对一道赛题解法的探究

1986年全国数学竞赛第设实数u、b、。满足 l丫一bc一sa+7=()·试第1题第咬3川、题为:那么“的取值范It1是①② !扩+扩+b‘、一6a+6=‘j(A)(一co,+co);(I弓)(一oo,1 JU〔9,+co);(C)(0,7);(I))r 1.9〕.标准解答是,山题给条件得lbc三丫一sa+7l夕十已+bc=6“一6②一①x3得(l,一‘〕’=一3(‘,一)(u一冬,)③ .’一3(a一l)(u一9))(),故l石a石9 答案为(u). 我们认为此种解法不妥。因为.若口)十(劲,得 (b+‘.)二丫一2“十l=(‘:一I)④ bc〔R.而(“一l)J要0二‘一co<‘,<十oo,答案应为(A). 又若将①代人②得 粉+‘“=一丫+14‘,一13二一(‘,一1)…     

用转化法求 a_(n+1)=pa_n+f(n)型的数列通项

本文重点介绍a.+,=p“,十。(‘为常数)型和u,、二灿十少了元少型的数列求通项的方法, 当户“0或l时,其解法是常见的,此处从略,否则,可用下法作转化: 等式两边同除以产‘’(P半(j),则有砂织产”声织P”‘一牛十渗李 尹尹令“一合 从而得举例如下: 。_、_一二一、*。左止、.二、I‘,一人.十1、羌人人月,lj 产犷且,:=八+尺”),这样就不难求其通项,口.+l2.十‘已知数列{a.},‘z。=l,‘,,,l=2“.+2·,求‘,。.由‘·,=2。+2,,两边同除以2内,得=牛十吝,今八一牛,一2’’2’丫二知一2”,例解则‘+,一二+告,…八“,1,一‘),“一“+‘一‘)·告一省…     

无意义的等式成立

(a b)2)0.’.必)0(3) 由(l)、(3)知砧=0即。一0或b=0 而。一。或。一。时咨或牛无意义,故所要 一~-一J匕~b/.‘~~’~’/,~证的等式无意义. 证法二‘:。2 护 面曰O 二(a 6)2=南(3) 由题意。并。,。护b,‘ 。弃b,抱(3)两边同除以ub(。 b)得 。十b、1。。1‘1_1_ :共二二一今二即=     

名校基础知识自测

初一年级 北京师大二附中(100088)未兴国一、选择题1.下列计算正确的是(). (A)(u一b):弓一(b一“)2一b一“ (B)(。+b)污一(口+b)3=“2+bZ(C)(b一“),分(a一b)“=(a一b)之([))(,一y)’”‘l令(、万一y)”‘’一(了一y)2一个多项式除以(3.12,):;其结果为(冬二2+3x, 一、一、’,”一”一’一夕’,产、一曰’一尸‘’9一’一夕犷),则这个多项式为().(A)9护犷+27护犷+9洲犷(B)了6y+9了几犷+3了2犷(C)3、:h犷+9犷犷+3了2少(I)),“夕2+27J3夕3+9及一4夕5对于以下各算式:①矿·“3一“6,②(a,)3一。③u3+u弓一2u6,④a只+a3一a‘,一o,⑤(6二,夕)2…     

2、3能被2整除

3能被2整除,这显然是错误的,但是有人却能证明出来。不信,请石证明:rl一等比数列{x“一‘}rfJ前,:项和公式1 x xZ … x一1=l二Lx: 1一X(x笋1,。〔N)有I一x“=(1一x)(1十x十护 …x’一, a.(1一x’)=。’一王(a一。x)(1 x *2 …x“一‘)令ax=b(。法,.。子b),贝!}a一b‘=a‘一’(a     

同余关系和整除法则

1.同余关系的基本理论和性质 1801年,24岁的高斯(1777-1855)出版了专著"算术研究",在其中他提出了模演算法,以统一的观点处理了数论中的许多问题,从而开创了数论研究的新时代.笔者利用了模演算法来论述整数的整除性. 对于整数a,b以及正整数m,如果a-b能被m整除,也就是说a÷m所得的余数与b÷m所得的余数相等,则称a,b关于模m同余,记为a≡b(modm).[1]     

基本不等式的解题功效不容忽视

从(石一杯)2)o，即可以轻易获得a b) Zv瓜石;反之，2抓菇成a十b(a，b)0).这个基本不等式的正用、反用、兼用，是值得重视的. 1.正用a b)2丫云石.例1(第3届“希望杯”全国数学邀请赛试题)方程3cos兽一10)十10一十1的实数解一’~了研一--一2一’一’一”碑一~产“’的个数(). (A)     

一个乘法公式的应用

初中代数第二册第116页介绍r可化为巧十农叶b)二+。b型的二次三项式的因式分解,给出r如下公式 了+(a+b),+ab=(J一+u)(:,十方) 此公式的实质在于找出两个数,使它们的和为a+b,积为ab即可. 公式中的,可肴着是个特殊宇f:f,’‘1然也可以是·个解析式(包括数字),‘节握r这·点有时会给解题带来很多方便.例1化简l一‘z(l.十‘“·厂一(“十‘功解:原式二 1一丫〔l+aJ十(a+z今〕(l+‘一、,一(‘,+、,)〕 (l+‘:)(1一‘幻(l+a)(l击二了)(l一a)(l一J) l一(l+沈,)(l一‘,)· .例2解方程5.’“+J一‘r板不巧一2二(). 解:原方程可化为 (屹于丁面)”一…     

高等数学选登

一”悠(,十劲”存在性证明\/“’a““’“”‘’毛山十向十’”咔一‘+七 那十l〔广州师院张映东,安徽铜凌四中张晓铭分别供稿)利用不等式(a‘李0)并令‘二。、,b=,:二a:““一‘十、,可得翻+1丫,丁‘竺土竺色“口“~邢十1(1) 2”_2”一2_”一IJ由(1一A)有In”=In一万一多2不反了二2石耳一i吸件(1一E)从而用。二l以及b“1十上代入(1),就知为自然数。.丫(‘+劲”(1+告)”簇(,毛丝生卫邪十l 1=1+不百-r.一)”“”=1时等号成立)艺In*)2艺些二卫左+1h=1k=1”十这说明/。一(1+勃”是单调上升且递增的, r二,:、、即’n(川)多2}山_、‘一石飞/!…     

一个不等式的推广和应用

.目:如果a,bCR+且。子b,求证 。“+6B)‘“6+a乙2‘(一)(见高中代数甲种本第二册P92例9),我们采用分析法证明这个不等式、 ‘证明:欲证。’+b“>。’b+。b“.就是证明 (a+b)(a“一ab+b“)>ab(a+b) 因为。十b>0,所以只需证明, aZ一。b+毛忍>。b,即。,一2。吞+b“>o 由于。子b,故最后这个不等式(。一b)“>。成立,反推上去,从而。吕+b“>Zb十。bZ成立、 汽特别地,当。=b时,则有。“十b“一a“b+。bZ成立、 略作堆广就得到不等式 o‘+石‘玲a sb于ab’(2)可如下地进行 证明(用比较法) .(“七b‘)一(a“b+ab“) ”。吕(a二b)一石吕(a一b) 二(…     

又一个对数换底公式

设N,>0,a‘>o,a‘笋l(i二1,2,…刀),b、,bZ,…,b。是a,,a:,…,a。的任一排列,则: 1 09。、N 1 1 09。2 NZ’“’1 09。.N。一10“。、N,10“,2N2.‘’10“,.N,(浓) 证明:因b,,bZ,…,b。是a,,“2,一,“,的任一排列,故:l:a,loaZ…loa.一lgb,lgbZ…仅b,这样(浓)式左边 lgN]19无方lgN。一lga x lgaZ“’lga。二右边. 公式(浓)表明:几个对数相乘,任意交换它们的底数,其积不变.计算‘·g:矗‘·93音‘口、,;原式=10只,,·92告lo;3杳例解一10955一210922一310933一2‘二(一2)(一3)(一2)二一12gfJZ计算10、。910:2,4910:,25109。2·解:原式一…     

上海市1988年数学竞赛试题

o初中一年级(88年l月31日上午8:30一10:30) 本试卷共14题,前12题梅题7分,最后2题每题8分,满分100分.各题只要填最后的结果.不必写心中间的过程. 1.分解质因数:999999= 2.已知白然数u、b、。(其中:)3),a除以c余1,b除以‘·余2,则ab除以。的余数是(23个3)相加,所得的和的未四位数字是 11.从1到10000这·万个自然数中,有个数能被5或能被7整除. 飞2.由偶数数码(零除外)组成的,且能被16整除的最小瓦位数是 13.若记三位数与组成该三位数的各数码之和“二_,、,。.,‘.,_.~~。。。,-- .234的比值为M(如,花位致为234,则二书于;丫),。矛~以。‘,、~,…     

31届西班牙数学奥林匹克竞赛试题及解答

1 设a,b,c为互异的实数,P(x)为实系数多项式.如果 P(x)除以x-a余式为a,P(x)除以x-b余式为b,P(x)除以x-c余式为c.求P(x)除以(x-a)(x-b)(x-c)的余式.解 众所周知,P(x)除以x-a余式为P(a),依题意有P(a)=a,P(b)=b及P(c)=c.R(x)为P(x)除以(x-a)(x-b)(x-c)的余式,则R(x)的次数≤2且P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)Q(x) R(x),这里Q(x)为多项式.我们注意到R(a)=P(a)=a,类似地有R(b)=b和R(c)=c. 这样多项式R(x)-x的次数≤2且有三个互不相同的零点a,b,c.因此R(x)-x是一个零多项式,所以R(x)=x.注 此题也可用待定系数法或用拉格朗日插值公式求R(x)…     

利用复数的除法证明不等式

25一2 妻 设。、b、c、‘都是实数,则 a+b‘ac+b‘.be一ad, 一丫-一石号-一犷气一~万了呀~一,~下一石,否 C十心忿C一十已.C一十『’(·+专)’十(,+合)’这是大家熟知的复数的除法运算.用它来处理一些不等式的证明,不仅简单明快,而且给人享受数学的奇异之美. 例1如果a,b为实数,那么aZ+b,)2a6(当且仅当a二b时取“=”号). 证①当a二b二O时,命题为真. ②当a,b中至少有一个不为零时 构造复数a+b‘与b+a‘(a,b任无) 由(a+b‘)/(b七a‘)=(ab+ba)/(a,+b.)+(bZ一aZ)‘/(a,+bZ)(:,少eR)构造复,(·十约十(;十分与1·、‘, 谧(·+专)+(;+韵‘ 1十落(…     

问题征解

一本期问题征解1证明2主,“3一1与21,。‘+l互质。2设a:=a:=l,aJ二1 983。。、:二理廷二绘攀止土只竺旦二二‘,口n~求证aj(饭二1,2,3,二)都是整数 3设p,。(。+1)(n+2)(n+3)(n+4) (。+5), l)求证P不是某整数的立方, 2)求〔,丫声苟(〔x〕表示不超过二的最大整数) 麻城一中甘超一提供 4已知直角三角形的周长为1984,求三边长的所有整数解。 江苏教育学院王继源提供 5解方程20002‘一(2000‘“+19s4r6)2000二一8 .1 9841一8+19842里=0 6设n是自然数求证(1十1/1“)(1一卜一/2’)(l+l/3恋) …(1+l/n“)了s 7设三角形的三内角分别是a、刀、下弧度,x…     

一类递归数列的通项的求法——辅助等比数列法

力二一口占+一十 本刊1984年第五期介绍了形如“a:+:二扣·+:十尹的递归数列的通项的求法,在它乙。十:口。+,二丫工上二_口.+仪a。+口的启发下,‘我对形如“a。,:=丫·an+aa。+户其a。+1+q了’瓦不下中了寺。、a:+口“奔O”的求法进行了一番探讨,现将结果叙述如下 已知数列{a。}满足条件口:二a,a.,:=了·丫+P了十q .丫a+P夕“n-I-一 丫十,口n+a,+a云丁万,其中下寺0,a“+卢忍今0,求a:。丫a+叮口了+g 解设辅助数列{b.}的通项占。其中P,q为待定数,且夕寺q,则口,+乡a。+q.’.鱼」旦= 口n丫+夕了十qan+口.+=Z土兰. 了+q(·:十琴十罗)‘一‘”(…     

算术平均—几何平均不等式的一个证明

设a:、 a盆、al+aZ 怜a。是正数,则有不等式~习可可不瓦一 一bK+‘)+…十bK+‘(戈一b)〕设￡‘一b‘=(,一b)(%‘+‘+x‘+“b千…+b‘+1)=(戈一b)Pi1=式中等号当且仅当a,二a:二…二a。时成立。证明用数学归纳法,n=2结论显然成立。 假定n=K时成立,则 月二(a:+a:+…+a尤)+a尤+l 一(K+1)K+‘侧瓦瓦二花订万 )K大访瓦瓦下砰而瓦 一(K十l)K+’了面瓦不石石万…(1) 设K+‘亿面万丁=、 K!K十’V而二ha二b,(1)式右(P‘>0了 i=(%)2,一,K),乡}}}(戈一b)2(P尺+P万*:b十 卜P工石K+l) 户K+夕K*声+….’.f(二)>O,A) ‘.。十…(2)+P tbK+‘>00即a…     

上期课外练习解答

高一年级1.由题设P:一2(x(功, q:1一m毛、毛l十m. 于是,p:二<一2或二>1叭 门q:,<1一扭或二>1月一m. 丫门P势,?但,q”门P, {川x<1一m或二>1 。}里{川一x<一2或 x>10}, m》9.2.’:二eR一卜,f(xy)一f(x) f(y), .f(1)一f、(1只1)~f(1) f(1), .’.f(1)一0.又j(1卜j(x·令卜,(工)一粉‘厂(一夸卜。,:·f(定,一f(专),…j.(‘,一f(奇)一f(合丫合)一2.由f(x)在(0,十二)内为减函数,可得解得一1镇x<0. 故所求解集为(‘:卜l毛x<。}.3.丫a,一: Za。一3an十z, 嘶十:一叽一1~2(价十1一a。).汉。月一2一反凡 1 口” 1一“介故{嘶 ,一a。}是以aZ一a、~Zx为…     

上期课外练习参考解答

…初一年级{1.一385=5火7只111 .11二二犷州一下厂州~产万~一乙jo 原式一仁‘十告 夸 六 (矗一争: X 385一5‘8一雏. 所求整数为517.原式的个位数字与1000 1001 1002十…十2004的个位数字相同,即所求个位数字是。十100丫(1 2 3 4 5 6 7十8 9 0) 1 2 3 4一451。的个位数字,故原式的个位数字是。.}172418152357141 16461320221O121 9121311182529图2翰盯︺1.由倪一b一2,Za一b十2一仅” b“一20 ‘(“一2,30.得(。一。.十护一1.2.观察规律,分子、分母都可写成a(a十3) 2 一(。十1)(。十2)形式的数. ~一(2十1)(2十2)(4 1)(4 2) 闪、一、(1十1)(…     

不等式a~2 b~2=2ab在解方程(组)中的应用

甘二一丫丁=2召丁;l‘二一l,}”“.了乙_(z二一2丫2;X勺︺之了/|12、!l、、 我们知道,对于任意的实数a和西,有 (a一乙)2)0,…aZ马一乙2)Za乙(I)当且仅当a=乃时取等号。 若动>O,在(工)的两边同除以动,即,。ab__、r卜~,一、t,。,。_,么_。得一牛 生一)2当月.仅当。=乙时取等号。