一道高考题的赏析及拓展

2007年高考数学江西卷理科15题为： 如图1，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若→↑AB=m→↑AM,→↑AC=n→↑AN，则m＋n的值为____．     

直线簇上区间图的最小独立控制集

本文研究了在三种情况下直线上的区间图的最小独立控制集的计算问题:1．相交于一点的直线簇,2．除一条直线外,其余的直线都平行的直线簇,3．一条直线和直线上t个赋权的点,使得其最小独立控制集所覆盖的点的权和最大．本文给出了这三个问题的多项式时间算法,问题1可以在O(n)时间内求解,借助动态规划方法问题2和问题 3分别可以在O(n log n),O(n t)时间内求解．     

高中数学分类讨论思想例析

例1已知动点M到原点O的距离为m,到直线L:x=2的距离为n,且m n=4(1)求点M的轨迹方程.(2)过原点O作倾斜角为α的直线与点M     

高中联赛一道预赛题的探究

<正>首先来看一道2014年陕西数学联赛预赛题.已知圆O:x2+y2=1与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,M是圆O上任意一点(除去圆O与两坐标轴的交点).直线AM与BC交于点P,直线CM与x轴交于N,设直线PM、PN的斜率分别为m、n,求证:m-2n为定值.     

n维空间中点到直线的距离公式

给出n维空间中直线的定义,借助线性方程组解的理论给出n维空间直线的三种表示形式;定义点在直线上的投影,在此基础上定义点到直线的距离;运用矩阵代数中解线性方程组的方法,先得到原点到直线的距离公式,然后利用坐标变换得到n维空间中点到直线的距离公式,二维、三维空间中点到直线的距离公式是其特例.     

一类解几问题的简捷求解

有关圆锥曲线弦的二端点与原点连线的斜率问题，涉及高中解析几何中许多重要的知识点，具有一定的深度和难度．若用常规方法解决，运算量大，过程冗繁．本文拟通过实例介绍这类问题的简捷求解模式．例1抛物线y-一步与过点M（0，一1）的直线l相交于A、B两点，O为坐标原点．若直线OA与OB的斜率之和为l，求直线l的方程．（1993年上海市高考试题）解设直线1的方程为y一hX一1，即1一＊X一y，代入抛物线方程Zy叫十X'一0中得2／在X一则十X'一O，整理后两边同时除以，Z一右叶十2一叩．一〕1＝n三状讪、句。是双万程的二根，且外。牛河。一1，…     

n维欧氏空间中直线的相关问题研究

类比三维空间中直线的几何直观,系统地总结了n维欧氏空间中直线的对称式与一般方程,并且应用正投影的方法给出了n维欧氏空间中点到直线距离的一种算法.     

例谈复习课中分类讨论思想的有效渗透——以“圆”的复习课为例

<正>1 在“点与圆”的位置关系中渗透分类讨论思想例1 若圆O所在的平面内有一点P与圆O上的点的最大距离是m,最小距离是n(m>n),那么圆O的半径是___.师：在同一平面内，点P与一个圆可能存在哪些位置关系?问题中的点P与圆O可能存在哪些位置关系?为什么?生：点与圆的位置关系可能有三种——点在圆内，点在圆上，点在圆外.因为题中并没有指明点P在圆的哪个位置，只是点P与圆O同处一个平面，所以点P与圆O也可能存在点P在圆O内、     

一道习题的推广与应用

题目:平面直角坐标系xOy中,直线x-y+1=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为6(1/2).(1)求圆O的方程;(2)若直线l与圆O切于第一象限,且与坐标轴交于D、E,当DE长最小时,求直线l的方程;(3)设M、P是圆O上任意两点,点M关于x轴的对称点为N,若直线MP、NP分别交x轴于点(m,0)和(n,0),则nm是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.这是来自课堂中的一道例题,却不料在讲完后,竟有学生提出了出乎意料的问题,不由得使我改变了原来的教学设想,顺着学生的意愿探究下去,得到了意外的收获.     

对一道"圆"题的探究和拓广

题目 已知圆O:x2+y2=1,直线l1过定点Q(3,0)且与圆O相切. (Ⅰ)求直线l1的方程; (Ⅱ)设圆O与x轴相交于A,B两点,P是圆O上异于A,B的任意一点,过点Q且与x轴垂直的直线为l2,若直线AP交直线l2于点M,直线BP交直线l2于点N,求证:以MN为直径的圆C经过定点,并求出定点坐标.     

平行线上的等边三角形作图及其他

<正>1如何作已知直线关于某点的旋转直线在利用旋转变换求解问题时,往往都需要将某条已经直线绕某定点旋转一定的角度．如何将过A,B两点的定直线绕定O点逆时针旋转θ呢?作旋转直线有下面的两种方法．方法一如图1,分别将A,B两点同时绕O逆时针旋转θ(假定0°<θ<180°)得对应点A′,B′,这样直线A′B′就是直线AB绕O点逆时针旋转θ后的对应直线．     

分空间最多区域数的新探索

张定强在文[1]中介绍了以下结论:n个不同的点可将直线分成n 1段;n条处于一般位置的直线将一个平面最多分成n(n 1)/2 1部分;n个处于一般位置的平面最多将空间分割成n(n2 5)/6 1部分.     

关于多边形共点线的几个猜想的研究

文[1]给出了凸多边形中对角线和主对角线的定义．（编者按：为了规范名称，作为三角形和梯形相关概念的推广，我们称多边形顶点与对这中点连线为中线，两边中点连线为中位线，分布在其两侧顶点数相同的，再加个“主”字．）并提出如下猜想：1．若凸2n＋1边形的2n条主中线都平分其面积，则第2n＋1条亦然，且2n＋1条主中线共点O且被O分成等比的两段．2．若凸Zn边形n条主中位线均平分其面积，则它们共点O且均被O平分．3．若凸Zn边形n条主对角线均平分其面积，则它们共点．本文将证明上述猜想，并给出有关的结果．对文中所涉及的序号遍历性问…     

构造二次齐次方程解一类解析几何问题

定理若直线Lx＋my＋n=0（n≠0）和曲线Ax^2＋Bxy＋Cy^2＋Dx＋Ey＋F=0有两个交点P，Q，0为坐标原点，则直线OP，OQ上的点均满足方程.     

三角形两个统一的向量性质

文[1]给出了三角形重心的两个性质,文[2]给出了三角形旁心的两个性质,文[3]给出了三角形外心的两个性质.读后深受启发,笔者对文[1][2][3]做了进一步的研究,得到了三角形两个统一的向量性质.性质1 经过△ABC所在平面上的一点O(不在顶点A上),任作一直线l,分别交边AB,AC所在直线于M,N两点,且→=m→(AB),→(AN)=n→(AC),用SA、SB、Sc、S分别表示△OBC、△OAC、△OAB,△ABC的面积(下文同),则(1)当点O落在区域①②时,有SB/m+SC/n=S.(2)当点O落在区域③时,有SB/m+SC/n=－S.(3)当点O落在区域④⑦时,有SB/m－SC/n=－S.(4)当点O落在区域⑤⑥时,有SB/m－SC/n=S.     

直线的向量参数方程的推广及应用

新人教必修4第二章平面向量：已知A、B是直线L上任意两点,O是L外一点,则对直线L上任意一点P,存在实数t,使O→P关于基底{O→A,O→B}的分解式为O→P=（1-t）O→A＋tOB→,此向量等式叫做直线L的向量参数方程式,其中实数t叫做参数,并且满足A→P=tAB→.若点P是平面内任意一点,向量O→P关于基底{O→A,O→B}的分解式为O→P=→λOA＋B→μO,当λ＋μ=1时,点P在直线L上,当λ＋μ≠1时,点P在哪？就这个问题做一下探讨,供参考.     

立体几何中距离问题的统一解法

本文将利用向量法给出求解异面直线间的距离、点面距离、线面距离、面面距离的统一公式d =|AB·n|n ,能起到化隐为显、化难为易之作用 .1　求异面直线间的距离图 1　证明公式用图如图 1,已知a ,b为两异面直线 ,CD为a ,b的公垂线段 ,A ,B分别为a ,b上的任意两点 ,n⊥a ,n⊥b,则n∥CD .又AB =AC +CD +DB ,∴AB·n =(AC +CD +DB)·n =AC·n +CD·n+DB·n =CD·n ,∴ |AB·n|=|CD|·|n|,∴ |CD|=|AB·n||n|,即异面直线a ,b间的距离d =|AB·n||n|,其中n与两异面直线都垂直 ,A ,B分别为两异面直线上任意点 .图 2　例 1图例 1　…     

2016年全国高中数学联赛加试（A卷）试题及参考答案

二、（本题满分40分）如图1所示,在△ABC中,X,y是直线BC上两点（X,B,C,Y顺序排列）,使得BX·AC=Cy·AB．设△ACX,△ABy的外心分别为O1,O2,直线O1O2与AB,AC分别交于点U,Y．证明：△AUV是等腰三角形．     

距离问题的统一处理

利用Cauchy-Schwartz不等式统一处理点到直线的距离、点到平面的距离及n维空间中点到超平面的距离问题.     

斜率性质的灵活应用

直线的斜率是反映直线方向的一个非常重要的是，它的有关性质，在解题实际中有广泛的应用．例1（1997年全国高考题）已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C、D两点．（Ⅰ）证明点C、D和原点O在同一条直线上；（Ⅱ）当BC平行于X输时，求点A的坐标．分析（Ⅰ）只要证kCO=kDO，通过A、B两点坐标作侨梁．（Ⅱ）略．对多点共线问题，运用斜率，建立关系式，这是解题的常规方法，应用广泛．对形如y二二业结构问题，则问造萧军来工l一工2解．例2（1997＄全国高警题）…