ｓｉｎｘ＝３…     

1999年全国高中联赛第三题的简解

题目　已知当ｘ∈［０,１］时,不等式ｘ２ｃｏｓθ－ｘ（１－ｘ）＋（１－ｘ）２ｓｉｎθ＞０恒成立,试求θ的取值范围．这是１９９９年全国高中数学联合竞赛试题第三题,下面给出一种有别于“标准答案”的简单解法．解　若对一切ｘ∈［０,１］,恒有ｆ（ｘ）＝ｘ２ｃｏｓθ－ｘ（１－ｘ）＋（１－ｘ）２ｓｉｎθ＞０,则　ｓｉｎθ＝ｆ（０）＞０,ｃｏｓθ＝ｆ（１）＞０,∴　２ｋπ＜θ＜２ｋπ＋π２,ｋ∈Ｚ．（１）又　ｆ（ｘ）＝（１＋ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ）ｘ２－（１＋２ｓｉｎθ）ｘ＋ｓｉｎθ＝（１＋ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ）［…     

数学问题解答

９９７年４月号问题解答（解答由问题提供人给出）１０６６已知ｆ（ｘ）＝ｘ－１ｘ＋１，记ｆｎ（ｘ）＝ｆ｛ｆ…［ｆ（ｘ）］｝ｎ个，求方程［ｆ１９（ｘ）＋ｆ９７（ｘ）］ｆ７１（ｘ）＝３的根．（１９９７年７月１日是香港回归祖国日，故创造此题纪念）解∵ｆ２（ｘ）...     

错题·错解两例

错题·错解两例万兴灿（湖北省宜昌市第一中学４４３０００）１错题贵刊１９９７．１．Ｐ２５例３［１］中给出：若正数ｘ，ｙ满足ｘ＋ｙ＝ｍ（定值），则函数ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ＋１ｘ）（ｙ＋１ｙ）取得最小值（ｍ２＋２ｍ）２（当ｘ＝ｙ＝ｍ２时）此题最小值是不对的．...     

忽视函数定义域错解剖析

在函数这一章的复习中,笔者发现学生在解有关函数性质问题时,经常发生一些不该有的错误．本文仅就此发表一点看法．例１判断函数ｆ（ｘ）＝１－ｘ２｜ｘ＋２｜－２的奇偶性．错解∵ｆ（－ｘ）＝１－（－ｘ）２｜－ｘ＋２｜－２＝１－ｘ２｜ｘ－２｜－２．∴ｆ（－ｘ）≠...     

纠正一个概念错误

纠正一个概念错误毛晓峰（兰州铁路一中７３００００）笔者在两种数学刊物上分别看到了求反函数的两道例题．为了便于说明问题起见，现将题目和原解抄录如下：问题１已知ｆ（ｘ）＝２ｘ＋１，求ｆ（ｘ－１）的反函数．解令ｙ＝２ｘ＋１，得ｘ＝ｙ－１２∴ｆ－１（ｘ）＝１...     

一道不等式题的简捷证明

题　已知二次函数ｆ（ｘ）＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ,当－１≤ｘ≤１时,有－１≤ｆ（ｘ）≤１．求证：当－２≤ｘ≤２时,有　－７≤ｆ（ｘ）≤７．这是文［１］例３,原给出的证明较繁,现简证如下．证明　∵　ｆ（１）＝ａ＋ｂ＋ｃ,ｆ（０）＝ｃ,ｆ（－１）＝ａ－ｂ＋ｃ,∴　２ａ＝ｆ（１）＋ｆ（－１）－２ｆ（０）,∴　｜２ａ｜≤｜ｆ（１）｜＋｜ｆ（－１）｜＋２｜ｆ（０）｜≤１＋１＋２＝４,且　｜ｃ｜＝｜ｆ（０）｜≤１．若ｘ∈［－２,２］,则　ｘ′＝ｘ２∈［－１,１］,于是可得　｜ｆ（ｘ）｜＝｜ｆ（２ｘ′）｜＝｜２ｆ（…     

关于单调函数的不动点问题

关于单调函数的不动点问题王良成（四川省达县师专６３５０００）本文用数学分析中的实数理论对一类未必连续的单调函数的不动点及其性质作如下探讨．定理１设ｆ（ｘ）为闭区间［ａ，ｂ］上的单调增加函数，且，则ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上存在不动点．证国ｆ（ｘ）在［ａ，...     

求f(x)的若干方法

换元法例１已知ｆ（ｓｉｎｘ－１）＝ｃｏｓ２ｘ＋２,求ｆ（ｘ）．解设ｓｉｎｘ－１＝ｔ,∴ｓｉｎｘ＝ｔ＋１（－２≤ｔ≤０）,则ｃｏｓ２ｘ＝１－ｓｉｎ２ｘ＝１－（ｔ＋１）２,∴ｆ（ｔ）＝１－（ｔ＋１）２＋２（－２≤ｔ≤０）,∴ｆ（ｘ）＝－ｘ２－２ｘ＋２（－...     

新题征展(3)

题组新编１．（１）设Ｍ＝｛ｘ｜ｆ（ｘ）＝０｝、Ｎ＝｛ｘ｜ｇ（ｘ）＝０｝,则｛ｘ｜ｆ（ｘ）·ｇ（ｘ）＝０｝为（　　）;（Ａ）Ｍ　（Ｂ）Ｎ　（Ｃ）Ｍ∪Ｎ　（Ｄ）以上都不对（２）设ｆ（ｘ）＝ｘ－１ｘ＋３,ｇ（ｘ）＝ｘ＋３ｘ－１,则集合｛ｘ｜ｆ（ｘ）·ｇ（ｘ）＝０｝＝　　;（３）设函数ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）的定义域依次是Ｆ、Ｇ,且Ｍ＝｛ｘ｜ｆ（ｘ）＝０｝、Ｎ＝｛ｘ｜ｇ（ｘ）＝０｝,则｛ｘ｜ｆ（ｘ）·ｇ（ｘ）＝０｝＝　　．２．（１）设ｍ、ｋ∈Ｎ,则Ｃｎｎ＋Ｃｎｎ＋１＋Ｃｎｎ＋２＋…＋Ｃｎｎ＋ｋ＝　　;（２）求…     

一个题解的疑问

一个题解的疑问笔者在教学中遇到这样一个问题：“已知ｆ（ｘ）的值域为［３８，４９］，试求ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋１－２ｆ（ｘ）的值域．”用下面的两种解法，得到两种不同的结果，通过分析，我认为两种方法都正确，特向贵刊编辑请教．方法１∵３８≤ｆ（ｘ）≤４９，∴...