On integral estimates for the derivatives of rational functions

ПустьL - спрямляемая ж орданова дуга,? _n (L) - кла сс рациональных функци йR(z) степени ≦n,¦R(z)¦≦, zεL, $$\Lambda (n,L) = \mathop {\sup }\limits_{R(z)\varepsilon \Re _n (L)} \mathop \smallint \limits_L |R'(z)||dz|.$$ В работе получены нео бходимые и достаточн ые условия на дугуL, при которых в еличиныΛ(п, L), n=1, 2, ...конечны. При эти х условиях выполнены оценки: $$\Lambda (n,L) \leqq Cn^2 ,C = C(L) = const > 0.$$      

The maximal variation of a bounded martingale

Let \(\chi _0^n = \left\{ {X_t } \right\}_0^n \) be a martingale such that 0≦X_i≦1;i=0, …,n. For 0≦p≦1 denote by ? _p ⁿ the set of all such martingales satisfying alsoE(X₀)=p. Thevariation of a martingale χ ₀ ⁿ is denoted byV ₀ ⁿ and defined by \(V(\chi _0^n ) = E\left( {\sum {_{l = 0}^{n - 1} } \left| {X_{l + 1} - X_l } \right|} \right)\) . It is proved that $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left\{ {\mathop {Sup}\limits_{x_0^n \in \mathcal{M}_p^n } \left[ {\frac{1}{{\sqrt n }}V(\chi _0^n )} \right]} \right\} = \phi (p)$$ , where ?(p) is the well known normal density evaluated at itsp-quantile, i.e. $$\phi (p) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}\exp ( - \frac{1}{2}\chi _p^2 ) where \int_{ - \alpha }^{x_p } {\frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}\exp ( - \frac{1}{2}\chi ^2 )} dx = p$$ . A sequence of martingales χ ₀ ⁿ ,n=1,2, … is constructed so as to satisfy \(\lim _{n \to \infty } (1/\sqrt n )V(\chi _0^n ) = \phi (p)\) .     

Moment multipliers for power series

По определению после довательность {μ _n пр инадлежит классуG _s , если звезда М иттагЛеффлера произвольного степе нного ряда (1) $$\mathop \sum \limits_0^\infty a_n z^n , \mathop {lim sup}\limits_{n \to \infty } \left| {a_n } \right|^{1/n}< \infty $$ , совпадает со звёздам и Миттаг-Леффлера сте пенных рядов $$\mathop \sum \limits_0^\infty \mu _n a_n z^n ,\mathop \sum \limits_0^\infty \mu _n^{ - 1} a_n z^n $$ . В работе установлены следующие утвержден ия Теорема 1.Для произво льной последователь ности ? _n с условиями $$0< \varphi _n< 1,\mathop {lim}\limits_{n \to \infty } \varphi _n = 0,\mathop {lim}\limits_{n \to \infty } \varphi _n^{1/n} = 1$$ существует неубываю щая функция χ(t) такая, ч то моменты \(\mu _n = \int\limits_0^1 {t^n d\chi (t)} \) удовлетворяют условию 0<μ_nn звезда М иттаг-Леффлера любог о ряда (1) совпадает со звездой МиттагЛеффлера степенных рядов . Теорема 2. Для произвол ьной неотрицательно й последовательности {а_n} с условием {a _n } и для любой последов ательности {?_n} для к оторой 0n<1, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \varepsilon _n = 0\) сущест вуютπ={π _n }∈G _s и последовательнос ть {п_i} такие, что a_nμ_n≦1 (n≧n₀), \(a_{n_i } \mu _{\mu _i } \geqq exp( - \varepsilon _{n_i } )\) (i=1, 2, ...) и при эmom звезда Миттаг-Леффлера ряда (1) совпа дает со звездой Миттаг- Леффлера степенных р ядов .     

On the mean value of certain functions connected with the convergence of orthogonal series

В статье рассматрива ются множестваQ ⁿ , 1≦п<∞, ортонормированных с истемΦ={φ _i (x)} _i ⁿ =1, состоящих из функций, постоянных на интервалах \(\left( {\frac{{j - 1}}{n}, \frac{j}{n}} \right)\) , 1 ≦j ≦j ≦п. НаQ ⁿ естественно перенос ится с группы ортогон альных матриц порядкаn мера Хаара. Изучается поведение наQ ⁿ функци и $$S(\Phi ) = \mathop {\sup }\limits_{\mathop \sum \limits_{i = 1}^n y_i^2 = 1} (\int\limits_0^1 {\mathop {sup}\limits_{1 \leqq r \leqq n} } (\mathop \sum \limits_{i = 1}^n y_i \varphi (x))^2 dx)^{1/2} $$ . Доказывается, что приt > 0 иn=1,2,... $$\mu \{ \Phi \in Q^n :s(\Phi ) \geqq t\} \leqq (Ce^{ - \gamma t^2 } )^n $$ .     

Multiple trigonometric series with lexicographically monotone coefficients

В статье рассматрива ются_n-кратные тригонометрические ряды вида (1) $$\mathop \Sigma \limits_{k = 1}^\infty a_k \exp (ikx),$$ гдеa _k ≧a _m , еслиk _j ≦m _j при 1≦j≦n иa _k→0 при maxk _j →∞. Для таких рядов доказ ыва1≦j≦n ется несколько теорем, обо бщающих ранее получе нные автором утверждения дляи=2. Сформулируем две из н их. Теорема 1.Ясли 1<р<∞и ря д вида (1) есть ряд Фурье функции f (x)∈L _p ((0, 2π) ⁿ ),mo (2) $$\mathop \Sigma \limits_{k = 1}^\infty a_k^p (k_1 ...k_n )^{p - 2}< \infty .$$ Теорема 2.Если коэффи циенты ряда вида (1) удовлетворяют услов ию (2) яри некотором р>п, то этот ряд сходит ся по Прингсхейму всю ду на (0, 2π) ⁿ ,а ири р=n>1 эmо, вообще говоря, не mак.     

On the approximation by de la Vallée Poussin sums and interpolatory polynomials in Lipschitz norms

ПустьM ^m,α - множество 2π-п ериодических функци йf с конечной нормой $$||f||_{p,m,\alpha } = \sum\limits_{k = 1}^m {||f^{(k)} ||_{_p } + \mathop {\sup }\limits_{h \ne 0} |h|^{ - \alpha } ||} f^{(m)} (o + h) - f^{(m)} (o)||_{p,} $$ где1 ≦ p ≦ ∞, 0≦α≦1. Рассмотр им средние Bалле Пуссе на $$(\sigma _{n,1} f)(x) = \frac{1}{\pi }\int\limits_0^{2x} {f(u)K_{n,1} (x - u)du} $$ и $$(L_{n,1} f)(x) = \frac{2}{{2n + 1}}\sum\limits_{k = 1}^{2n} {f(x_k )K_{n,1} } (x - x_k ),$$ де0≦l≦n и x _k=2kπ/(2n+1). В работе по лучены оценки для вел ичин \(||f - \sigma _{n,1} f||_{p,r,\beta } \) и $$||f - L_{n,1} f||_{p,r,\beta } (r + \beta \leqq m + \alpha ).$$      

On signum type orthonormal systems

Доказываются две тео ремы В которых для класса ортонормированных с истем типа сиг-нум устанавливаются те ж е свойства сходимост и, что и для класса всех ортонорм ированных систем. Теорема 1.Ряд Σс _n φ _п с з аданными коэффициен тами {с _п тогда и талька то гда является безусловно сходящим ся почти всюду для все х ортонормированных с истем типасигнум (опр еделен-ных на (0,1)), когда выполнено у словие $$\mathop \sum \limits_{k = 0}^\infty \left[ {\mathop \sum \limits_{n = 2^{2^k } + 1}^{2^{2^{k + 1} } } (c_n^* )^2 \log ^2 n} \right]^{1/2}< \infty $$ , где с _n ^* — невозрастающ ая перестановка последовательности { с_n¦. Для класса равномерн о ограниченных ортонормированных с истем это утверждени е было установлено К. Тандор и [7]. Теорема 2.Если 0<λ ₁≦λ ₂≦ ... —последовательнос ть чисел, для которой Σλ _n ^?1 =∞,то существует такая орт онормированная сист ема типа сигнум {φ _n } (определе нная на (0,1)), что почти всюду на (0,1) Для ортонормированн ых систем не типа сигн ум это утверждение было док азано в [6] (теорема X). Приведенные результ аты дают ответ на вопр осы, поставленные Тандор и ([6], [7]).     

On the approximation of periodic functions by de la Vallée Poussin sums

Пустьf — непрерывная периодическая функц ия,s _n (f) — сумма Фурье порядкаn функцииf,E _n (f) — наилучшее прибли жениеf тригонометри ческими полиномами порядкаn в чебьппев-ской метрике и $$\sigma _{n, m} (f) = \frac{1}{{m + 1}}\mathop \sum \limits_{v = n - m}^n s_v (f) (0 \leqq m \leqq n; n = 0, 1, \ldots )$$ — суммы Bалле Пуссена ф ункцииf Для любой последовательностиε={ε_v} (v=0, l,...),ε _v ↓0(v→∞) обозначим чер езC(ε) класс непрерывн ых функцийf, для которыхE _v (f)≦ε _v (v=0,1,...). В работе устанавли вается, что существую т абсолютные положите льные кон-стантыa ₁ иa ₂ такие, что $$A_1 \mathop \sum \limits_{v = 0}^n \frac{{\varepsilon _{n - m + v} }}{{m + v + 1}} \leqq \mathop {\sup }\limits_{f \in C(\varepsilon )} \parallel f - \sigma _{n, m} (f)\parallel \leqq A_2 \mathop \sum \limits_{v = 0}^n \frac{{\varepsilon _{n - m + v} }}{{m + v + 1}}$$ для всех 0≦m≦n; n=0, l, ... В частн ых случаяхт=п иm=0 этот результат равноси-ле н теоремам, установлен ным ранее автором и К. И. Осколковым.     

On some properties of trigonometric series with monotone decreasing coefficients

В статье рассматрива ются одномерные и дву мерные тригонометрические ряды с моно-тонными коэффициентами. Дает ся пример двойного тригонометрическог о ряда (1) $$\mathop \sum \limits_{n,k = 1}^\infty a_{nk} \sin nx\sin ky,$$ , коэффициенты которо го монотонны поk и поп, любая последовательность \(\{ S_{n_k m_k } (x,y)\} _{k = 1}^\infty\) прямоугольных части чных сумм ряда (1), где min(n _k ,m _k )→∞ приk→∞, расходится по чти всюду на (0,n)². Кроме того, изучается мера множеств нулей ф ункций (2) $$f(x) = \frac{{a_0 }}{2} + \mathop \sum \limits_{n = 1}^{a_0 } a_n \cos nx\tilde f(x) = \mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty a_n \sin nx,$$ , гдеа _n ↓ приn→ ∞, и доказ ьшается несколько те орем о скорости убывания ко эффициентовa _n рядов (2), если все част ичные суммыS _n (f,x) или \(S_n (\tilde f,x)\) дляn=1,2,... неотрицате ль-ны на (0,n).     

Bell Numbers, Log-Concavity, and Log-Convexity

Let {b _k (n)} _n=0 ^∞ be the Bell numbers of order k. It is proved that the sequence {b _k (n)/n!} _n=0 ^∞ is log-concave and the sequence {b _k (n)} _n=0 ^∞ is log-convex, or equivalently, the following inequalities hold for all n?0, $$1 \leqslant \frac{{b_k (n + 2)b_k (n)}}{{b_k (n + 1)^2 }} \leqslant \frac{{n + 2}}{{n + 1}}$$ . Let {α(n)} _n=0 ^∞ be a sequence of positive numbers with α(0)=1. We show that if {α(n)} _n=0 ^∞ is log-convex, then α(n)α(m)?α(n+m), ?n,m?0. On the other hand, if {α(n)/n!} _n=0 ^∞ is log-concave, then $$\alpha (n + m) \leqslant \left( {\begin{array}{*{20}c} {n + m} \\ n \\ \end{array} } \right)\alpha (n)\alpha (m),{\text{ }}\forall n,m \geqslant 0$$ . In particular, we have the following inequalities for the Bell numbers $$b_k (n)b_k (m) \leqslant b_k (n + m) \leqslant \left( {\begin{array}{*{20}c} {n + m} \\ n \\ \end{array} } \right)b_k (n)b_k (m),{\text{ }}\forall n,m \geqslant 0$$ . Then we apply these results to characterization theorems for CKS-space in white noise distribution theory.     

Continuous additive functions and difference equations of infinite order

Пустьq∈(1, 2) иL=(q?1)^?1. Дляz∈[0,L] обозначимδ(z) функцию, для которойδ(z)=1, еслиz≧1/q иδ(z)=0, еслиz<1/q. Пустьy(z) определяется из урав ненияz= =δ(z)q ^?1+y(z)q ^?1, и регулярное представление \(\mathop \Sigma \limits_{n = 1}^\infty \varepsilon _n \left( x \right)q^{ - n} \) аргументах определя ется из следующих соотношен ий: $$x = x_0 , \varepsilon _n \left( x \right) = \delta \left( {x_n } \right), x_{n + 1} = y\left( {x_n } \right).$$ ФункцияF: [0,L]→C называе тся аддитивной, если о на представляется в вид е $$F\left( x \right) = \mathop \Sigma \limits_{n = 1}^\infty \varepsilon _n \left( x \right)a_n ,$$ где ε ¦a _n ¦<∞. «Бесконеч ное» представление 1=εl _i q ^?1 числа 1 определяется с ледующим образом: еслие _n (1)=1 для б есконечно многихп, т оl _n =ε _n (1) (n=1, 2, ...); если ? максим альный индекс, для которогоε _s (1)=1, то $$l_{ks + 1} = \left\{ \begin{gathered} \varepsilon _i \left( 1 \right) \left( {k = 0, 1, 2, ...; i = 1, ..., s - 1} \right) \hfill \\ 0 \left( {i = 0; k = 1, 2, ...} \right). \hfill \\ \end{gathered} \right.$$ В более ранней работе, опубликованной в это м журнале, авторы доказали, что а ддитивная функция является неп рерывной на отрезке [0,L] тогда и только тогда, когда ра венство $$a_n = \mathop \Sigma \limits_{i = 1}^\infty l_i a_{n + 1} $$ выполняется для всехn∈N. В настоящей работе ра ссматриваются непре рывные функции для которых в ыполняются дополнительные усло вия видаa _n =O(q ^??n ) (0a _n ≧0. Анализируются их свя зи с корнями функцииG(z)=1 +ε l _i z ⁱ . Доказы вается, что непрерывн ая аддитивная функция и ли вляется линейной, или нигде не дифференцир уема на отрезке [0,L].     

ОБ ИНтЕРпОлИРОВАНИИ В кОМплЕксНОИ ОБлАст И

LetD be a simply connected domain, the boundary of which is a closed Jordan curveγ; \(\mathfrak{M} = \left\{ {z_{k, n} } \right\}\) , 0≦k≦n; n=1, 2, 3, ..., a matrix of interpolation knots, \(\mathfrak{M} \subset \Gamma ; A_c \left( {\bar D} \right)\) the space of the functions that are analytic inD and continuous on \(\bar D; \left\{ {L_n \left( {\mathfrak{M}; f, z} \right)} \right\}\) the sequence of the Lagrange interpolation polynomials. We say that a matrix \(\mathfrak{M}\) satisfies condition (B _m ), \(\mathfrak{M}\) ∈(B _m ), if for some positive integerm there exist a setB _m containingm points and a sequencen _{p p=1} ^∞ of integers such that the series \(\mathop \Sigma \limits_{p = 1}^\infty \frac{1}{{n_p }}\) diverges and for all pairsn _i ,n _j ∈{n _p } _p=1 ^∞ the set \(\left( {\bigcap\limits_{k = 0}^{n_i } {z_{k, n_i } } } \right)\bigcap {\left( {\bigcup\limits_{k = 0}^{n_j } {z_{k, n_j } } } \right)} \) is contained inB _m . The main result reads as follows. {Let D=z: ¦z¦ \(\Gamma = \partial \bar D\) and let the matrix \(\mathfrak{M} \subset \Gamma \) satisfy condition (B_m). Then there exists a function \(f \in A_c \left( {\bar D} \right)\) such that the relation $$\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } \left| {L_n \left( {\mathfrak{M}, f, z} \right)} \right| = \infty $$ holds almost everywhere on γ.     

On certain estimates for orthogonal polynomials depending on parameters

Рассматривается сис тема ортогональных м ногочленов {P _n (z)} ₀ ^∞ , удовлетворяющ их условиям $$\frac{1}{{2\pi }}\int\limits_0^{2\pi } {P_m (z)\overline {P_n (z)} d\sigma (\theta ) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {0,m \ne n,P_n (z) = z^n + ...,z = \exp (i\theta ),} \\ {h_n > 0,m = n(n = 0,1,...),} \\ \end{array} } \right.} $$ где σ (θ) — ограниченная неу бывающая на отрезке [0,2π] функция с бесчисленным множе ством точек роста. Вводится последовательность параметров {а_{n 0} ^∞ , независимых дру г от друга и подчиненных единств енному ограничению { ¦а_n¦<1} ₀ ^∞ ; все многочлены {Р _n (z)} 0/∞ можно найти по формуле $$P_0 = 1,P_{k + 1(z)} = zP_k (z) - a_k P_k^ * (z),P_k^ * (z) = z^k \bar P_k \left( {\frac{1}{z}} \right)(k = 0,1,...)$$ . Многие свойства и оце нки для {P _n (z)} ₀ ^∞ и (θ) можн о найти в зависимости от этих параметров; например, условие \(\mathop \Sigma \limits_{n = 0}^\infty \left| {a_n } \right|^2< \infty \) , бо лее общее, чем условие Г. Cerë, необходимо и достато чно для справедливости а симптотической форм улы в области ¦z¦>1. Пользуясь этим ме тодом, можно найти также реш ение задачи В. А. Стекло ва.     

On the convergence rate of the partial sums of positive entire Dirichlet series

Пусть Λ=(λ_n) — возрастаю щая к+∞ последователь ность неотрицательных чис ел, λ₀=0, а S₊(Λ) — класс абсолют но сходящихся в С рядо в Дирихле вида $$F\left( z \right) = \mathop \sum \limits_{k = 0}^\infty a_k \exp \left\{ {z\lambda _k } \right\},$$ где a₀=1 и a_k>0 (k∈N). Положим $$\begin{gathered} S_n \left( z \right) = \mathop \sum \limits_{k = 1}^\infty a_k \exp \left\{ {z\lambda _k } \right\}, \hfill \\ \sigma _n \left( F \right) = \max \left\{ {\frac{1}{{S_n \left( x \right)}} - \frac{1}{{F\left( x \right)}}:x \in R} \right\}. \hfill \\ \end{gathered} $$ Доказано, что для того, чтобы для любой функц ии F∈S₊(Λ) выполнялось равенст во $$\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{\ln n}}\ln \frac{1}{{\sigma _n \left( F \right)}} = + \infty ,$$ необходимо и достато чно, чтобы $$\mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty \frac{1}{{n\lambda _n }}< + \infty .$$ Аналогичные результ ы получены для различ ных подклассов классаS ₊ (Λ), определяемых условиями на убывани е коэффициентова _n.     

On coefficients of null-series and on sets of uniqueness of trigonometric and Walsh systems

В работе доказываютс я следующие утвержде ния. Теорема I.Пусть ? _n ↓0u \(\sum\limits_{n = 0}^\infty {\varepsilon _n^2 = + \infty } \) .Тогд а существует множест во Е?[0, 1]с μЕ=0 такое что:1. Существует ряд \(\sum\limits_{n = 0}^\infty {a_n W_n } (t)\) с к оеффициентами ¦а _n ¦≦{in¦n¦, который сх одится к нулю всюду вне E и ε∥a_n∥>0.2. Если b _n ¦=о(ε _n )и ряд \(\sum\limits_{n = 0}^\infty {b_n W_n (t)} \) сх одится к нулю всюду вн е E за исключением быть может некоторого сче тного множества точе к, то b _n =0для всех п. Теорема 3.Пусть ? _n ↓0u \(\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } \frac{{\varepsilon _n }}{{\varepsilon _{2n} }}< \sqrt 2 \) Тогд а существует множест во E?[0, 1] с υ E=0 такое, что:

1. Существует ряд \(\sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {a_n e^{inx} ,} \sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {\left| {a_n } \right|} > 0,\) кот орый сходится к нулю в сюду вне E и ¦a_n≦¦n¦ для n=±1, ±2, ...
2. Если ряд \(\sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {b_n e^{inx} } \) сходится к нулю всюду вне E и ¦b_v¦=о(ε ¦n¦), то b_n=0 для всех я. Теорема 5. Пусть послед овательности S⁽¹⁾={ε ₀ ⁽¹⁾ , ε ₁ ⁽¹⁾ , ε ₂ ⁽¹⁾ , ...} u S²=ε ₀ ⁽²⁾ , ε ₁ ⁽²⁾ . ε ₂ ⁽²⁾ монотонно стремятся к нулю, \(\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } \varepsilon ^{(i)} /\varepsilon _{2n}^{(i)}< 2,i = 1,2\) , причем \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \varepsilon _n^{(2)} /\varepsilon _n^{(i)} = + \infty \) . Тогда для каждого ε>O н айдется множество Е? [-π,π], μE >2π — ε, которое является U(S¹), но не U(S¹) — множеством для тригонометричес кой системы. Аналог теоремы 5 для си стемы Уолша был устан овлен в [7].

     

On the divergence of de la Vallée Poussin means of Fourier series

Пусть {λ _{n 1} ^t8 — монотонн ая последовательнос ть натуральных чисел. Дл я каждой функции fεL(0, 2π) с рядом Фурье строятся обобщенные средние Bалле Пуссена $$V_n^{(\lambda )} (f;x) = \frac{{a_0 }}{2} + \mathop \sum \limits_{k = 1}^n (a_k \cos kx + b_k \sin kx) + \mathop \sum \limits_{k = n + 1}^{n + \lambda _n } \left( {1 - \frac{{k - n}}{{\lambda _n + 1}}} \right)\left( {a_k \cos kx + b_k \sin kx} \right).$$ Доказываются следую щие теоремы.

1. Если λ_n=o(n), то существуе т функция fεL(0, 2π), для кот орой последовательность {V_n ^(λ)(?;x)} расходится почти вс юду.
2. Если λ_n=o(n), то существуе т функция fεL(0, 2π), для кот орой последовательность $$\left\{ {\frac{1}{\pi }\mathop \smallint \limits_{ - \pi /\lambda _n }^{\pi /\lambda _n } f(x + t)\frac{{\sin (n + \tfrac{1}{2})t}}{{2\sin \tfrac{1}{2}t}}dt} \right\}$$ расходится почти всю ду

.     

Identities for Bernoulli polynomials and Bernoulli numbers

We prove that if m and \({\nu}\) are integers with \({0 \leq \nu \leq m}\) and x is a real number, then

1. $$\sum_{k=0 \atop k+m \, \, odd}^{m-1} {m \choose k}{k+m \choose \nu} B_{k+m-\nu}(x) = \frac{1}{2} \sum_{j=0}^m (-1)^{j+m} {m \choose j}{j+m-1 \choose \nu} (j+m) x^{j+m-\nu-1},$$ where B _n (x) denotes the Bernoulli polynomial of degree n. An application of (1) leads to new identities for Bernoulli numbers B _n . Among others, we obtain
2. $$\sum_{k=0 \atop k+m \, \, odd}^{m -1} {m \choose k}{k+m \choose \nu} {k+m-\nu \choose j}B_{k+m-\nu-j} =0 \quad{(0 \leq j \leq m-2-\nu)}. $$ This formula extends two results obtained by Kaneko and Chen-Sun, who proved (2) for the special cases j = 1, \({\nu=0}\) and j = 3, \({\nu=0}\) , respectively.

     

Lacunary subsets of orthonormal sets

В РАБОтЕ РАссМАтРИВА УтсьS _Р-пОДсИстЕМы О. Н.с. В ЧАстНОстИ, ДОкАжыВА Етсь слЕДУУЩАь тЕОРЕ МА, кОтОРАь НЕУсИльЕМА. тЕОРЕМА.пУсть Р>2 —ЧЕ тНОЕ ЧИслО, δ — пРОИжВО льНОЕ ЧИслО, 0<δ≦p?2,Φ= {Φ _n(x)} _n=1 ^N —O.H.C.,x?[0,1],пРИЧЕМ ∥ Φ _n∥_p≦M, n=1,2,...,N, гДЕР=Р+δ, 0М<∞. тОгДА Иж сИстЕМы Ф МОж НО ВыБРАть пОДсИстЕМ У \(\Phi ' = \left\{ {\varphi _{n_k } } \right\}_{k = 1}^{N'} ,N' \geqq N^{\alpha (\delta )} ,\alpha (\delta ) = \frac{{2\delta }}{{p(p - 2 + \delta )}}\) , тАкУУ, ЧтО Дль лУБОгО п ОлИНОМА \(P(x) = \sum\limits_{k = 1}^{N'} {a_k \varphi _{n_k } (x)} \) ИМЕЕ т МЕстО ОцЕНкА $$(\mathop \sum \limits_{k = 1}^{{\rm N}'} a_k^2 )^{1/2} \leqq \left\| P \right\|_p \leqq c_{p,M,\delta } (\mathop \sum \limits_{k = 1}^{{\rm N}'} a_k^2 )^{1/2} $$ (c _p, m, δ — пОстОьННАь, жАВИ сьЩАь тОлькО Отp, M, δ, НО НЕ От N ИлИ кОЁФФИцИЕНтОВ пО лИ-НОМА). пРИВОДьтсь И ДРУгИЕ РЕжУльтАты А НАлОгИЧНОгО хАРАктЕ РА.     

О коэффициентах рядо в Фурье по множествам

The following statement is proved: Theorem.Let f(x), 0≦x≦2π, possess the Fourier expansion $$\mathop \sum \limits_{\kappa = - \infty }^\infty c_\kappa e^{in} \kappa ^x with \bar c_\kappa = c_{ - \kappa } , n_\kappa = - \bar n_{ - \kappa }$$ where {n _k } is a Sidon sequence. Then in order to have $$\mathop \sum \limits_{\kappa = - \infty }^\infty |c_\kappa |^p< \infty$$ for a given p, 1 $$\mathop \sum \limits_{k = 1}^\infty \left( {\frac{{\left\| f \right\|L^k (0,2\pi )}}{k}} \right)^p< \infty$$ . An analogous statement holds true for series with respect to the Rademacher system.     

Integral representations for some classes of functions holomorphic in a strip or in a half-plane

В данной работе рассм атриваются классы фу нкцийf(z), голоморфные в област иa (?∞<a<b≦+∞) приp≧1 иs≧0, и у довлетворяющие одному из следующих условий:

1. Еслиb≦+∞, то $$\int\limits_a^b {(\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\left| {f\left( {x + iy} \right)} \right|^p } dy)^s dx< + \infty .} $$
2. Еслиb=+∞, иa=0, то $$\int\limits_0^u {(\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\left| {f\left( {x + iy} \right)} \right|^p } dy)^s dx \leqq \varrho \left( u \right), u > 0,} $$ где?(u) — функция опред еленного роста.

Результаты работы су щественно обобщают т еорему Пэли—Винера о параме трическом представлений класс аH ₂ на полуплоскости.