Zur homogenen Maschine mit Zusatzdrehmassen

Zusammenfassung Unter gewissen Bedingungen liefern die für die Berechnung der Eigenwerte einer homogenen Maschine mit Zusatzdrehmassen maßgebenden transzendenten Gleichungen bei alleiniger Berücksichtigung der reellen Lösungen zu wenig Eigenfrequenzen. Die fehlenden Frequenzen — es handelt sich hierbei stets um die höchsten — erhält man aus den komplexen Lösungen. Es werden, unter Beschränkung auf eine oder zwei Zusatzmassen, die Bedingungen untersucht, bei denen komplexe Eigenwerte auftreten, und die in diesen Fällen geltenden Gleichungen für die Eigenfrequenzen, Momente und Drehwinkel abgeleitet. Neben dem Verhältnis der Trägheitsmomente ist auch dasjenige der Federkonstanten für das Auftreten komplexer Lösungen von Bedeutung, so daß solche, wie man aus den zuständigen Bedingungsgleichungen ersieht, auch bei sehr großen Zusatzmassen vorkommen können. Man kann übrigens zeigen, daß beim Vorhandensein von z Zusatzmassen maximal z komplexe Eigenwerte möglich sind.Es sei hier noch vermerkt, daß sich die gewonnenen Ergebnisse analog auf homogene Schwingungsketten mit Zusatzmassen an den Enden übertragen lassen.     

Die Stabilität rotierender Wellen infolge innerer und äußerer Dämpfung

Zusammenfassung Es wurde das Stabilitätsverhalten einer rotierenden Welle bei gleichzeitigem Vorhandensein von äußerer und innerer Dämpfung untersucht. Die äußere Dämpfungskraft wurde proportional der Absolutgeschwindigkeit vorausgesetzt, während für die innere Reibungskraft zwei verschiedene Gesetze unterschieden wurden, einerseits ein viskoses nach Voigt-Kelvin mit einer Reibungskraft proportional der Verformungsgeschwindigkeit und andererseits ein von Kimball-Lovell experimentell gefundenes Gesetz für Materialdämpfung. Obschon die Stabilitätsbedingungen für die Welle mit einem Freiheitsgrad bekannt sind, wurde in einem ersten Teil eine solche sog. Lavalwelle untersucht, um in einem zweiten Teil, der den Schwerpunkt der Untersuchung darstellt, den Vergleich mit der sog. glatten Welle, also einer Welle mit mehreren Freiheitsgraden im Sinne der Kontinuumsmechanik, zu ermöglichen.Die untersuchten Arten der inneren Reibung liefern bekanntlich für die Lavalwelle zwei grundsätzlich verschiedene Stabilitätsbedingungen: Während für die innere Dämpfung nach Kimball-Lovell ein Minimalverhältnis äußerer zu innerer Reibung genügt, um im ganzen Drehzahlbereich ein stabiles Verhalten zu gewährleisten, ist bei Voraussetzung einer viskosen inneren Dämpfung nach Voigt-Kelvin das nötige Minimalverhältnis im überkritischen Bereich von der Drehzahl linear abhängig.Es wurde gezeigt, daß bei der glatten Welle dieser Unterschied der beiden inneren Dämpfungsarten bezüglich des Stabilitätsverhaltens mindestens bei höheren Drehzahlen grundsätzlich verschwindet. Bei schwacher Dämpfung steigt das notwendige Minimalverhältnis der äußeren zur inneren Dämpfung für den stabilen Lauf mit zunehmenden Drehzahlen progressiv an. Bei größeren Dämpfungswerten hingegen ist die Stabilität von drei Parametern, nämlich der äußeren Dämpfung, die inneren Dämpfung und der Drehzahl, abhängig. Man kann die Parameter als Koordinaten eines räumlichen Koordinatenkreuzes auffassen und das Stabilitätsverhalten durch Aufspannen eines Stabilitätskörpers darstellen; der bei schwacher Dämpfung zu einer Stabilitätskarte degeneriert. Stabilitätskörper und -Karten wurden mitgeteilt und diskutiert. Danach läßt sich das Stabilitätsverhalten der Lavalwelle mindestens im Bereich höherer Drehzahlen nicht auf die glatte Welle übertragen.     

Über den Fahrzustand des Kraftwagens auf einer ebenen Kreisbahn ohne Überhöhung

Zusammenfassung Es wurde ein Verfahren für programmgesteuerte Rechenmaschinen angegeben, das es gestattet, die stationäre Kurvenlage des Kraftwagens und dessen Stabilität gegenüber kleinen Störungen zu bestimmen. Da die derzeit üblichen Fahrgestellkonstruktionen sehr verschiedenartige mechanische Eigenschaften aufweisen, ist von Anfang an angestrebt worden, eine allgemeine Methode zur exakten Berechnung zu entwickeln, ohne auf bauliche Einflüsse näher einzugehen, die vom jeweiligen Fahrzeugtyp zu sehr abhängen und in Form von Kennlinien eingeführt werden können. Auf diese Weise lassen sich auch erweiterte Fragestellungen, z. B. bezüglich Lenkungseigenschaften, behandeln.Die Bewegungsgleichungen des Kraftwagens wurden mittels eines Störungsansatzes in Gleichungen für die stationäre Kreisfahrt und in gewöhnliche lineare homogene Differentialgleichungen für die Störbewegung aufgespalten. Die sieben Gleichungen für den Stationärzustand sind nichtlinear, so daß der gesuchte Zustandsvektor mittels eines Iterationsprozesses berechnet werden muß. Die Untersuchung des Störungszustandes beschränkte sich auf die Bestimmung von Dämpfung und Frequenz der Bahnschwingung. Nick-, Wank- und Hubschwingungen des Wagenkastens blieben unberücksichtigt.Als Beispiel wurde die Fahrlage eines Rennwagens in einer gegebenen Kreisbahn berechnet. Die Variation der Fahrgeschwindigkeit erfolgte dabei von Null bis zur kritischen Geschwindigkeit. Durchgeführt wurden die Berechnungen mittels des digitalen Rechners ER 56 der Technischen Hochschule Stuttgart. Für einen Iterationsschritt benötigte das Programm eine Minute, die Durchrechung des ganzen Beispiels dauerte eineinhalb Stunden.     

Das Schwingungsfundament unter Zufallserregung

Zusammenfassung Neuerdings gewinnt die Aufgabe der Abschirmung mechanischer Schwingungen auch für ununterbrochen, regellos schwingende Erregung an Bedeutung.In der vorliegenden Arbeit wird eine der Aktiv- oder der Passiv-Entstörung dienende federnde Lagerung als einfacher linearer, gedämpfter Schwinger unter statistischer Erregung betrachtet. Als Erregerprozesse werden spezielle Prozesse in die Rechnung eingeführt, die durch bis zu einer Grenzfrequenz ₀ konstante Spektraldichten gekennzeichnet sind. Die damit berechneten Varianzen können zur Beurteilung der Abschirmung von Kräften, Wegen, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen herangezogen werden und gestatten auch einen Vergleich mit den Amplituden, die man für periodische Erregungen berechnet. Aus diesem Vergleich ergibt sich im wesentlichen, daß zwar eine niedrige Eigenfrequenz der federnden Lagerung für die Abschirmung beider Erregerarten günstig ist, daß aber der Einfluß der Dämpfung gegensätzlich zu beurteilen ist. Während bei periodischer Erregung dämpfende Kräfte die Abschirmwirkung grundsätzlich verschlechtern, sind im Gegensatz hierzu dämpfende Kräfte zur Erzielung einer abschirmenden Wirkung bei Zufallserregungen unumgänglich erforderlich. Da Fundamente oft wechselweise bei beiden Erregerarten wirksam sein sollen, ist der Einbau abschaltbarer Dämpfer offenbar vorteilhaft. Derartige Dämpfer wurden schon häufig vorgeschlagen, um einerseits die Fundamentresonanz beim Anlauf und Auslauf gefahrlos durchfahren zu können und um andererseits im stationären Betrieb die volle Abschirmwirkung zu haben.     

Estimation of ultimate safe loads in elastic stability theory

Ultimate safe load estimates are derived for general isotropic materials. Conditions sufficient to assure stability of equilibrium in the dead load traction boundary value problem are obtained from an energy type criterion by application of certain inequalities and by subsequent separation of the incremental shear strain components from the others. Specific estimates are provided for stability of the undistorted states of every isotropic elastic material, and it is shown that the inequalities based upon the estimates derived here imply those given elsewhere; in the natural state of vanishing stress and strain the conclusions are coincident with the classical inequalities for the shear and bulk moduli. General sufficient conditions for stability of equilibrium of an incompressible Mooney-Rivlin body are derived. Simple shear and simple extension analyses for isotropic Hadamard elastic materials reveal that several classical relations can be obtained for this class of materials in the theory of finite strain, and explicit formulae for determination of certain elastic constants and familiar moduli are provided. Sufficient conditions for stability for every such Hadamard elastic material are obtained by special application of the general formulae developed earlier in the work, and particular results for a compressible Mooney-Rivlin type material are given. It is found that these include as a special case our earlier results for the familiar incompressible Mooney-Rivlin body. It happens also that several inequalities usually obtained from certain requirements that assure resonable material response to the loading, but which otherwise have been unrelated to stability, appear here as natural sufficient conditions for stability in the dead load problem. Finally, several of the results are applied to study the problem of stability of an Euler column, and physical implications of the analyses are discussed.

---

Zusammenfassung Für allgemeine isotrope Materialien werden völlig sichere Lastabschätzungen hergeleitet. Bei Randwertproblemen nicht mitgehender Lasten werden hinreichende Bedingungen zur Gewährleistung der Stabilität des Gleichgewichts von einem Energie-Kriterium durch Anwendung verschiedener Ungleichungen und durch nachfolgende Trennung des Zuwachses der Schubspannungskomponenten von den übrigen erhalten. Für die Stabilität unverformter Zustände beliebiger isotroper elastischer Materialien werden spezielle Abschätzungen geliefert. Dabei wird gezeigt, daß die Ungleichungen, die sich aus den hergeleiteten Abschätzungen ergeben, diejenigen anderer Autoren enthalten. Die Ergebnisse stimmen für den spannungs- und verformungsfreien Zustand mit den klassischen Ungleichungen für Schub- und Kompressionsmodul überein. Es werden allgemeine hinreichende Bedingungen für die Stabilität des Gleichgewichts eines inkompressiblen Körpers vom Mooney-Rivlin-Typ abgeleitet. Einfache Schub- und Dehnungsberechnungen für isotrope Hadamard-elastische Materialien zeigen, daß einige klassische Beziehungen in der Theorie endlicher Dehnungen für diese Materialien erhalten werden können, und es werden explizite Formeln für die Bestimmung gewisser elastischer Konstanten und üblicher Moduln angegeben. Hinreichende Stabilitätskriterien werden durch eine spezielle Anwendung der allgemeinen Gleichungen gewonnen und Ergebnisse für ein kompressibles Mooney-Rivlin-Material dargestellt. Es zeigt sich, daß diese unsere früheren Ergebnisse für den inkompressiblen Mooney-Rivlin-Körper als Spezialfall enthalten. Es tritt auch der Fall auf, daß einzelne Ungleichungen, die gewöhnlich aus gewissen Forderungen zur Gewährleistung einer sinnvollen Reaktion des Materials auf die Belastung folgen, die aber auf der anderen Seite keinen Bezug zur Stabilität besitzen, hier als natürliche hinreichende Stabilitätskriterien bei Problemen nicht mitgehender Lasten auftreten. Schließlich werden einige Ergebnisse zur Untersuchung der Stabilität eines Euler-Stabes herangezogen und die physikalische Bedeutung der Rechnungen diskutiert.

     

Stationäre Wärmespannungen mit temperaturabhängigen Stoffwerten

Zusammenfassung Die in Ziffer 4 untersuchten Beispiele zeigten, daß sich bei Vorhandensein eines ungleichmäßigen Temperaturfeldes im Bereich höherer Temperaturen nicht nur die reinen Wärmespannungsfelder gegenüber denjenigen, die unter der Voraussetzung unveränderlicher Stoffwerte berechnet werden können, ändern, sondern daß auch eine Veränderung der durch rein mechanische Einwirkungen hervorgerufenen Spannungsfelder auftritt. Diese lassen sich bei Systemen aus Stahl i. a. (sofern nicht extreme Temperaturunterschiede im System vorhanden sind) vernachlässigen bis auf die Klasse derjenigen Probleme, bei denen die Spannungen am verformten System von denjenigen am unverformten System wesentlich verschieden sind (z. B. bei der Längskraft-Biegung). In diesen Fällen können sich auf Grund der gegenüber der Theorie unveränderlicher Materialwerte größeren Verformungen auch erhebliche Änderungen der Spannungszustände einstellen, so daß man hier die Temperaturabhängigkeit der Stoffwerte berücksichtigen sollte. Die Änderung der reinen Wärmespannungsfelder gegenüber denjenigen, die mittels unveränderlicher Materialwerte bestimmt werden können, ist in der Regel, d. h. wenn die Temperaturunterschiede innerhalb des Systems nicht extrem groß sind, noch nicht allzu groß, so daß man sich auch im Bereich höherer Temperaturen mit der Theorie unveränderlicher Materialwerte E und _t, begnügen können wird, vor allem dann, wenn man die einer mittleren Systemtemperatur entsprechenden Werte benutzt. Dies ist aber, wie der Verfasser schon früher gezeigt hat, i. a. nur dann vertretbar, wenn man der Spannungsberechnung das genaue, die Temperaturveränderlichkeit der Wärmeleitzahl berücksichtigende Temperaturfeld zugrunde legt, da dieses in manchen Fällen von dem mit konstanter Wärmeleitzahl berechneten merklich abweichen kann.     

Zur Festigkeit von umlaufenden und quer zur Drehebene belasteten Stäben,die gelenkig an die Drehachse angeschlossen sind

Zusammenfassung Der gelenkige Anschluß von Drehflügelholmen an der Flügelwurzel erlaubt die Verwendung von so dünnen Holmen, daß die Flügel im Fluge mehr Seilen als biegesteifen Stäben gleichen. Trotzdem ist in den Holmen die restliche Biegespannung für die Festigkeit maßgebend. Es wird ein Verfahren entwickelt, welches gestattet, eine gegebene Biegemomentenverteilung durch Multiplikation mit einem konstanten Faktor bestmöglich der tatsächlichen Biegemomentenverteilung anzupassen. Die Anwendung des Verfahrens auf die Biegemomentenverteilung eines starren Holmes als Ausgangsverteilung liefert eine gute Näherung und gestattet bei gegebener Massen- und Biegesteifigkeitsverteilung die Angabe der Näherungslösung in geschlossener Form [Gleichung (25) bei konstanter Massenverteilung und Steifigkeit]. Die Durchrechnung eines Beispiels zeigt deutlich die eigenartigen hier auftretenden Verhältnisse insofern, als es sich innerhalb weiter Grenzen als unmöglich herausstellt, die im Fluge auftretende Biegespannung im Holm einerseits durch Verstärken der Wanddicken oder durch Vergrößerung des Holmdurchmessers herabzusetzen, während andererseits einer im Fluge sich günstig auswirkenden Verringerung des Holmdurchmessers infolge der Biegespannungen durch das Eigengewicht im Stand Grenzen gesetzt sind. Die Betrachtung der dynamischen Verhältnisse am gleichen Beispiel zeigt, daß erhebliche dynamische Beanspruchungen infolge der Erregung der ersten Eigenschwingung des Holmes durch periodisch veränderliche Luftkräfte auftreten. Eine Ähnlichkeitsbetrachtung an Hand der entwickelten Theorie lehrt, daß die Grenzen für die Vergrößerung von Drehflügelflugzeugen, wenn nur die Beanspruchungen im Fluge in Rechnung gestellt werden, die gleichen sind wie für Starrflügler, daß jedoch die Berücksichtigung der Biegespannungen aus dem Eigengewicht der Flügel im Stand engere Grenzen für die Vergrößerung der Flugzeuge bedingt als bei dem Starrflügler.     

The effects of non-linearities and compressibility on the static and dynamic critical load of non-conservative discrete systems

Summary The non-linear static and dynamic stability of a non-linearly elastic, two degree of freedom system under a partial follower load is thoroughly discussed. Conditions for divergence and flutter instability in the large, in the sense of Lagrange, are established. These conditions may be completely different from those corresponding to linearized analyses. It is found that the static method of analysis is applicable for the entire range of the non- conservativeness loading parameter provided that the material non-linearity is accounted for. The stability or instability of critical states depends on the amount of material non-linearity. The unexpected result that the non-linear static critical load may differ substantially from the corresponding non-linear dynamic critical load is deduced with the aid of a numerical integration of the original non-linear equations of motion. The effects of compressibility as well as of other parameters on such a difference are properly examined. New phenomena which contradict well-known results based on linearized analyses reveal the true instability mechanism of non-conservative systems

---

Auswirkungen von nichtlinearitäten und kompressibilität auf die statische und dynamische kritische last nichtkonservativer diskreter systeme

Übersicht Diskutiert wird die nichtlineare statische und dynamische Stabilität eines nichtlinear elastischen Systems mit zwei Freiheitsgraden bei teilweise mitgehender Last. Bedingungen für die Stabilität im Großen, im Sinne von Lagrange, bei Knicken und Flattern werden aufgestellt. Sie können völlig verschieden von denjenigen einer lirearisierten Analyse sein. Es stellt sich heraus, daß die statische Betrachtung für den gesamten Parameterbereich der nichtkonservativen Last zulässig ist, vorausgesetzt die Material-Nichtlinearität wird berücksichtigt. Die Stabilität oder Instabilität kritischer Zustände hängt vom Grad der Material-Nichtlinearität ab. Das unerwartete Ergebnis, daß nichtlineare statische und dynamische kritische Last wesentlich voneinander abweichen können, folgt aus einer numerischen Integration der Bewegungsgleichungen. Der Einfluß der Kompressibilität und anderer Parameter auf diese Abweichung wird untersucht. Neue Phänomene, die bekannten Ergebnissen der linearen Analyse widersprechen, enthüllen den tatsächlichen Instabilitätsmechanismus nichtkonservativer Systeme.

     

Die Spannungsverhältnisse im Bereich B der Verfestigungskurve von Kadmiumeinkristallen

Zusammenfassung Die vorliegende Arbeit befaßt sich mit der Orientierungsabhängigkeit der Einsatzspannung für den Bereich B der Verfestigungskurven von Zn- und Cd-Einkristallen. Es kann gezeigt werden, daß unter der Voraussetzung, daß die wirksame Spannung als die Summe der angelegten und der inneren Spannung (herrührend von Versetzungsstauungen) aufzufassen ist, Spannungswerte erreicht werden, die eine Aktivierung des Pyramidengleitsystems 2. Art ermöglichen. Versetzungen dieses Systems zusammen mit denen des Basisgleitsystems können unter Energiegewinn reagieren und Versetzungshindernisse bilden, die für die Orientierungsabhängigkeit der Verfestigung verantwortlich gemacht werden können.Vorgetragen auf der Jahrestagung der Deutschen Rheologen in Berlin-Dahlem vom 7.–10. Juni 1966.Die Autoren möchten ihren Dank zum Ausdruck bringen für die freundliche Bereitschaft, mit der die Herren Dr.Täubert und Dr.Lehmann vom III. Physikalischen Institut der Humboldt-Universität in Berlin die Meßeinrichtungen für diese Arbeit zur Verfügung gestellt haben.     

Biegetheorie der Rotationsschale mit flacher,kreisförmiger Erzeugender

Zusammenfassung Bei der Auflösung der Gleichungssysteme von doppelt gekrümmten Schalen treten im allgemeinen so große mathematische Schwierigkeiten auf, daß eine Berechnung der Schnittkräfte nicht möglich ist. In der vorliegenden Arbeit wird gezeigt, daß bei Einführung einiger Näherungen der Spannungszustand einer Rotationsschale mit flacher, kreisförmiger Erzeugender ermittelt werden kann. Sowohl bei der Aufstellung der Gleichgewichtsbedingungen als auch beim Elastizitätsgesetz werden in allen Gleichungen diejenigen Glieder, die die Schalenstärke enthalten, vernachlässigt, soweit sie neben anderen Gliedern vorkommen. Diese Näherung ist nicht gröber als die schon seit jeher bei Schalenberechnungen eingeführten Vereinfachungen des Elastizitätsgesetzes. Bei flachen Schalen können in den Gleichungen weitere Glieder vernachlässigt werden, und es gelingt, das Problem auf zwei homogene partielle Differentialgleichungen vierter Ordnung mit konstanten Koeffizienten für eine Spannungsfunktion und die Normalenverschiebung w zurückzuführen. Die charakteristische Gleichung wird für eine beliebige anisotrope Schale angegeben. Für die Sonderfälle der isotropen Schale und der in der Rotationsrichtung durch Rippen verstärkten Schale können die Wurzeln der charakteristischen Gleichung als einfache Ausdrücke geschrieben werden. Die Schnittkräfte und Verschiebungen der Schale werden aus einer Spannungsfunktion und der Normalenverschiebung berechnet.     

Unsymmetrische Biegung der Kreisplatte von quadratisch veränderlicher Steifigkeit

Zusammenfassung Die Differentialgleichung für die Durchbiegung einer Kreisplatte von quadratisch veränderlicher Steifigkeit wird integriert. Die Lösung der homogenen Gleichung sind unendliche Reihen, die Produkte von hypergeometrischen und trigonometrischen Funktionen enthalten. Die Methode der Variation der Konstanten läßt sich hier nicht so einfach durchführen wie bei der Platte, deren Dicke im Plattenmittelpunkt gleich Null ist, aber das partikuläre Integral der inhomogenen Gleichung kann im allgemeinen durch Probieren gefunden werden. Als Beispiel wird die gleichmäßig belastete Platte ohne Bohrung bei gelenkiger Auflagerung des Außenrandes gerechnet und mit der Platte von konstanter Dicke verglichen. Bei axialsymmetrischer Durchbiegung wird die vollständige Lösung für die Platte mit Bohrung angegeben.     

Kritische Drehzahlen gewisser Rotorformen unter Berücksichtigung der Kreiselwirkung

Zusammenfassung In der vorliegenden Arbeit erfolgt die Berechnung der kritischen Drehzahlen von kontinuierlich besetzten Wellen konstanter Biegesteifigkeit mit einer Verallgemeinerung der von R. Grammel entwickelten Methode vermöge zweier miteinander äquivalenter Iterationsvorschriften: die eine bedient sich der Integrodifferentialgleichung, die zweite der Differentialgleichung samt Rand- und Übergangsbedingungen. Bei beiden Vorschriften wird die Wellenauslenkung ermittelt, die zu der mit einer linearen Kombination zulässiger Funktionen gebildeten Belastung gehört. Mit diesen Vorschriften und einer weiteren für die auftretenden Variationen geht man in die aus dem Hamiltonschen Prinzip folgende Variationsgleichung ein. Sinngemäße Übertragung der Grammelschen Methode führt zu einem linearen homogenen Gleichungssystem für die Unbekannten des Näherungsansatzes, dessen verschwindende Koeffizientendeterminante eine algebraische Gleichung für die Eigenwerte darstellt.Die charakteristische Eigenschaft der Methode von R. Grammel, obere Schranken — und zwar genauere als der Ritzsche Verfahren — zu liefern, tritt auch bei Berücksichtigung der Kreiselwirkung im Falle synchroner Präzession im Gegenlauf stets auf. Im Falle synchroner Präzession im Gleichlauf dagegen können die Näherungslösungen bei dem verallgemeinerten Grammelschen Verfahren z. T. oberhalb, z. T. unterhalb der entsprechenden strengen Lösungen liegen.Unter Beachtung des physikalisch-technischen Sachverhaltes lassen sich die hier abgeleiteten Näherungsgleichungen sowohl auf mehrfach gelagerte Wellen mit konstanter Biegesteifigkeit und kontinuierlicher Scheibenverteilung als auch auf Wellen (zweiund mehrfach gelagert) mit veränderlicher Biegesteifigkeit und Einzelscheiben übertragen. Das sich im zuletzt genannten Fall einstellende Endergebnis unterscheidet sich nur unwesentlich von demjenigen der Methode von A. Traenkle 4.Eine Fortsetzung dieser Arbeit bringt die Durchrechnung eines Zahlenbeispiels.Auszug aus der Frankfurter Dissertation. 1. Referent Prof. Dr.-Ing. K. Karas, 2. Referent Prof. Dr. R. Moufang.     

Zur Theorie von Auskühlungs- und Anheizungsvorgängen

Zusammenfassung Nach der Methode der Quellpunkte werden zunächst an Hand einfacher Beispiele neuartige Lösungen für Temperaturausgleichsvorgänge in ebenen, gleichförmigen Platten von endlicher Dicke in Form von unendlichen Reihen entwickelt. Diese weisen im Gegensatz zu der bisher üblichen Darstellung, der Entwicklung nach Fourierreihen, zu Beginn des Ausgleichsvorganges sehr gute Konvergenz auf; dafür wird diese aber mit fortschreitender Zeit immer ungünstiger. Beide Lösungsformen ergänzen sich also gegenseitig und können daher zweckmä\ig nebeneinander verwendet werden. Um aber auch die hier gefundenen Lösungen für beliebig späte Zeitpunkte verwendbar zu machen, wurde ein einfaches Verfahren zur Entwicklung von praktischen Näherungslösungen für schlecht konvergente, unendliche Reihen abgeleitet. Dieses liefert dabei am Anfang des Vorganges sowie für genügend gro\e Werte der Zeit sehr genaue Ergebnisse und ergibt für mittlere Zeitpunkte einen beliebig klein zu haltenden Grö\twert des Fehlers. Weiterhin werden dann exakte Lösungen für Körper entwickelt, die aus planparallelen Schichten bestehen. Für ebene Grundfelder erweist sich hierbei die Auffassung als vorteilhaft, da\ diese an der ebenen Grenzfläche zweier Stoffe teilweise reflektiert werden. Die Reflexionszahl ergibt sich dabei nach den gleichen Gesetzen wie für periodisch veränderliche Vorgänge. Die Ergebnisse dieser Betrachtungen werden auch auf den Wärmeübergang angewendet. Dabei zeigt sich, da\ für die vorliegenden nichtstationären Vorgänge auch das anfängliche Temperaturfeld in der Grenzschicht von Bedeutung sein kann. Schlie\lich werden noch die Gleichungen der Grundfelder für eine Reihe von Wärmequellen der verschiedensten Formen entwickelt, so z. B. für die Kugel- und Zylinderflächenquelle (diese dabei für endliche und unendliche Zylinderlänge), die Raumquelle in Form eines Quaders und die Kreis-Linienquelle.     

Die Ermittlung molekularer Parameter mittels dynamischer Meßmethoden am Beispiel von Perlonmonofilen

Zusammenfassung In dem ersten Teil dieser Abhandlung werden Meßverfahren und Meßgeräte zur Bestimmung von Torsions- und Elastizitätsmodul sowie des tg bei geringen Deformationen skizziert. Daran schließt sich die Beschreibung von Meßgeräten an, mit denen einem Prüfling größere Deformationen aufgeprägt werden können, die ggf. den linearen Bereich überschreiten.Im zweiten Teil werden einige Meßergebnisse von Versuchen mit größerer Deformationsamplitude wiedergegeben und die Vorgänge bei dem Wöhler-Bruch, die Dispersionserscheinung sowie der Verstreckungsprozeß diskutiert. Weiterhin wird das Verhalten von Vordehnung zur Aufrechterhaltung einer konstanten Vorspannkraft, Elastizitäts(Steifheits-)Modul und Energieverlust pro Belastungszyklus von Perlonmonofilen in Abhängigkeit von der Vorspannkraft und der Amplitude der periodischen Dehnung im Frequenzbereich von 1–100 Hz dargestellt. Es zeigt sich, daß diese Meßergebnisse mit der linear-viskoelastischen Theorie nicht zu erklären sind. Daher wird zur Deutung der Versuchsergebnisse der Zusammenhalt des Stoffes auf diskrete reale Zusammenhaltsmechanismen begrenzter Lebensdauer zwischen benachbarten Kettenmolekülen zurückgeführt, wie z. B. Haupt- oder Nebenvalenzen, Wasserstoffbrücken usw.Hiermit läßt sich die häufig beobachtete fast stufenförmige Änderung des Elastizitätsmoduls mit der Temperatur bzw. der Frequenz verstehen: Wird nämlich der makroskopische Elastizitätsmodul auf die Summe einzelner, diskreter Zusammenhaltsmechanismen zurückgeführt, so ergeben sich die Stufen in Abhängigkeit von der Temperatur als Gebiete, in denen aufgrund der thermischen Energie einzelne Mechanismen ausfallen und daher bei weiterem Temperaturanstieg keinen Beitrag mehr leisten können. Als wesentliche Kenngröße für jeden Mechanismus tritt eine charakteristische Haftstellenbindungsenergie A_{0, k} auf, deren Überschreitung gerade diesen Ausfall hervorruft.Werden nun mechanische Versuche bei konstanter Temperatur durchgeführt, so können bei Zuführung mechanischer Energie (z. B. im Dehnungsversuch) ebenfalls einige Haftstellen diese Haftstellenbindungsenergie überschreiten, also zusätzlich gelöst werden.Diese zusätzlich befreiten Haftstellen können nach begrenzter Zeit wieder in gebundene Haftstellen übergehen, also rekombinieren. Dieses Wechselspiel von Haftstellenbruch und Rekombination führt zu einer qualitativ richtigen mathematischen Beschreibung von Relaxation, Retardation und Fließerscheinungen, sowie zu einem Verständnis sowohl der bei der Verstreckung auftretenden Erscheinungen als auch des jungfräulichen Verhaltens der ersten Stoff beanspruchung. Diese Überlegungen werden weiterhin auf periodische Stoffbeanspruchungen angewendet. Hierbei ergibt sich die experimentell gefundene quadratische Abhängigkeit zwischen Energieverlust pro Belastungszyklus und Amplitude der periodischen Dehnung. Dabei tritt ein von der Vorspannkraft der Probe abhängiger Faktor auf, der zur Deutung der Abhängigkeit des Energieverlustes von dieser geeignet erscheint.Weiterhin läßt sich zeigen, daß als Folgeerscheinung aufbrechender Haftstellen ein Bruch des Prüflings unter geeignet gewählten Bedingungen auftreten kann, also ein Verhalten, das dem Wöhler-Bruch entspricht. Schließlich läßt sich qualitativ die Abhängigkeit von Elastizitäts-(Steifheits-)Modul von Vorspannkraft und Dehnungsamplitude erklären.Aus den Meßergebnissen und der theoretischen Deutung wird quantitativ der molekulare E-Modul bzw. die molekulare Federkonstante von Perlon-Monofilen berechnet. Es zeigt sich, daß diese 2. Größe Werte ergibt, die mit entsprechenden Kraftkonstanten anderer molekularer Systeme recht gut übereinstimmt.Vortrag anläßlich der Arbeitstagung der Sektion Rheologie des Vereins Österreichischer Chemiker am 28. September 1965 in Graz.Abschließend möchte ich mich bei Herrn Dr.Meskat sowie den Herren Dr.R. Bonart, Dr.H. W. Giesekus und Dr.J. Pawlowski für viele anregende Diskussionen bedanken. Meinen Mitarbeitern, den HerrenJ. Dünnwald, J. Hammer undW. Kallert, bin ich für die Durchführung der Messungen zu Dank verpflichtet.     

Zur Stabilität der dünnen Kegelschale

Zusammenfassung Die obigen Ausführungen über die Stabilität der dünnwandigen Kreiskegelschale stellen eine Ergänzung und Erweiterung einer früheren Arbeit des Verfassers dar, in der die Ausbeulgrenze für gleichförmig verteilte Auflast und für konstanten Außendruck ermittelt worden ist. Nach einer kurzen Zusammenstellung der früheren Ergebnisse wird die Stabilität der auf Torsion beanspruchten Kegelschale betrachtet. Zur Aufstellung der Beulbedingung wird das Energiekriterium verwendet. Da eine exakte Lösung des sich ergebenden Variationsproblems nicht durchführbar ist, wird zur angenäherten Lösung das Ritzsche Verfahren benutzt. Der dabei gewählte Ansatz wird beim übergang zum Zylinder mit der exakten Lösung identisch. Damit ist in der Regel eine gute Genauigkeit der Lösung gewährleistet, da praktisch auf Torsion beanspruchte Kegelschalen fast stets in einer Form vorkommen, die sich nur wenig von der einer Zylinderschale unterscheidet. Die sich ergebende Beulbedingung kann durch Vernachlässigung unwesentlicher Glieder erheblich vereinfacht werden, so daß ihre zahlenmäßige Auswertung leicht möglich ist und ein übersichtliches Kurvennetz ergibt. Dieses Kurvennetz kann schließlich mit hinreichender Genauigkeit durch eine recht einfache Näherungsformel wiedergegeben werden.     

Stabilitätsbedingungen für Schwinger mit zufälligen Parametererregungen

Zusammenfassung In der kinetischen Stabilitätstheorie interessieren neuerdings auch Schwinger mit stochastischen Parametererregungen. Die Bedingungen für die Stabilität der Ruhelage dieser Systeme wurden von der vorliegenden Arbeit für drei verschiedene Erregerfrequenzspektren näherungsweise angegeben. Zur Herleitung derjenigen Schwellwertgrenzen für die Parametererregung, die zur Gewährleistung der Stabilität nicht überschritten werden dürfen, wurde an die Methode der langsam veränderlichen Phase und Amplitude angeknüpft, um Vergleiche mit deterministischen Erregungen zu ermöglichen. Bekanntlich hat die harmonische Parametererregung mit einer Erregerfrequenz, die gleich der doppelten Eigenfrequenz des Schwingers ist, die stärkste destabilisierende Wirkung. Wenn in diesem Fall noch Stabilität gesichert sein soll, muß das Lehrsche Dämpfungsmaß die Größenordnung ¹ ( 1) haben. In stochastisch erregten Systemen genügt dagegen bereits ein Dämpfungsmaß von der Größenordnung ². Die größere Gefährlichkeit der periodischen Parametererregung gegenüber der stochastischen Erregung erkennt man auch daraus, daß bei Zufallserregung durch frequenzbegrenztes weißes Rauschen in der untersuchten Näherung überhaupt keine Destabilisierung möglich ist, wenn im Erregerfrequenzspektrum die doppelte Eigenfrequenz des Schwingers fehlt.     

Zur Frage der Flugleistungen von Drehflüglern

Zusammenfassung Die Glauertschen Gleichungen für die Luftkräfte auf schräg angeströmte Schrauben mit rechteckigen Blättern und mit Roll- und Längsmomentenausgleich durch periodische Blattverdrehung oder Schlagbewegung werden durch eine für das Ergebnis unwesentliche Näherungsannahme vereinfacht und dienen zur Erörterung der Besonderheiten von Hubschraubern, Flugschraubern und Tragschraubern. Für den Schnellflug- und Steigfluggütegrad werden Formeln aufgestellt an Hand deren sich der Einfluß von Leistungsbelastung, Flächenbelastung, Flächendichte, Drehzahl und schädlicher Restwiderstand auf die Flugleistungen leicht übersehen läßt und es werden mit Hilfe der gegebenen Methoden Beispiele für die Ermittlung der Flugleistungen von Drehflüglern gerechnet.     

Das Verhalten spröder Körper unter hohen Drucken und der spröde Bruch

Zusammenfassung Das mitgeteilte Elastizitätsgesetz spröder Körper wird an verschiedenen Beispielen demonstriert und geprüft. Es zeigt sich, da\ der Druckversuch gut dargestellt wird mit Ausnahme eines ganz kurz vor dem Druckbruch auftretenden Gebietes; diese Abweichung ist von prinzipieller Wichtigkeit, indem von hier an der Vorgang plastisch wird und der Bruch selbst dann als plastischer Verschiebungsbruch vor sich geht. Aus Druck und Umschlingung kombinierte Versuche an Sandstein und Marmor werden ebenfalls ausreichend dargestellt; nur bei extremst hohen Drucken treten technisch nicht mehr interessierende Abweichungen auf, die auf einen noch weiter gehenden Einflu\ des hydrostatischen Druckes schlie\en lassen. Schlie\lich wird für den im Augenblick des spröden Trennungsbruches herrschenden Spannungszustand eine Bedingung angegeben, die durch Versuche an gewissen Gu\eisensorten und an Sandstein gefunden wurde.Auch hier sei nochmals Herrn Prof. Prandtl sowie der Notgemeinschaft der Deutschen Wissenschaft mein besonderer Dank ausgesprochen für die Möglichkeit, im Institut für angewandte Mechanik der Universität Göttingen arbeiten zu können.     

Flattern von Drehflügeln im Standlauf

Zusammenfassung Es wird eine Methode angegeben für eine ausreichend genaue und rasche Abschätzung der Standlaufflattergrenze von Drehflügeln, die gelenkig an die Rotorwelle angeschlossen sind. Am Beispiel eines Drehflügels mit trapezförmigem Umriß wird das Ergebnis der Abschätzung verglichen mit der durch mehrfache Iteration gewonnenen genauen Lösung, wobei sich eine gute Übereinstimmung ergibt. Die Methode wird auch für den Fall der Seitenanströmung des Rotors angewendet, sie liefert dann jedoch wegen der nicht zutreffenden Voraussetzung stationärer Anströmung nur eine untere Grenze für die kritische Drehzahl, die der Bemessung zugrunde gelegt werden muß, soweit nicht durch Flugversuche eine höhere kritische Drehzahl erwiesen wird.     

Turbulente Vermischung ebener Heißluftstrahlen

Zusammenfassung Auf der Grundlage eines vom Verfasser in einer vorangegangenen Arbeit aufgestellten Gleichungssystem für turbulente Strömungen von Gasen stark veränderlicher Dichte wird die turbulente Vermischung ebener Heißluftstrahlen, die zunächst durch eine Scheidewand getrennt sind und sich dann in einem Winkelraum mischen, berechnet. Die Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems erfolgt mittels eines Iterationsformalismus. Berechnet werden die Verteilungen der Geschwindigkeit und der Temperatur für eine Reihe von Parametern der Geschwindigkeits- und Temperaturdifferenz. Es resultiert, daß der Winkelraum der Mischung sich mit wachsender Temperaturdifferenz zum heißeren Strahl hin dreht. Weiterhin ergibt sich, daß der Zustrom zum Mischungsraum sich beim Überschreiten der Schwelle gleicher Impulsströmungen beider Strahlen in einen Abstrom wandelt. Der Vergleich mit vorliegenden Messungen an Heißluftstrahlen in bewegter Luft ergibt für die Temperaturverteilungen gute Übereinstimmung sowohl hinsichtlich der Mischbreite wie auch des Verhältnisses von Außen- zu Innenwinkel. Hinsichtlich der letztgenannten Charakteristik ist für die Geschwindigkeitsverteilungen befriedigende Übereinstimmung erst bei Einführung eines effektiven Düsenradius, der dem Impulsverlust der Strömung an der Düsenwandung Rechnung trägt, zu erzielen.