关于丢番图方程（143n）^x＋（24n）^y=（145n）^z

设a,b,c为两两互素的正整数,满足a^2＋b^2=c^2．1956年,Jesmanowicz猜想：对任意的正整数n,丢番图方程（an）^x＋（bn）^y=（cn）^x仅有正整数解（x,y,z）=（2,2,2）．本文对（a,b,c）=（143,24,145）的特殊情形,证明了该猜想是正确的．     

一个性质的另证与补充

文[1]研究并得出了椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）与圆x^2＋y^2=a^2的一个相关性质,并通过类比引申,得出了双曲线x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）与圆x^2＋y^2=a^2的一个相关性质．     

找回遗漏的解

题目1已知函数f（x）=｜x＋1｜＋｜x＋2｜＋…＋｜x＋2011｜＋｜x-1｜＋｜x-2｜＋…＋｜x-2011｜（x∈R）,且f（a^2-3a＋2）=f（a-1）,则满足条件的所有整数a的和是_____．     

一道奥赛问题的几种基本解法

第三届北方数学奥林匹克邀请赛有这样一道试题：设△ABC的三边长分别为a，b，c，且a＋b＋c=3，求f（a，b，c）=a^2＋b^2＋c^2＋4/3abc的最小值．     

一个三角不等式的证法探源及推广

文[1]给出引理：设：x∈（0,π/2）,a^3=1/3（a＞0）,则有sin^2x/1-sin^2x≥2a^2/（1-a^2）^2（sin^3x-a^3）＋a^2/1-a^2     

我为高考设计题目

题19 对于正整数k。用g（k）表示k的最大奇因数,例如：g（1）=1,g（2）=1,g（3）=3,…．记an=g（1）＋g（2）＋g（3）＋…＋g（2^n）,其中n为正整数．     

“圆锥曲线的弦对顶点张直角的一个性质”再探

文[1]中给出如下定理： 定理1椭圆x^2/^a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0），A（a，0），直线l与椭圆交于C，D两点，则AC⊥AD←→直线l过定点（a（a^2-b^2）/a^2＋b^2，0）.     

关于“一组有趣的数字”的进一步探讨

王世强教授在文[1]中介绍了这样一组有趣的数字：若 a=123789,b=561945,c=642864; d=242868,e=323787,f=761943． 则有 a＋b＋c=d＋e＋f及a^2＋b^2＋c^2=d^2＋e^2＋f^2（＊）把a,b,c,d,e,f的最高1位,2位,3位,4位,5位数字依次去掉后,仍有（＊）式成立．     

圆、椭圆、三角形的一个相关性质的简证及推广

文[1]利用“超级画板”给出猜想：与椭圆x^2/a^2 ＋ y^2/b^2 =1内接，且与圆x^2 ＋ y^2 = （ab/a＋b）^2外切的多边形是三角形．随后证明了猜想．美中不足的是运算量过大，现给出另一证法，以供参考．     

等差数列前n项和的一个性质

文[1]给出了等差数列的一个性质如下： 对于任意公差为d的等差数列{an},且．an≠0．总有： （-1）^0Cn^0/a1＋（-1）^1Cn^1/a^2＋（-1）^2Cn^2/a3＋…＋（-1）^iCn^i/ai＋1＋…^（-1）^nCn^n/an＋1=n!d^n/a1·a2…an 文[2]又给出了等比数列的一个类似的性质如下：     

关于Diophantine方程x3+1=py2

在素数p=3（8t＋4）（8t＋5）＋1和p=3（8t＋3）（8t＋4）＋1的情形下,运用初等数论的方法给出了丢番图方程x3＋1=py2无正整数解的充分条件,并得到无数个6k＋1型的素数p使得方程x3＋1=py2无正整数解.     

广义Ramanujan-Nagell方程x~2+D~m=p~n

设D是大于1的正整数,p是不能整除D的素数.本文证明了:当D=3a~2+1,p=4a~2+1,其中a是正整数时,除了(D,p)=(4,5)这一情况以外,方程x~2+D~m=p~n仅有2组正整数解(x,m,n)=(a,1,1)和(8a~3+3a,1,3).根据上述结果得到了该方程解数的最佳上界.     

关于不定方程组x-1=3py^2，x^2＋x＋1=3z^2

设P为素数，利用同余及高次丢番图方程的一些结果证明了不定方程组x-1=3py^2，x^2＋x＋1=3z^2仅有正整数解（p，x，y，z）=（7，22，1，13）。     

指数丢番图方程a~x+b~y=c~z

设a=|m(m~4-10m~2+5)|,b=5m~4-10m~2+1,c=m~2+1,其中m是正偶数。利用Bilu,Hanrot和Voutier关于本原素除子的深刻结果,证明了指数丢番图方程a~x+b~y=c~z仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,5)。     

關於k進表示法的一個問题

<正> §1.設k>1是一個固定的正整數,則每一個正整數x都可以唯一地表成 x=a_1k~n1+a_2k~n2+…+a_1k~nt,其中n_1>n_2>…>n_t≥0都是整數;a_1,…,a_t也都是正整數且≤k-1.我們令,並令.在k=2的情况,文[1]的作者們證明了     

A Note on the Difference Equation x n +1 = ∑ i =0 k α i x n − i p i

In this note we improve Theorem 2 in Ref. [3] , about the difference equation x n +1 = ~ i =0 k f i x n m i p i , n =0,1,2,..., where k is a positive integer, f i , p i ] (0, X ) for i =0,..., k , and the initial conditions x m k , x m k +1 ,..., x 0 are arbitrary positive numbers.     

Diophantine方程(a-1)x~2+f(a)=4a~n的一点注记

设a是大于1的正整数,f(a)是a的非负整系数多项式,f(1)=2rp+4,其中r是大于1的正整数,p=2~l-1是Mersenne素数.本文讨论了方程(a-1)x~2+f(a)=4a~n的正整数解(x,n)的有限性,并且证明了:当f(a)=91a+9时,该方程仅当a=5,7和25时分别有解(x,n)=(3,3),(11,3)和(3,4).     

商高数的Je?manowícz猜想

利用Bilu、Hanrot 和 Voutier关于本原素因子存在性理论及二次丢番图方程解的表示方面的一些精细结果证明:当a=n+1, b=2n(n+1), c=2n(n+1)+1时, 方程a^x+b^y=c^z仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,2).       

关于指数丢番图方程a~x+b~y=c~z的Terai猜想

本文证明了:当a=|m(m4-10m2+)|,b=5m4-10m2+1,c=m2+1,其 中m是偶数时,如果m≥542,则方程ax+by=cz仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,5).     

Diophantine方程nx~2+2~m=y~n(英文)

设n是大于3的奇数.本文运用Y.Bilu,G.Hanrot和P.M.Voutier关于Lehmer数本原素因子存在性的新近结果,证明了方程nx~2+2~m=y~n没有适合gcd(x,y)=1且m为奇数的正整数解(x,y,m).