两数和的完全平方及其应用

早在初中代数课上,同学们就已经知道了两数和的平方公式: (x+y)~2=x~2+2xy+y~2。(1)这一公式的应用是极其广泛的。在这里,我们准备介绍它的部分应用。 (一)推証公式問題 乘法公式 (x+y)~2=x~2+2xy+y~2, (x-y)~2=x~2-2xy+y~2, (x+y)(x-y)=x~2-y~2, (x+y)~3=x~3+3x~2y+3xy~2+y~3, (x-y)~3=x~3-3x~2y+3xy~2-y~3, (x-y)(x~2+xy+y~2)=x~3-y~3, (x+y)(x~2-xy+y~2)=x~3+y~3等都可运用公式(1)来推导。例1.1.求証:(x+y)(x-y)=x~2-y~2。 証.令     

代数替换证不等式

证不等式,技巧性很强。用三角代换法者屡见不鲜。但若另辟蹊径,巧用本文中的代数代换,又可别开生面,另有一番情趣。例1 已知a,b∈R求证a~2+ab+b~2-3a-3b+3≥0 证明令x=1/2(a+b), y=1/2(a-b), 则a=x+y, b=x-y,于是原式左边=(x+y)~2+(x~2-y~2)十(x-y)~2 -3〔(x+y)+(x-y)〕+3=3x~2+y~2-6x+3=3(x-1)~2+y~2≥0。例2 已知a,b∈R~+,求证(当且仅当c=b时,取等号)。证明:令x=1/2(a+b),y=1/2(a-b),则a=x     

妙用一个简单不等式解竞赛题

定理已知x、y∈R,则 (x+y)~2≤2(x~2+y~2) (*)等号仅当x=y时成立。证明由(x-y)~2≥0可得 x~2+y~2≥2xy两边同时加上x~2+y~2即得(*). 证明显然容易,但其应用却十分地广泛,本文通过一些国内外的竞赛题说明其应用。     

用凑微分法解微分方程25例

<正> 有些微分方程题目用凑微分的方法来解比较简单,本文举出25个例,前二个例是93年研究生入学试题。例1 求微分方程x~2y~1+xy=y~2满足初始条件y|_(x=1)=1的特解。(答案:y=2x/(1+x~2))     

问题与解答

一、本期问题 1 已知x~2-y~2-z~2=0,试将x~3-y~3-z~3分解为一次因式的积。 2 求证(3+7~(1/2))~n的整数部分是奇数。 3 已知x~2+y~2≤1,(x、y∈R)试证5-2~(1/2)≤u(x,y)=|x+y|+|y+1|+|2y-x-4|≤7 宜昌市一中叶家振提供 4 解方程     

构作棱锥解题两例

例1 x,y,z∈R~+,求证 ((x~2+y~2-2~(1/2)xy)~(1/2)+(y~2+z~2-yz)~(1/2) >((z~2+x~2-3~(1/2)zx)~(1/2) 证根据题目中的交叉项系数2~(1/2),1,3~(1/2)等效字特征,联想到余弦定理,而构作一     

解二元二次方程组的通法

对于一般的二元二次方程组A_1x~2+B_1xy+C_1y~2+D_1x+E_1y+F_1=0,A_2x~2+B_2xy+C_2y~2+D_2x+E_2y+F_2=0。可以写成下列形式 A_1x~2+(B_1y+D_1)x+ A_2x~2+(B_2y+D_2)x+ (C_1y~2+E_1y+F_1)=0 (1) (C_2y~2+E_2y+F_2)=0 (2)也可以把它写成y的降幂排列形式,如果把x~2、x作为两个未知数,那么解此二元一次方程组,有     

巧用特殊法 妙解课本题

根据题目条件的信息,选用恰当的化简技巧,是解决课本二次根式题的关键.一、变换所求,以简驭繁例1已知x=1/2(7~(1/2)+5~(1/2)),y=1/2(7~(1/2)-5~(1/2)),求x2-xy+y2的值.解当x=1/2(7~(1/2)+5~(1/2)),y=1/2(7~(1/2)-5~(1/2))时,有x-y=5~(1/2),xy=1/2.∴原式=(x-y)2+xy=(5~(1/2))2+1/2=11/2.二、化简变形,化难为易例2已知x=(3~(1/2)+2)/(3~(1/2)-2),y=(3~(1/2)-2)/(3~(1/2)+2),求     

x~2+y~2+z~2≥xy+yz+zx的应用

“一般向特殊”的推理称作演绎推理,一个公式在特值(或部分特值)下的应用称作演绎应用。在教学过程中不失时机地向学生介绍公式的演绎应用,无论是丰富知识,还是培养能力,都是有益的事。对不等式 x~2+y~2+z~2≥xy+yz+zx(当且仅当x=y=z时取等式)作演绎变换,如取 z=c(常数),可得不等式 x~2+y~2+c~2≥xy+c(x+y) (当且仅当x=y=c时取等号)。这个“演绎不等式”有多种用途。例1 (解特殊的二元二次方程)解方程 9x~2+6xy+4y~2-3cx+2cy+c~2=0。解原方程化为 (3x)~2+(-2y)~2+c~2 =(3x)(-2y)+c(3x-2y)。由演译不等式可知,等号成立的条件是:3x=-2y=c。故原方程的解为     

问题与解答

一、本期问题 1 关于x的二次方程ax~2+bx+c=0 (1)和-ax~2+bx+c=0 (2),如果x_1、x_2分别是方程(1)和(2)的某一非零根,求证方程ax~2/2+bx+c=0总有一根x_0在x_1、x_2之间。 2 设a、b、c为任意实数,且1+ab、1+bc、1+ca≠0,求证(b-c)/(1+bc)+(c-a)/(1+ca)+(a-b)/(1+ab)=(b-c)(c-a)(a-b)/(1+bc)(1+ca)(1+ab) 3 复数z、a、x满足关系x=(a-z)/(1-az),且|z|=1,求证|x|=1。安徽庐江乐桥中学陈学能提供 4 解方程组2~(1/2)(x-y)(1+4xy)=3~(1/2) x~2+y~2=1 5 已知某自然数的立方为77*******7 (*表示数字,可以不相同),求这个自然数。福建福州仓门口5号林章衍提供 6 求证: (1) (C_(1984)~0-C_(1984)~2+C_(1984)~4-C_(1984)~6+…)~2=2~(1984),     

问题与解答

一本期问题 1 △ABC中,已知BC、CA、AB边上的高分别是h_a=6、h_b=4、h_C=3,试求△ABC的面积。 2 设以r为半径的圆内接正992边形P_1P_2…P_(992),P是圆周上的任意一点,求证PP_1~2+PP_2~2+…+PP_(992)~2=1984r~2。上海金山县中学生朱维欧提供 3 证明当n是自然数时,2~(1/2)·4~(1/4)·8~(1/8)…2~n(2~n)~(1/2)<4。 4 设x、y为正整数,且3x~2+2y~2=6x,问x取何值时,x~2+y~2达到最大值,并求出此最大值。巴东安居中学谭志新提供 5 求证 lg1+lg2+…+lgn相似文献   

一类取值范围问题的解法探讨

例1设x,y为实数,且x~2+xy+y~2= 3,求x~2-xy+y~2的最大值和最小值。分析已知条件和待求式都是二次齐次式,可采用判别式法求x~2-xy+y~2的最值。     

安徽高中数学竞赛题的变式与推广

<正>文[1]和文[2]分别给出了2006年安徽省高中数学竞赛初赛中的题目:"设x,y是实数,且满足x~2+xy+y~2=3.则x~2-xy+y~2的最大值和最小值是__."的三种思路三种解法与二种思路三种解法.笔者拜读了之后颇有感想,下面给出这个题目的一个变式,供大家参考.由于xy=x~2·y/x,y~2=xy·y/x,于是我们可     

“关于解析几何教学的几点注意”一文的几点意見

学习数学通报1963年第六期发表的文章:“关于解析几何教学的几点注意”,仅就文中论述的几个问题提出商讨意见。 1.该文第二段:“解析几何教学中一些问题的商榷”的例2中有下面的一段论述: “直线的方程是一次的”这种说法是不确切的,应当说“直线的方程可以是一次的”。“可以”这两个字,在此是不能省略的。该文作者提出的论据是:在实数范围内,方程x-y=0和x~3-y~3=0同解,因之,方程x~3-y~3=0也可以说是第一、第三象限的分角线l的方程。实际上方程x~3-y~3=0可以变形为(x-y)(x~2++xy+y~2)=0,从而方程x~3-y~3=0的解包含于方程x-y=0和x~2+xy+y~2=0之中。方程x~3-y~3=     

对一个问题的进一步推广

读贵刊82年第一期张宏志《淡浅解题》一文,受益不浅,作者把题目:当x≥0,y≥0,z≥0,x+y+z=1时,试求x~(1/2)+y~(1/2)+z~(1/2)的最大值与最小值(即求证不等式1≤x~(1/2)     

问题征解

一、本期问题征解 1.求证对于所有正整数m,不等式 1/(m 1) 1/(m 2) … 1/ (2m 1)m>1成立。2. 求证不等式,(2-(2 (2 (2 … 2~(1/2))~(1/2))~(1/2))~(1/2))/(2-(2 (2 … 2~(1/2))~(1/2))~(1/2))>1/4(其中分子有n个根号,而分母包含有n-1个根号) 以上二题由汉川刘之英译供 3.已知f(x)=x~2-2mx b, (1)求抛物线y=f(x)的顶点轨迹方程; (2)说出l_1:f(x)-f(y)=3, l_2:y=f(x 1)-f(x)的形状; (3)当l_1与l_2相切时,求m的值。 4.某校先后举行数、理、化三科竞赛,学     

借助于圓的二次方程的图解

1.假設已知化簡后的二次方程 x~2 px q=0配成完全平方: (x p/2)~2-(p~2/4-q)=0, -(x p/2)~2 (p~2/4-4)=0。用y~2表示方程的左端 y~2=(p~2/4-q)-(x p/2)~2,由此, (x p/2)~2 y~2=p~2/4-q,所得到的是一个圓的方程,其圓心为点(-p/2,0),半径为r=(p~2/4-q)~(1/p~2/4-q),此圓与Ox軸的交点的横坐标就是二次方程的根。例.图解方程 3x~2-8x-51=0,化簡后的方程是 x~2-2(2/3x)-17=0,或者 -(x-1(1/3))~2 18(7/9)=0。用y~2表示它的左端,得到一个圓的方程 (x-1(1/3)))~2 y~2=18(7/9)。圓心在点(1(1/3),0)半径等于当x=1(1/3)时的y的     

问题征解

一、本期问题征解 1.已知47~(100)是168位数,试求47~(25)的位数。 2.已知x、y为正整数,且xy=24,求函数1/(x~2+y~2)的极大值。 3.在△ABC和△A′B′C′中,已知∠B=∠B′,BC=B′C′,AB+AC=A′B′+A′C′, 求证△ABC≌△A′B′C′。 4.在△ABC中,AB=AC,在AB上取一点D,AC延长线上取一点E,使DB=EC,连接DE交BC于G,求证DG=GE。黄冈上巴河标云岗中学熊红英 5.M为BC边的中点,AD为∠A的平分线。过A、D、M三点作圆设交AB、AC于E、F点,求证BE=CF。     

两个优美不等式的再巧证

在一些参考书上,我们看到了下面两个不等式。已知a>0,b>0, (1)求证:(a/(2b+a))~(1/2)+(b/(2a+b))~(1/2)≤2/3~(1/2); (2)求证:(a/(2a+b))~(1/2)+(b/(2b+a))~(1/2)≤2/3~(1/2).对于这两个不等式,参考书上大多提供的是高等数学的方法,通过思考,我们发现,可以用基本不等式巧妙地证明这两个不等式。     

多元函数积分学

<正> 一、填空题 1.(1993.Ⅰ,Ⅱ)设数量场u=ln(x~2+y~2+z~2)~(1/2),则div(gradu)=1/x~2+y~2+z~2.