一道课本习题的推广与应用

高中《平面解析几何》P.191第6题是:“已知四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和,求证两条对角线互相垂直。”其逆命题就是初中《几何》第一册P.223练习第2题。我们将它们统一为:     

勾股数组的表达公式及勾股数组

<正>所谓勾股数组,就是分别以三个正整数为边长的三边能组成直角三角形,满足两直角边的平方和等于斜边的平方,也就是勾与股的平方和等于弦的平方,即满足等式x~2+y~2=z~2①的三个正整数x、y、z组成的一组数称为勾股数组.定理1不定方程(1)的一切正整数解可以用下列公式表示出来:     

初中平面几何基础培优讲座之十一 平行四边形的判定与性质(上)

<正>众所周知,两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形有一系列的性质定理与判定定理,掌握这些定理,是研究平行四边形的基础.性质定理在平行四边形中(1)对角分别相等;(2)对边分别相等;(3)对角线互相平分;(4)对角线的平方和等于四条边的平方之和.其中(1)⁽³⁾是教材内容,可以利用三角形全等的知识证明.(4)可以利用勾股定理证     

方差分析法的简易算法

方差分析是一种常用的数理统计方法.但因其计算过程比较复杂。给现场的应用带来一些困难,下面介绍利用电子计算器作单因素方差分析的简易方法. 方差分析的基本作法是将总变差分解为代表因素效应的因素平方和与代表随机偏差的误差平方和.用以上两个平方和的均方构成服从F分布的统计量,来判断因素效应的显著性. 方差分析的一般步骤,在许多书刊上已有详细的介绍。为了与本文介绍的方法进行比较,现简述如下: (1)将因素处于不同状态下所得到的数据,分组列表如表1.设共有K组,各,组样本容量均为n.(3)计算因素平方和SSC (4)计算误差平方和SSE (5…     

牵“相似形”之手,进“分类讨论”之园

<正>分类讨论是我们常用的一种数学思想方法.在数学题目中,有许多问题需要分不同情况加以考察,这就是分类讨论思想.其一般步骤是:(1)确定同一标准,(2)对全体对象进行分类,做到"不重,不漏",(3)分类讨论,得出结论.下面就相似形中的几个问题加以说明.一、由于对应边不确定,需要分类讨论例1要做两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形框架的三边长为4、5、6,另一个三角形框架的一边长为2,问其余两边长是多少时,可使这两个三角形相似?思路点拨要使两个三角形相似,已知一个三角形的三边和另一个三角形的一边,则我     

三角形面积取值范围的代数求法与几何求法

<正>求三角形面积的取值范围及其最大值问题,能较好考查转化与化归、函数与方程、数形结合等数学思想方法.本文从代数角度与几何角度出发,探究这类动态问题的四种形态.1"一边及其对角"型例1 (2020全国Ⅱ理科第17题改编)在△ABC中,     

课本一道习题的解析与变式探究

<正>数学老师在课堂上讲解例题时,经常引导我们尝试多种解法,还会对题目进行变式探究与拓展.耳濡目染,我也慢慢地养成了这种习惯,并发现它是我学好数学的秘密武器.下面我就以课本的一道习题为例,与大家分享我的秘密武器.习题(人教版必修5P.25B组3)研究一下,是否存在一个三角形具有以下性质:(1)三边是连续的三个自然数;(2)最大角是最小角的2倍.     

一个平行四边形判定定理的简证

《数学通报》2006年第4期上刊登的1601号问题是:凸四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和,求证:此四边形是平行四边形.问题提供人给出的解答过程较为繁复,且技巧性强,不易掌握.笔者提供一种较为简捷的向量证法,供读者参考.证(如图)由题意AC2 BD2=AB2 BC2 CD2 DA2,因为AC=AB     

三角形中线定理的一点应用

平行四边形两对角线(l_1和l_2)的平方和等于各边(邻边为a和b)的平方和,即l_1~2+l_2~2=2(a~2+b~2)。如果令m=l_1/2,c=l_2,代入上式,得m~2=1/2(a~2+b~2)-(1/4)c~2,这就是三角形的中线定理,这里a、b、c为三角形的三边,m为c边上中线。这个定理,不仅可以计算已知三边求它的中线的长,而且对于形如求a~2+b~2的一类问题的最小值颇为简便。例1 已知∠AOB=60°,边OA上有两点P和Q,设OP=a,OQ=b;在边OB上求一点M,使PM~2+OM~2最小,问M点的位置如何?     

一个有趣性质的再推广与证明

《数学通报》2 0 0 0年第 6期《一个有趣性质的拓广》中的命题 1　矩形外接圆周上的任一点到各顶点的距离的平方和为定值 .命题 2　矩形外接圆周上的任一点到各边中点的距离的平方和为定值 .可作进一步的推广 .命题 1′　关于原点成中心对称的多边形的外接圆周上的任一点到各顶点的距离的平方和为定值 .证明　如图所示 ,设ｎ边形Ａ1 Ａ2 …Ａｎ 为关于原点成中心对称的图形 ,点Ｐ(ｘ ,ｙ)为其外接圆上的任一点 ,角θｉ- 1 为有向角 ,记θｉ- 1 =∠Ａ1 ＯＡｉ,｜ＰＡｉ｜为点Ｐ到点Ａ的距离 .则∑ｎｉ=1｜ＰＡｉ｜2= ｘ-Ｒｃｏｓθｉ- 1 2 …     

武汉市MTM教育方式实验的阶段总结会纪要

武汉市《加强数学思想方法的教学,全面提高学生的文化素质研究》(简称MTM)教育方式实验的阶段总结会于2000年5月19日在东西湖区吴家山中学(湖北省示范高中)召开．到会代表26人．     

分块平方和分解

本文定义了分块平方和可分解多项式的概念.粗略地说,它是这样一类多项式,只考虑其支撑集(不考虑系数)就可以把它的平方和分解问题等价地转换为较小规模的同类问题(换句话说,相应的半正定规划问题的矩阵可以分块对角化).本文证明了近年文献中提出的两类方法—分离多项式(split polynomial)和最小坐标投影(minimal coordinate projection)—都可以用分块平方和可分解多项式来描述,证明了分块平方和可分解多项式集在平方和多项式集中为零测集.     

“探索三角形全等的条件(二)”教学实录及评析

1学习目标 (1)知识与技能:掌握三角形全等判定的条件,“角边角”和“角角边”. (2)过程与方法:在探索三角形全等的判定条件及其运用过程中,能够有条理地进行简单推理. (3)经历探索三角形全等的判定条件形成的过程,体会利用分类讨论思想和转化思想获得数学结论的方法.     

中考几何探究中猜想的途径

纵观2005年全国各省市中考数学试题,一类“探究———猜想———证明”的几何探究题成为一大亮点.本文以其中部分题的解答思路为例,总结在几何探究中进行猜想的一些途径.一、借助观察,直观猜想探索数学规律的过程中,观察是一种重要的方法,尤其是在几何探究时,通过仔细观察图形的特征,作出直观猜想,是寻求问题解决思路的最直接和有效的解题途径.图1例1(05山西)如图1所示,正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上,连结BE、DG.(1)观察猜想BE与DG之间的大小关系,并证明你的结论;(2)图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形?若存在,…     

也谈配方法解竞赛题

配方法是初中数学的一种重要思想方法,它广泛应用于初中数学的各个方面,诸如代数式的化简、求值、最值、解方程(组)、不等式等.因而也是初中数学竞赛的一大热点,本文以近几年的竞赛题为例介绍它的常见应用.     

几何计算中的方程思想

<正>数学教材指出"方程是反映现实世界数量关系的一个有效的数学模型",方程思想不仅在代数中应用广泛,它在几何计算中,通过设未知数,列方程(组),将几何问题转化为代数问题,是解决几何问题的一种非常重要的方法.1圆中的计算题例1 (世界数学团体锦标赛题)已知     

关于有限点集的一类几何不等式

<正> §1 引言设 P_1,P_2,…,P_N 是正 N 边形 S_N 的顶点,所有线段 P_iP_j 之长的平方和∑r_(ij)~2记为 N_1;所有三角形△P_iP_jP_k 的面积平方和∑△_(ijk)~2记为 N_2.对 N=3,4,…进行计算表明,总有     

对一道中考压轴题的解析与思考

中考压轴题的主要功能是对不同水平层次的同学进行区分和选拔,突出考查同学们在初中阶段对核心知识和重要数学方法、数学思想的理解和掌握水平.2014年安徽省中考数学压轴题(有改动),以正六边形为背景,命题的立意高、选材精、定位准;解题的入口宽、思路广、方法多,蕴含着丰富的数学思想和解题技巧,是难得的一道好题.一、试题呈现(2014年安徽卷第23题,有改动)如图1,正六边形ABCDEF的边长为a,P是BC边上一动点,过P作PM∥AB     

一组勾股数的再思考

3、4、5是大家非常熟悉的一组勾股数,它满足32 42=52,这个等式的特点是三个数为连续的自然数,且前面两个数的平方和等于第三个数的平方,由此我们思考这样一个问题:在自然数中是否存在2n 1(n=1、2、3、…)个连续自然数,使前面(n 1)个数的平方和等于后n个数的平方和呢?     

数学娱乐圈

数学通讯祝贺读者二千零一新年快乐左图中有新年贺词 :数学通讯祝贺读者二千零一新年快乐 .你不妨一试 :文字若依次换以自然数 1—1 6 ,“讯”的每一笔上的各数之和为 30 .答案 :(上海市行知中学　徐孝舜提供 )数学诗图 1　正六边形左正、右余弦切割 ,倒栽三角平方和 ,周转任一是两邻之积 ,　对角相乘等于一 .解释　①左边自上而下依次为正弦、正切、正割 ,右边为余弦、余切、余割 .② 为倒栽三角 ,两肩膀上的平方和等于另一顶角的平方 ,如ｓｉｎ2 α ｃｏｓ2 α =1 ,ｔａｎ2 α 1 =ｓｅｃ2 α等 .③每一顶点上的三角函数都等于其相邻之…