On the strong summation of Fourier series with variable exponents

Пустьf 2π-периодическ ая суммируемая функц ия, as _k (x) еë сумма Фурье порядк аk. В связи с известным ре зультатом Зигмунда о сильной суммируемости мы уст анавливаем, что если λn→∞, то сущес твует такая функцияf, что почти всюду $$\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } \left\{ {\frac{1}{n}\mathop \sum \limits_{k = n + 1}^{2n} |s_k (x) - f(x)|^{\lambda _{2n} } } \right\}^{1/\lambda _{2n} } = \infty .$$ Отсюда, в частности, вы текает, что если λn?∞, т о существует такая фун кцияf, что почти всюду $$\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } \left\{ {\frac{1}{n}\mathop \sum \limits_{k = 0}^n |s_k (x) - f(x)|^{\lambda _k } } \right\}^{1/\lambda _n } = \infty .$$ Пусть, далее, ω-модуль н епрерывности и $$H^\omega = \{ f:\parallel f(x + h) - f(x)\parallel _c \leqq K_f \omega (h)\} .$$ . Мы доказываем, что есл и λ _n ?∞, то необходимым и достаточным условие м для того, чтобы для всехf∈H ^ω выполнялос ь соотношение $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left\{ {\frac{1}{n}\mathop \sum \limits_{k = n + 1}^{2n} |s_k (x) - f(x)|^{\lambda _n } } \right\}^{1/\lambda _n } = 0(x \in [0;2\pi ])$$ является условие $$\omega \left( {\frac{1}{n}} \right) = o\left( {\frac{1}{{\log n}} + \frac{1}{{\lambda _n }}} \right).$$ Это же условие необхо димо и достаточно для того, чтобы выполнялось соотнош ение $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{n + 1}}\mathop \sum \limits_{k = 0}^n |s_k (x) - f(x)|^{\lambda _k } = 0(f \in H^\omega ,x \in [0;2\pi ]).$$      

On linear summation methods of Fourier series

Получены новые оценк иL-нормы тригонометр ических полиномов $$T_n (t) = \frac{{\lambda _0 }}{2} + \mathop \sum \limits_{k = 1}^n \lambda _k \cos kt$$ в терминах коэффицие нтовλ _k и их разностейΔλ _k=λ _k?λ _k?1: (1) $$\mathop \smallint \limits_{ - \pi }^\pi |T_n (t)|dt \leqq \frac{c}{n}\mathop \sum \limits_{k = 0}^n |\lambda _\kappa | + c\left\{ {x(n,\varphi )\mathop \sum \limits_{k = 0}^n \Delta \lambda _\kappa \mathop \sum \limits_{l = 0}^n \Delta \lambda _l \delta _{\kappa ,l} (\varphi )} \right\}^{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}} ,$$ где $$\kappa (n,\varphi ) = \mathop \smallint \limits_{1/n}^\pi [t^2 \varphi (t)]^{ - 1} dt, \delta _{k,1} (\varphi ) = \mathop \smallint \limits_0^\infty \varphi (t)\sin \left( {k + \frac{1}{2}} \right)t \sin \left( {l + \frac{1}{2}} \right)t dt,$$ a ?(t) — произвольная фун кция ≧0, для которой опр еделены соответствующие инт егралы. Из (1) следует, что методы $$\tau _n (f;t) = (N + 1)^{ - 1} \mathop \sum \limits_{k = 0}^{\rm N} S_{[2^{k^\varepsilon } ]} (f;t), n = [2^{N\varepsilon } ],$$ являются регулярным и для всех 0<ε≦1/2. ЗдесьS _m (f, x) частные суммы ряда Фу рье функцииf(x). В статье исследуется многомерный случай. П оказано, что метод суммирования (о бобщенный метод Рисса) с коэффиц иентами $$\lambda _{\kappa ,l} = (R^v - k^\alpha - l^\beta )^\delta R^{ - v\delta } (0 \leqq k^\alpha + l^\beta \leqq R^v ;\alpha \geqq 1,\beta \geqq 1,v< 0)$$ является регулярным, когда δ > 1.     

A conjecture of Erdős and Reddy and the rational approximation of Mittag-Leffler type functions

Пусть \(f(z) = \mathop \sum \limits_{k = 0}^\infty a_k z^k ,a_0 \ne 0, a_k \geqq 0 (k \geqq 0)\) — целая функци я,π _n — класс обыкновен ных алгебраических мног очленов степени не вы ше \(n,a \lambda _n (f) = \mathop {\inf }\limits_{p \in \pi _n } \mathop {\sup }\limits_{x \geqq 0} |1/f(x) - 1/p(x)|\) . П. Эрдеш и А. Редди высказали пр едположение, что еслиf(z) имеет порядок ?ε(0, ∞) и $$\mathop {\lim sup}\limits_{n \to \infty } \lambda _n^{1/n} (f)< 1, TO \mathop {\lim inf}\limits_{n \to \infty } \lambda _n^{1/n} (f) > 0$$ В данной статье показ ано, что для целой функ ции $$E_\omega (z) = \mathop \sum \limits_{n = 0}^\infty \frac{{z^n }}{{\Gamma (1 + n\omega (n))}}$$ , где выполняется $$\lambda _n^{1/n} (E_\omega ) \leqq \exp \left\{ { - \frac{{\omega (n)}}{{e + 1}}} \right\}$$ , т.е. $$\mathop {\lim sup}\limits_{n \to \infty } \lambda _n^{1/n} (E_\omega ) \leqq \exp \left\{ { - \frac{1}{{\rho (e + 1)}}} \right\}< 1, a \mathop {\lim inf}\limits_{n \to \infty } \lambda _n^{1/n} (E_\omega ) = 0$$ . ФункцияE _ω (z) имеет порядок ?.     

Existence of 2D Skyrmions

In this paper, we consider the 2D Skyrme model $$E(u)=\frac{1}{2} \int\limits_{R^2}|du|^2dx+\frac{\lambda}{4} \int\limits_{R^2}|du\wedge du|^2dx+\frac{\mu}{16} \int\limits_{R^2}|u-{\bf{n}}|^4dx,$$ where ?? and??? > 0 are positive coupling constants and n = (0, 0, 1) is the north pole of S ². We derive a lower bound of 2D Skyrme model. Using this estimate, we prove the existence of 2D Skyrmion for any positive coupling constants ??, ??.     

Criterion of polynomial increase of a function and its derivatives

ДОкАжАНО, ЧтО Дль тОгО, ЧтОБы Дльr РАж ДИФФЕРЕНцИРУЕМОИ НА пРОМЕжУткЕ [А, + ∞) ФУНкцИИf сУЩЕстВОВА л тАкОИ МНОгОЧлЕН (1) $$P(x) = \mathop \Sigma \limits_{\kappa = 0}^{r - 1} a_k x^k ,$$ , ЧтО (2) $$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (f(x) - P(x))^{(k)} = 0,k = 0,1,...,r - 1,$$ , НЕОБхОДИМО И ДОстАтО ЧНО, ЧтОБы схОДИлсь ИН тЕгРАл (3) $$\int\limits_a^{ + \infty } {dt_1 } \int\limits_{t_1 }^{ + \infty } {dt_2 ...} \int\limits_{t_{r - 1} }^{ + \infty } {f^{(r)} (t)dt.}$$ ЕслИ ЁтОт ИНтЕгРАл сх ОДИтсь, тО Дль кОЁФФИц ИЕНтОВ МНОгОЧлЕНА (1) ИМЕУт МЕс тО ФОРМУлы $$\begin{gathered} a_{r - m} = \frac{1}{{(r - m)!}}\left( {\mathop \Sigma \limits_{j = 1}^m \frac{{( - 1)^{m - j} f^{(r - j)} (x_0 )}}{{(m - j)!}}} \right.x_0^{m - j} + \hfill \\ + ( - 1)^{m - 1} \left. {\mathop \Sigma \limits_{l = 0}^{m - 1} \frac{{x_0^l }}{{l!}}\int\limits_a^{ + \infty } {dt_1 } \int\limits_{t_1 }^{ + \infty } {dt_2 ...} \int\limits_{t_{m - l - 1} }^{ + \infty } {f^{(r)} (t_{m - 1} )dt_{m - 1} } } \right),m = 1,2,...,r. \hfill \\ \end{gathered}$$ ДОстАтОЧНыМ, НО НЕ НЕОБхОДИМыМ Усл ОВИЕМ схОДИМОстИ кРА тНОгО ИНтЕгРАлА (3) ьВльЕтсь схОДИМОсть ИНтЕгРАл А \(\int\limits_a^{ + \infty } {x^{r - 1} f^{(r)} (x)dx}\)      

Fourier coefficients of cusp forms

Let ψ₁,ψ₂,ψ₃,... be an orthonormal basis of the space of cusp forms of weight zero for the full modular group. Let be the Fourier series expansion. The following theorem is proved: Let σ∈(1/4, 1/2); letf be a holomorphic function on the strip |Res|≦σ, satisfyingf(?s)=f(s) and $$f(s) = \mathcal{O}(|\tfrac{1}{4} - s^2 |^{ - 2} |cos \pi s|^{ - 1} )$$ on this strip; letm andn be non-zero integers, then $$\sum\limits_{j = 1}^\infty {f(s_j )\bar \gamma _{jm} \gamma _{jn} } $$ converges and is equal to $$\begin{gathered} - (2\pi i)^{ - 1} \int\limits_{\operatorname{Re} s = 0} {f(s)c_{00} ( - s)c_{0|m|} (s)c_{0|n|} (s)ds} \hfill \\ + (2\pi i)^{ - 1} (4\pi |m|)^{ - 1} \int\limits_{\operatorname{Re} s = 0} {f(s)c_{mn} (s)2sds} \hfill \\ - \delta _{mn} (2\pi i)^{ - 1} (4\pi |m|)^{ - 1} \int\limits_{\operatorname{Re} s = 0} {f(s)\sin \pi s2sds.} \hfill \\ \end{gathered} $$ The functionsc ₀₀(s) andc _0|m|(s) are coefficients occurring in the Fourier series expansion of the Eisenstein series; the functionc _mn(s) is a coefficient in the Fourier series expansion of a Poincaré series. The theorem is applied to obtain some asymptotic results concerning the Fourier coefficients γ_jn. Under additional conditions on the functionf the formula in the theorem is modified in such a way that the Fourier coefficients of holomorphic cusp forms appear.     

On some local properties of the sum of lacunary trigonometric series

В статье изучается по ведение суммы лакуна рного тригонометрическог о ряда при приближени и к некоторой фиксиров анной произвольной т очке. Первая половина рабо ты посвящена изложен ию метода исследования локаль ных свойств суммы лакунарного ря да, разработанного ав тором. Вторая половина рабо ты посвящена приложе ниям этого метода. Здесь в частно сти, получаются необходи мые и достаточные усл овия для интегрируемости сум мы лакунарного ряда с весом при широк их условиях на вес. При ведем соответствующий рез ультат. Пусть?р(x) — сумма ряда \(a + \sum\limits_{n = 1}^\infty {a_n \cos (\lambda _n x + \psi _n )} \) , гдеа, а _n ,λ _n ,ψ _n — действительные числа,εa _n ^/2 <∞,a _n ≧0,λ _n >0 приn≧1 и \(\mathop {\inf }\limits_{n \geqq 1} \lambda _{n + 1} /\lambda _n > 1\) . При этих условиях функция?(х) определена почти всю ду. Пустьр>0 иω(х) — положительная неуб ывающая функция, определенная при все хх>0, которая при некот оромC>0 удовлетворяет услов ию:ω(2x)≦ ≦Cω(х) при всехх>0. Тогда имеет место Теорема. Для того, чтоб ы интеграл \(\int\limits_{ + 0} {|\varphi (x)|^p \frac{{dx}}{{\omega (x)}}} \) сходился, необходимо и достато чно, чтобы сходились все р яды $$\begin{gathered} \sum\limits_{n = 1}^\infty {D_n (\sum\limits_{k = n}^\infty {a_k^2 } )^{p/2} ,} \sum\limits_{n = 2}^\infty {D_n |a_n + \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {a_k \cos } \psi _k |^p ,} \hfill \\ \sum\limits_{n = 2}^\infty {D_n (pj)|\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {a_k \lambda _k^j \cos (\psi _k + \pi j/2)} |^p ,} j = 1,2,..., \hfill \\ \end{gathered} $$ , где $$D_n = \int\limits_{I_n } {\frac{{dx}}{{\omega (x)}},} D_n (pj) = \int\limits_{I_n } {\frac{{x^{pj} dx}}{{\omega (x)}},} a I_n = [\pi \lambda _n^{ - 1} ,\pi \lambda _{n - 1}^{ - 1} ]$$      

OnL 1-convergence of Walsh-Fourier series I

We prove the convergence in theL ¹(0, 1)-metric of Walsh-Fourier series \(\sum\limits_{k = 0}^\infty {a_k w_k \left( x \right)} \) of an integrable function with coefficients such that lim_n→∞ and the following Tauberian condition of Hardy-Karamata kind is satisfied: $$\mathop {lim}\limits_{\lambda \to 1 + 0} {\text{ }}\mathop {lim}\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = n}^{\left[ {\lambda n} \right]} {k^{p - 1} \left| {\Delta a_k } \right|^p } = 0,$$ , wherep>1, [·] denotes the integral part, and Δa _k=a_k?a_k+1.     

Strong approximation by rectangular partial sums of double orthogonal series

Пусть {? _ik(x):i, k=1, 2,...} — орто нормированная систе ма в пространстве с полож ительной мерой и {a _ik} — последов ательность действит ельных чисел, для которой $$\mathop \sum \limits_{\iota = 1}^\infty \mathop \sum \limits_{\kappa = 1}^\infty a_{ik}^2 \kappa ^2 (i,k)< \infty ,$$ где {x(i, K)} — определенна я неубывающая последовательность положительных чисел. Тогда суммаf(x) двойног о ортогонального ряд а \(\mathop \sum \limits_{\iota = 1}^\infty \mathop \sum \limits_{\kappa = 1}^\infty a_{ik} \varphi _{ik} (x)\) существует в смысле с ходимости в метрикеL ² и сходимос ти почти всюду. Изучае тся порядок так называем ой сильной аппроксимац ииf(x) (при коэффициентн ых условиях) прямоуголь ными частными суммами \(s_{mn} (x) = \mathop \sum \limits_{\iota = 1}^\infty \mathop \sum \limits_{\kappa = 1}^\infty a_{ik} \varphi _{ik} (x)\) . Основной ре зультат состоит в сле дующем. Если {λ_j(m):m=1, 2,...} — неубывающи е последовательност и положительньк чисел, стремящиеся к ∞ и такие, что \(\mathop {\lim \sup }\limits_{m \to \infty } \lambda _j (2m)/\lambda _j (m)< \sqrt 2 \) дляj=1,2, и если $$\mathop \sum \limits_{\iota = 1}^\infty \mathop \sum \limits_{\kappa = 1}^\infty a_{ik}^2 \left[ {\log log (i + 3)} \right]^2 \left[ {\log log (k + 3)} \right]^2 (\lambda _1^2 (i) + \lambda _2^2 (k))< \infty ,$$ TO ПОЧТИ ВСЮДУ $$\left\{ {\frac{1}{{mn}}\mathop \sum \limits_{i = 1}^m \mathop \sum \limits_{\kappa = 1}^m \left[ {s_{ik} (x) - f(x)} \right]^2 } \right\}^{1/2} = o_x (\lambda _1^{ - 1} (m) + \lambda _2^{ - 1} (n))$$ при min (m, n) → ∞.     

Asymptotics of solutions of a system of linear inhomogeneous singularly perturbed differential equations

Solutions with asymptotics in integral and fractional powers of the parameter ? are constructed for the vector differential equation $$\varepsilon ^h \dot X = A(t,\varepsilon ) X + \varepsilon ^{\alpha _1 } p(t,\varepsilon ) \exp \left( {\varepsilon ^{ - h} \int\limits_0^t {\lambda (\tau )d\tau } } \right)$$ in the case of resonance and multiple spectrum of the limit matrix. $$\varepsilon ^h \dot X = A(t,\varepsilon ) X + \varepsilon ^{\alpha _1 } p(t,\varepsilon ) \exp \left( {\varepsilon ^{ - h} \int\limits_0^t {\lambda (\tau )d\tau } } \right)$$      

On a strengthened extremal property of the Carathéodory-Fejér functions

Для заданной на едини чной окружности огра ниченной функцииω(ξ) рассматр ивается усложненная задача а ппроксимации аналит ическими функциями: $$\mathop {\inf }\limits_{\varphi \in H^\infty } \left[ {\left\| {\omega - \varphi } \right\| + \mathop \Sigma \limits_{k = 0}^\infty \varepsilon _k \left| {\lambda _k } \right|} \right],$$ где ∥·∥ понимается вL ^∞,ε _k ≧0 — заданные чис ла, $$\mathop \Sigma \limits_{k = 0}^\infty \varepsilon _k< + \infty ,\varphi (z) = \mathop \Sigma \limits_{k = 0}^\infty \lambda _k z^k .$$ Доказывается, что при всех достаточно малы хε _k экстремальной в этой задаче будет функция обычного наилучшего приближения (та же, что и приε _k =0,k=0, 1, ...). В частности, при $$\omega (\zeta ) = \frac{{\gamma _0 }}{{\zeta ^n }} + \frac{{\gamma _1 }}{{\zeta ^{n - 1} }} + ... + \frac{{\gamma _{n - 1} }}{\zeta }$$ экстремальной оказы вается дробь Каратео дори—Фейера. Переход к двойственн ой задаче позволяет получить т очные оценки для клас са интегралов типа Коши, выделяемого огранич ениями, наложенными на велич ины коэффициентов ря да Тейлора.     

On the continuity of functions in connection with a problem of V. G. Krotov

В РАБОтЕ ДАЕтсь ОтВЕт НА ОДИН ВОпРОс, пОстАВ лЕННыИ В. г. кРОтОВыМ. УстАНОВлЕН О, ЧтО ЕслИ Ф(х) — МОНОтОННО ВО жРАстАУЩАь ФУНкцИь,Ф (0)=0, Ф(2х)≦кФ(х), х[0, ∞), тО $$\left\{ {f:\left\| {\sum\limits_{k = 1}^\infty {\mu _k \Phi (\lambda _k \left| {S_k - f} \right|)} } \right\|_c< \infty } \right\} \subseteqq C \Leftrightarrow \sum\limits_{k = 1}^\infty {\mu _k } \Phi (\lambda _k ) = \infty $$ Дль пРОИжВОльНых НЕО тРИцАтЕльНых ЧИслОВ ых пОслЕДОВАтЕльНОстЕ И {Μ_k} И {λ_k}. (жДЕсьS _k ОБОжНАЧАЕт ЧАстНУУ с УММУ пОРьДкАk РьДА ФУ РьЕ ФУНкцИИf). УстАНОВлЕН О тАкжЕ, ЧтО ВО МНОгИх слУЧАьх $$\left\{ {f:\left\| {\sum\limits_{k = 1}^\infty {\mu _k \Phi (\lambda _k \left| {\tilde S_k - \tilde f} \right|)} } \right\|_c< \infty } \right\} \subseteqq C \Leftrightarrow \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{1}{{k\lambda _k }}} \Phi ^{ - 1} \left( {\frac{1}{{k\mu _k }}} \right)< \infty .$$      

On the convergence rate of the partial sums of positive entire Dirichlet series

Пусть Λ=(λ_n) — возрастаю щая к+∞ последователь ность неотрицательных чис ел, λ₀=0, а S₊(Λ) — класс абсолют но сходящихся в С рядо в Дирихле вида $$F\left( z \right) = \mathop \sum \limits_{k = 0}^\infty a_k \exp \left\{ {z\lambda _k } \right\},$$ где a₀=1 и a_k>0 (k∈N). Положим $$\begin{gathered} S_n \left( z \right) = \mathop \sum \limits_{k = 1}^\infty a_k \exp \left\{ {z\lambda _k } \right\}, \hfill \\ \sigma _n \left( F \right) = \max \left\{ {\frac{1}{{S_n \left( x \right)}} - \frac{1}{{F\left( x \right)}}:x \in R} \right\}. \hfill \\ \end{gathered} $$ Доказано, что для того, чтобы для любой функц ии F∈S₊(Λ) выполнялось равенст во $$\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{\ln n}}\ln \frac{1}{{\sigma _n \left( F \right)}} = + \infty ,$$ необходимо и достато чно, чтобы $$\mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty \frac{1}{{n\lambda _n }}< + \infty .$$ Аналогичные результ ы получены для различ ных подклассов классаS ₊ (Λ), определяемых условиями на убывани е коэффициентова _n.     

On strong summahility of Fourier series and differentiability of functions

ПустьS _n (f, x) — суммы Фурье периодической сумми руемой функцииf(x). Доказано, что если фун кцияФ(u), определенная, непрерывная и выпукл ая вверх для u≧0 (Ф(0)=0), удовлетворяет ус ловию (1) $$\int\limits_{ + 0} {\frac{{du}}{{\Phi (u)}}< \infty ,} $$ то имеет место следую щее вложение классов функций (2) $$S(\Phi ) = \left\{ {f:\mathop {\max }\limits_x \sum\limits_{n = o}^\infty \Phi (\left| {f(x) - S_n (fx)} \right|)< \infty } \right\} \subset Lip1,$$ и, более того, при услов ии (1) все функции из кла ссаS(Ф) непрерывно дифферен цируемы, а их производные имеют равномерно сходящие ся ряды Фурье. Установлено также, чт о если функция Ф удовл етворяет условию lim supФ(u/2)/Ф(u)<1, то условие (1) является н е только достаточным, но и необходимым для влож ения (2).     

Absolute tauberian conditions for absolute hausdorff and quasi-hausdorff methods

The purpose of this paper is to prove that for a large set of absolute Hausdorff and quasi-Hausdorff methods the condition $$\sum\limits_{k = 1}^\infty {\left| {\lambda _n a_n - \lambda _{n - 1} a_{n - 1} } \right|< } \infty $$ is a Tauberian condition, i.e., its fulfillment together with the absolute summability of \(\sum\limits_{n = 0}^\infty {a_n } \) tos implies that \(\sum\limits_{n = 0}^\infty {\left| {a_n } \right|}< \infty \) and \(\sum\limits_{n = 0}^\infty {a_n } = s.\) a _n =s.     

Integral representations for some classes of functions holomorphic in a strip or in a half-plane

В данной работе рассм атриваются классы фу нкцийf(z), голоморфные в област иa (?∞<a<b≦+∞) приp≧1 иs≧0, и у довлетворяющие одному из следующих условий:

1. Еслиb≦+∞, то $$\int\limits_a^b {(\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\left| {f\left( {x + iy} \right)} \right|^p } dy)^s dx< + \infty .} $$
2. Еслиb=+∞, иa=0, то $$\int\limits_0^u {(\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\left| {f\left( {x + iy} \right)} \right|^p } dy)^s dx \leqq \varrho \left( u \right), u > 0,} $$ где?(u) — функция опред еленного роста.

Результаты работы су щественно обобщают т еорему Пэли—Винера о параме трическом представлений класс аH ₂ на полуплоскости.     

О коэффициентах рядо в Фурье по множествам

The following statement is proved: Theorem.Let f(x), 0≦x≦2π, possess the Fourier expansion $$\mathop \sum \limits_{\kappa = - \infty }^\infty c_\kappa e^{in} \kappa ^x with \bar c_\kappa = c_{ - \kappa } , n_\kappa = - \bar n_{ - \kappa }$$ where {n _k } is a Sidon sequence. Then in order to have $$\mathop \sum \limits_{\kappa = - \infty }^\infty |c_\kappa |^p< \infty$$ for a given p, 1 $$\mathop \sum \limits_{k = 1}^\infty \left( {\frac{{\left\| f \right\|L^k (0,2\pi )}}{k}} \right)^p< \infty$$ . An analogous statement holds true for series with respect to the Rademacher system.     

Solvability of the Dirichlet problem for degenerate quasilinear elliptic equations

In a bounded domain of the n -dimensional (n?2) space one considers a class of degenerate quasilinear elliptic equations, whose model is the equation $$\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{\partial F}}{{\partial x_i }}} (a^{\ell _i } (u)\left| {u_{x_i } } \right|^{m_i - 2} u_{x_i } ) = f(x),$$ where x =(x₁,..., x_r), l_i?0, m_i>1, the function f is summable with some power, the nonnegative continuous function a(u) vanishes at a finite number of points and satisfies \(\frac{{lim}}{{\left| u \right| \to \infty }}a(u) > 0\) . One proves the existence of bounded generalized solutions with a finite integral $$\int\limits_\Omega {\sum\limits_{i = 1}^n {a^{\ell _i } (u)\left| {u_{x_i } } \right|^{m_i } dx} }$$ of the Dirichlet problem with zero boundary conditions.     

On the modulus of continuity in connection with a problem of J. Szabados concerning strong approximation

Пустьf(x) — интегрируемая 2π-периодическая функция, aω(f,δ) иs _n(x)=s_n(f, x). соответственно, модуль непрерывности иn-ая сумма Фурье этой функции. В настоящей работе, продолжающей исследования Г. Фрейда, Л. Лейндлера—E. M. Никищина, И. Сабадоша и К. И. Осколкова, доказывается следующая теорема.Если Ω(u) — выпуклая или вогнутая непрерывная функция и если (1) 1 $$\left\| {\left. {\sum\limits_{k = 1}^\infty \Omega (|S_k (x) - f(x)|)} \right\|_C } \right.$$ то 1 $$\omega (f;\delta ) = O\left( {\delta \int\limits_\delta ^1 {\frac{{\bar \Omega (v)}}{{v^2 }}dv} } \right),$$ где ¯Ω(v) —функция, обратная к Ω(и). При этом существует функция f₀(х), удовлетворяющая условию (1), для которой $$\omega (f;\delta ) = c\delta \int\limits_\delta ^1 {\frac{{\bar \Omega (v)}}{{v^2 }}dv} (c > 0).$$ ЕслиΩ(u)— вогнутая функция, то интеграл \(\int\limits_\delta ^1 {\frac{{\bar \Omega (v)}}{{v^2 }}dv} \) можно заменить на \(\int\limits_{\bar \Omega (\delta )}^1 {\frac{{du}}{{\Omega (u)}}.} \) . Отсюда вытекает, что еслиΩ(u) — функция типа модуля непрерывности, то для того, чтобы (1) всегда влекло принадлежность f(x) классу Lip 1, необходимо и достаточно условие \(\int\limits_0^1 {\frac{{du}}{{\Omega (u)}}}< \infty .\)