六种思维切入,十种方法巧解——一道三角求值题的探究

本文有意识地对一些模拟题中的典型习题进行“一题多解”训练,尝试从不同数学知识与思想方法等视角切入,结合多种技巧方法破解,真正达到横看成岭侧成峰的效果,合理引领并指导数学教学与解题研究.     

例谈三角恒等变换中的求值问题

我们知道变换是数学的重要工具,也是数学学习的主要对象之一,三角恒等变换就是其中一种,在三角函数的化简、求值、证明中都离不开三角恒等变换.而三角函数求值是三角恒等变换公式的基本应用,也是考查的重点,要掌握求值问题的解题规律和途径,应正确选用公式,并掌握公式的变形应用技巧,具体说来主要有下面三种题型：     

一道三角求值题的巧解及变式

给出一道三角求值题的两个简解以及三个变式.     

三角函数求值的方法与技巧

三角求值的关键是合理地进行三角恒等式的变形，其基本思路是“三看”，即一看角、二看函数名称、三看结构特征．除此之外，我们还常常应用代数的技巧和构造法，为三角恒等变形创造条件．     

七视角破解,多思维应用——一道三角求值题的巧思妙想

“一题多解”是数学解题教学的常见方式,它能够融合并交汇数学中众多相关知识与思维方式,提升学生的数学能力.本文以一道典型的习题为例,从基本知识入手,以多种思维角度切入,总结出多种技巧.     

一类三角求值题的错解及根治方法

先看下例 例 1 已知 tana=2,tanβ=3,且α,β都是锐角,求a+β。 解tan(α+β)=tanα+tanβ/1-tanαtanβ     

并不恒等的三角“恒等”变换

“三角恒等变换”是学习三角知识及探索三角问题的一种重要方法 ,是学生必须要掌握的一块重要内容 .但很多学生却由于概念不清、忽视角的取值范围等原因把并不恒等的三角变形看成恒等的三角变形 .本文举数例说明如下 .1　求角例 1　已知ｓｉｎα =2ｃｏｓβ ,ｔｇα =3ｃｔｇβ ,- π2 <α <π2 ,0 <β<π ,求角α,β.错解 :由已知得 :ｃｓｃ2 α =12ｃｏｓ2 β,ｃｔｇ2 α=13ｔｇ2 β (1)∵ｃｓｃ2 α =1 ｃｔｇ2 α (2 )∴ 12ｃｏｓ2 β=13ｔｇ2 β 1(3)∴ 1=12ｃｏｓ2 β- 13ｔｇ2 β =3- 2ｓｉｎ2 β6ｃｏｓ2 β .∴ 6ｃｏｓ2 β=3- 2…     

一道三角题解法的探讨

题目在△ABC中,已知sinA/cosB＋sinB/cosA=2,判断△ABC的形状,并给出证明（以下简称＂题＂）.这是一道传统老题,因涉及三角的方方面面而深得高三师生的心仪.在高考复习中本人亦情有独钟地选择了她,作为训练学生三角恒等变换与解三角形的代表＂作＂.分析直觉思维显示：A与B是互为余     

一道三角名题的多角度探究

三角函数中条件恒等式的证明问题，处理的方法多，同学们常常因为不能从题目的条件出发，正确确定解题的目标，不善于从题目的外在结构上恰当地提取多种信息，从而挖掘题目的内涵．下面撷取一道三角名题举例予以说明．     

一道课本习题的探究及推广

苏教版数学必修4第3章“三角恒等变换”习题3．2第8题： 该问题设计得十分巧妙,20°,40°,80°是倍增的关系,而结果是一个很简洁的不含三角函数式的数值．那么这其中的“20”是如何想到的呢？本文就是来探究倍增的几个角的余弦值之积,要让积是一个不含三角函数式的简洁的数值,这些特殊角是如何设计出来的．     

2010年新课程高考三角函数题巡礼

三角函数在历年高考中一般出现1到2道选填题以及一道大题．其中选填题一般都是对三角函数性质、图象、简单变形、角度推广等的考查,属于中等或者中等偏下的难度．而大题一般分以下几个层次：（1）考查解三角形（正余弦定理）与恒等变形的综合应用;（2）考查三角恒等变换及图象性质的综合应用,这种题型是高考中的常考点,题目不难,一般出现在大题的第一或者第二,只要三角应用熟练和细心就好;（3）考查三角函数与其他知识的联系,主要是向量、不等式、方程和函数等,这类题目现在有加大考查力度的趋势．     

构造直角三角形 巧解一类三角求值问题

已知角的某种三角函数值,求其他三角函数值的问题,是学生学习中的一个难点.同学们在求解这类问题时,往往由于解题方法的选择不当而一筹莫展.笔者多年的教学实践表明,在处理一些三角求值问题时,若能充分利用三角问题中所具有的图形特征,通过构造直角三角形,利用直角三角形的边角关系,便可简洁、迅速地使问题得到解决.下面笔者略举数例并加以分析供同学们学习参考.     

用角代换解三角题

角的变换是三角变换技巧之一,充分比较条件与结论中角的特点,寻找角与角间的联系再正确选择公式就可使问题迎刃而解.但注意在应用同角关系求值时,必须考虑角的范围且有时需用诱导公式对角或函数名进行转变．     

通过一题看解三角形的常用策略

正弦定理、余弦定理及其应用是高考的重要内容之一,常与三角函数联系在一起,以正弦定理、余弦定理为工具,通过三角恒等变换来解三角形或实际问题,以低中档题为主,下面通过一题来分析解三角形的常用策略．     

赏析三道2013年全国卷三角试题

纵观2013年高考试题,三角部分的考查保持了内容稳定、难度稳定、题量稳定、题型稳定的特点,考查的重点仍然是解三角形、三角函数的图象与性质、三角函数的求值以及三角恒等变换．     

重心创设，三角求值——一道解三角形题的探究

三角形的重心作为平面几何中的一个基本知识点,极具几何性质与结构特征,往往在解三角形、平面向量等相关场景中具有非常重要的价值体现.结合一道模拟题实例,就三角形重心背景下的解三角形问题加以剖析,总结解题技巧规律,得到教学应用与解题研究的相关启示.     

三角数列连乘积的求值方法

三角函数连乘积问题是中学数学的难点之一．我们在解题时常常碰到．但多数问题的解法技巧性强,处理方法奇特,有时解题的入口很窄,难以得到正确的解答．因此,本文通过一些具体的实例谈一谈三角函数数列的求积技巧与方法．     

一道三角题解法的探讨

题目在△ABC中,已知sinA/cosB+sinB/cosA=2,判断△ABC的形状,并给出证明(以下简称题).这是一道传统老题,因涉及三角的方方面面而深得高三师生的心仪.在高考复习中本人亦情有独钟地选择了她,作为训练学生三角恒等变换与解三角形的代表作.分析直觉思维显示:A与B是互为余