Ⅰ.“两边和等于第三边”

“两边之和大于第三边”这是三角形三边关系的必然结果,可现在我们却发现了“两边之和等于第三边”的三角形。不妨先看题: 确定使a,a 1,a 2为钝角三角形的三边的a的取值范围。解要使a,a 1,a 2为三角形的三边,则必有a>0,     

三角形的垂心的几个性质

文[1]介绍了三角形的垂心的如下性质:定理1三角形的垂心关于三边的对称点在这个三角形的外接圆上.本文以此为基础,提出如下性质:定理2三角形的垂心关于各边中点的对称点在三角形的外接圆上,且以这三个对称点为顶点的三角形与原三角形关于圆心中心对称.用符号语言表达即为:     

正弦定理的一个推论及其应用

这样,我们可将三角形的任意两边之和与第三边的关系完善为:三角形的任意两边之和大于第三边,而小于或等于第三边与该边所对的半角的正弦之比。     

三角形三边关系的应用

三角形的三边关系定理“三角形两边的和大于第三边”及推论“三角形两边的差小于第三边”在解题中有着广泛的应用.一、判断三条线段能否组成三角形例1 以下列各组线段为边,能组成三角形的是( ).     

三角形形状判断的三大策略

正确理解三角形的六要素间的关系和熟练运用三角形的正、余定理,才能迅速判断三角形的形状.一般有两种思路:其一是化边为角,求出三个角之间的关系式;其二是化角为边,求出三条边之间的关系式.实施转化的主     

关于三角形的三边关系

<正>三角形是由三条首尾相接的线段组成,但不是任意三条线段都能围成三角形.在具体的解题过程中,经常发生漏解、多解、错解等情况.本文着眼于三角形三边关系的简化,让思路明朗化,做到轻松解题.三角形的三边关系:两边的和大于第三边,两边的差小于第三边.用a,b,c表示三角形的三边,由"两点之间,线段最短"得:     

三角形的内心和重心所在直线的一个有趣性质

本文继续探究与欧拉线有关的问题,并给出三个新的有趣结果:(1)当不等边三角形的重心和内心所在直线垂直该三角形的一边时,重心和内心到该边距离之比为4:3;(2)直角三角形中,重心与内心的连线垂直三角形的一边,则该边与其余两边的比为3:4:5;(3)直角三角形的重心与内心的连线与一直角边交于一点,若内心到该交点的距离是内心与重心距离的■倍,则该三角形的三边之比为1:■:2.     

有趣的对应

现行高级中学课本《立体几何》(甲种本)多面角的性质一节中在P133写到: “这里我们注意到,如果使三面角的面(角)与三角形的边对应,三面角的二面角与三角形的内角对应,那末三面角的一些性质与三角形类似。因此,有些三面角的问题常归结为三角形问题来研究。”下面列出这部份一些有趣的对应定理,为节省篇幅,将具证明略去。三角形任意两边的和大于第三边。三角形任意两边的差小于第三边。     

确定一个三角形的充要条件及其应用

任意给定的三条线段,都可以确定一个三角形吗?要想正确回答这个问题,必须联想到平面几何中关于三角形三条边之间的关系的定理:三角形任意两边之和大于第三边及其推论三角形任意两边之差小于第三边。但是不少学生在应用上述定理时,往往忽视了定理中的“任意”二字。从而不能保证条件的充要性。因此在平几的教学和以后的应用中,我认为:首先要从三个并存的不等式:若△ABC的三边为a、b,c,则a+b>c、a+c>b、b+c>a同时成立(或     

不等边三角形若干"心"的一个性质

笔者发现三角形“心”有如下性质:定理不等边三角形的内心I、垂心H、界心K及其旁心三角形的外心M是平行四边形的四个顶点.为了证明该定理,先给出如下几个引理:引理1△ABC中AD、BE、CF为三边上的高,垂心为H,则该三角形三边之中点,三个垂足D、E、F,三线段H A、H B、H C之中点九点     

拿破仑三角形的一个特例

拿破仑三角形,包括“外拿破仑三角形”和“内拿破仑三角形”这两类三角形,在三角形ABC三条边的外侧,分别作三个等边三角形,以它们的中心为顶点所构成的三角形,称为“外拿破仑三角形”,若在三角形ABC三条边的内侧,分别作三个等边三角形,那么以它们的中心为顶点也构成的一个三角形,这个三角形     

三角形与其内接三角形相似的条件

本文约定,如果三角形的三个顶点分别位于另一个三角形的三条边(不含端点)上,则称前者为后者的内接三角形.作为原三角形的衍生三角形,内接三角形具有"模型"意义,值得研究. 举例来说,以三角形三条中位线为边的三角形(称为中位三角形),是原三角形的内接三角形.     

例析三角形的存在性问题

三角形的三边长的关系为:任意两边之和大于第三边.在具体解题过程中用起来并不方便,通常加强为:三数a,b,c(0c(0相似文献   

三角形面积公式及其应用

设a、b、c表示三角形的三边,A、B、C依次表示a、b、c边的对角,h_a为a边上的高,s为三角形的周长的一半,γ、R分别为三角形的内切圆的半径和外接圆的半径,△为三角形的面积。 平面几何中已导出三角形的面积公式:     

如何确定三角形一边的取值范围

<正>问题已知锐角△ABC的三边长分别为3、4、x,试确定x的取值范围.若只是一般三角形,大家很容易想到可根据三角形三边的关系:"三角形的两边之和大于第三边"、"三角形的两边之差小于第三边"得出1相似文献   

聚焦竞赛中的等边三角形

等边(正)三角形以其独有的三边相等,三个内角都等于60°的性质而受到各类竞赛的青睐,除此之外,等边三角形还具有一些其它的特殊性质:三线合一将等边三角形分成含有30°角的直角三角形;重心、外心、内心、垂心四心合一;等边三角形内任一点到三边的距离之和等于重心到三边的距离之和也等     

三角形的一个判定定理及应用

<正>众所皆知,平面几何中的三角形的三边关系为"三角形任意两边之和大于第三边,两边之差小于第三边",其等价于:命题若a、b、c是三角形的三边长,则(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)>0.此命题的逆命题也是一个真命题,它便可作为判定三角形的一个"判定定理",即定理若三个正数a、b、c满足(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)>0,则以a、b、c为边长可构成一个三角形.证明由(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)     

与外周界中点三角形有关的不等式

文 [1]给出了三角形的周界中点的定义 :定义 1　如果三角形一边上的一点和这边所对的顶点把三角形的周界分为两条等长的折线 ,那么就称这一点为三角形的周界中点 .由于三角形任意两边之和大于第三边 ,因而三角形任一边上的周界中点必为这边的内点 .因此 ,我们不妨称定义 1中的周界中点为该三角形的内周界中点 ,以三个内周界中点为顶点的三角形称为该三角形的内周界中点三角形 .类似地 ,我们可以建立三角形的外周界中点及外周界中点三角形的概念 .定义 2　若将三角形的一条边延长 ,使其延长部分等于另两边之和 ,那么就称这条边与其延长部分构…     

Heron三角形的一般表达式及其应用

Heron三角形是指边长和面积均为整数的三角形.若Heron三角形的三边长互素,称为本原Heron三角形.我国著名数学史学家沈康身先生在其出版的新著《数学的魅力(1)》一书的第十章,分析了Heron三角形及其性质,其中提出一个问题:三角形的三条整数边应当满足什么充要条件,其面积才     

灵活应用三角形三边的关系

<正>根据"两点之间的所有连线中,线段最短"可得到三角形三边之间的关系,三角形中任何两边的和大于第三边,再根据不等式的性质,得到三角形中任何两边的差小于第三边.灵活应用三角形三边的关系,能帮我们迅捷地解答一些三角形边的有关问题.