关于组合数的一项性质

对于∑ｎｉ =0(- 1 ) ｉＣｉｎ =0相信大家都很熟悉 ,但笔者发现 ,该式可推广成 ∑ｎｉ=0ｉｋ(- 1 ) ｉＣｉｎ =0 (ｋ≤ｎ - 1且ｋ∈Ｎ) .证明　 (1 )当ｎ=2时 ,ｋ=1左边 =∑2ｉ=0ｉ(- 1 ) ｉＣｉ2 =- 2 2 =0 =右边等式成立 .(2 )假设当ｎ=ｔ时 ,对于 1≤ｋ≤ｔ- 1　ｋ∈Ｎ等式均成立 ,那么当ｎ=ｔ 1时 :左边 =∑ｔ 1ｉ=0ｉｋ(- 1 ) ｉＣｉｔ 1=∑ｔ 1ｉ=1ｉｋ(- 1 ) ｉｔ 1ｉ Ｃｉ- 1 ｔ 0=- (ｔ 1 ) ∑ｔｊ=0(ｊ 1 ) ｋ- 1 · (- 1 ) ｊＣｊｔ(令ｊ =ｉ- 1 )=- (ｔ 1 ) ∑ｔｊ=0(∑ｋ-1ｕ =0(Ｃｕｋ- 1 ·ｊｕ)·(- 1 ) ｊＣｊｔ=- (ｔ…     

求分式函数值域的方法

我们把形如ｆ(x) =(ｄx~2 +ｅｘ + ｆ)/(ａx~2 +ｂx+ｃ)(分子分母既约 ,ａ、ｄ不同时为零 )的函数称为二次分式函数 .下面举例说明二次分式函数值域的求法 .问题求函数 ｆ(ｘ) =ｘ + 22ｘ2 + 3ｘ + 6 的值域 .我们可以把函数式变形为ｆ (ｘ) =ｄｘ2 +ｅｘ+ ｆａｘ2 +ｂｘ +ｃ=ｍ(ｘ +ｎ)ｘ2 + ｐｘ+ ｑ+ｈ的形式 ,而ｇ(ｘ) =ｘ +ｎｘ2 + ｐｘ + ｑ=ｘ +ｎ(ｘ +ｎ) 2 +ｒ(ｘ+ｎ) +ｓ(ｓ≠ 0 ) .当ｘ +ｎ =0时 ,则易得 ｇ(ｘ) =0 ;当ｘ +ｎ≠ 0时 ,继续变形为 ｇ(ｘ) =1(ｘ +ｎ) + ｓｘ +ｎ+ｒ=1ｈ(ｔ) +ｒ,其中ｔ =ｘ +ｎ ,ｈ(ｔ) =ｔ + ｓｔ…     

一个代数不等式的再推广

文 [1 ]中给出了一个代数不等式并由此推出了一系列的结果 ,文 [2 ]中对这一不等式作了推广 .本文将其再推广 ,给出更具一般性的形式 .定理　设ｘ =ｘ(ｔ) ,ｙ =ｙ(ｔ) ,ｔ∈Ｄ Ｒ ,ｘ >0 ,ｙ >0 ,ｘ ,ｙ是Ｄ上单调函数 (可不严格 ) ,Ａ =ｘ(ｔ1)·[ｙ(ｔ1) - ｙ(ｔ2 ) ]+ｘ(ｔ2 )[ｙ(ｔ2 ) - ｙ(ｔ3) ]+… +ｘ(ｔｎ -1) [ｙ(ｔｎ -1) -ｙ(ｔｎ) ]+ｘ(ｔｎ) [ｙ(ｔｎ) - ｙ(ｔ1) ],ｎ >1 ,ｎ∈Ｎ .则1 )若ｘ ,ｙ增减性相同 ,得Ａ≥ 0 ,且当且仅当ｘ(ｔ1) =… =ｘ(ｔｎ)或 ｙ(ｔ1) =… =ｙ(ｔｎ)时 ,Ａ =0 ;2 )若ｘ ,ｙ增减性相反 ,得Ａ≤ 0…     

一道加拿大数学竞赛题的推广

1997年加拿大数学公共竞赛有一道题是 :已知 16个正数之和为 10 0 ,平方和为 10 0 0 ,证明这 16个数中没有一个大于 2 5 .本文将推广该题的结论 .首先给出二次函数 ｆ(ｘ) =ｘ2 的一条性质 :对于任意ｎ个实数ｘ1 ,ｘ2 ,… ,ｘｎ,有ｘ21 +ｘ22 +… +ｘ2 ｎｎ ≥ (ｘ1 +ｘ2 +… +ｘｎｎ ) 2 (当且仅当ｘ1 =ｘ2 =… =ｘｎ 时取等号 )①定理　设ｎ(≥ 2 )个实变数ｘｉ(ｉ =1,2 ,… ,ｎ)之和为定值Ａ ,平方和为定值Ｂ ,则ｘｉ(ｉ=1,2 ,… ,ｎ)的取值范围为 :(1)当Ａ2 >ｎＢ时 ,ｘｉ 不存在 ;(2 )当Ａ2 =ｎＢ时 ,ｘｉ=Ａｎ;(3 )当Ａ2 <ｎＢ时 ,Ａ …     

累积数学归纳法

数学归纳法是一种证明与自然数ｎ有关的数学命题的重要方法 .一般地用数学归纳法证明命题时 :首先 ,证明当ｎ取第一个值ｎ0 (例如ｎ0 =1或ｎ0 =2 )时结论正确 ;然后 ,假设当ｎ =ｋ(ｋ∈Ｎ ;且ｋ≥ｎ0 )时结论正确 ,证明当ｎ=ｋ 1时结论也正确 .完成这两个步骤 ,就可以断定命题对于从ｎ0 开始的所有自然数ｎ都正确 .其实这只是数学归纳法的第一种形式 ,有些命题在第二步骤只假设当ｎ=ｋ时结论正确是不能推导出ｎ=ｋ 1时结论也正确的 (如下面几道题 ) ,必须假设当ｎ=ｎ0 ,ｎ0 1…… ,ｋ时结论都正确 ,才能推导出ｎ =ｋ 1时结论也正确 .这就是…     

关于2^m的末位数字问题的探讨

1　问题的由来本人曾于 1 998年在贵刊第 1 0期提出数学问题 1 1 56题并解答 ,其中利用了“2 ｋ· 2 50 0 ≡ 2 ｋ,及(2 50 0 ) ｍ ≡ 2 50 0 ≡ 9376(ｍｏｄ1 0 4 )”这个结论 .现研究探讨发现下面的更一般的结论 .2　定理定理　当 2 ｍ 具有 2 4 ×5ｎ 的形式时 (ｍ ,ｎ为正整数 ) ,则 (2 4 ×5ｎ- 1 )·2 ｋ ≡ 0 ,即 2 4 ×5ｎ· 2 ｋ ≡ 2 ｋ 及(2 4×5ｎ) ｔ ≡ 2 4×5ｎ(ｍｏｄ1 0 ｎ 1 ,ｋ≥ｎ 1 ,ｋ ,ｔ为正整数 )证明(1 )当ｎ=1时 ,2 2 0 =(2 1 0 ) 2 =(1 0 3 2 4 ) 2 ≡2 4 2 ≡ 76∴ (2 2 0 - 1 ) · 2 ｋ ≡ 3× 52 · 2 ｋ …     

圆锥曲线动弦的一个性质

定理 1　设Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )为抛物线ｙ2 =2ｐｘ(ｐ>0 )上一定点 ,ＰＡ ,ＰＢ为抛物线的任意两条弦 ,α1,α2 ,分别是ＰＡ ,ＰＢ的倾斜角 ,则(ⅰ )当ｔａｎα1·ｔａｎα2 =定值ｔ时 ,直线ＡＢ过定点 ;(ⅱ )当ｔａｎα1+ｔａｎα2 =定值ｔ时 ,直线ＡＢ过定点或者有定向 ;(ⅲ )当α1+α2 =定值θ时 ,直线ＡＢ过定点或者有定向 .证明　设ＰＡ方程为ｘ=ｍ1ｙ+ｎ1,则ｎ1=ｘ0 -ｍ1ｙ0 ,将ＰＡ方程代入ｙ2 =2ｐｘ得ｙ2 -2ｐｍ1ｙ-2ｐｎ1=0设Ａ(ｘ1,ｙ1)、Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 ) ,则ｘ1=2ｐｍ21-2ｍ1ｙ0 +ｘ0ｙ1=2ｐｍ1-ｙ0 　　　　　①同理　　设ＰＢ方程为…     

一个数学问题的简证及其引申

《数学通报》1 999年第 3期 .第 1 1 82号数学问题 :求 1 9991 999 1 999的末六位数 (1 999个 1 999) .本文将这个数学问题作如下引申 :设ｆ(ｎ) =1 9991 999 1 999(ｎ个 1 999) .(1 )对任意自然数ｎ ,ｆ(ｎ)的末三位数是 999.(2 )当ｎ≥ 2时 ,ｆ(ｎ)的末六位数是 997999.(3 )当ｎ =2时 ,ｆ(ｎ)的末九位数是999997999.(4)当ｎ ≥ 3时 ,ｆ(ｎ)的末九位数是991 997999.证明　 (1 )当ｎ=1时 ,ｆ(1 ) =1 999.命题成立 .当ｎ ≥ 2时 ,ｆ(ｎ) =1 999ｆ(ｎ- 1 ) =(2 0 0 0 -1 ) ｆ(ｎ- 1 ) .由二项式定理可知 ,其展开式从首项至倒数第二项 ,各项均…     

1999年高中数学联赛试题第五题的四种解法

题目　给定正整数ｎ和正数Ｍ .对于满足条件ａ21 ａ2 ｎ 1 ≤Ｍ的所有等差数列ａ1 ,ａ2 ,ａ3 ,… ,试求Ｓ =ａｎ 1 ａｎ 2 … ａ2ｎ 1 的最大值 .解法 1　 (判别式法 )设公差为ｄ ,则　　Ｓ =ａｎ 1 ａｎ 2 … ａ2ｎ 1=(ｎ 1)2 (ａｎ 1 ａ2ｎ 1 )=(ｎ 1)2 ( 2ａ1 3ｎｄ)=(ｎ 1) (ａ1 3ｎ2 ｄ) .令ｔ =ａ1 3ｎ2 ｄ ,则ａ1 =ｔ- 3ｎ2 ｄ ,ａｎ 1 =ａ1 ｎｄ .∵ａ21 ａ2 ｎ 1 ≤Ｍ ,∴ (ｔ- 3ｎ2 ｄ) 2 (ｔ- 3ｎｄ2 ｎｄ) 2 ≤Ｍ ,即 5ｎ2 ｄ2 - 8ｎｄｔ 4ｔ2 - 2Ｍ≤ 0 .∵ｄ∈Ｒ ,∴Δ =( 8ｎ…     

钟表上时针、分针、秒针所夹的角度

图 1所示的是常见的钟表表盘 .ＯＡ ,ＯＢ ,ＯＣ分别表示时针 ,分针 ,秒针 ,它们都是绕点Ｏ顺时针匀速旋转的 .时针ＯＡ每1 2小时旋转 1周 ,即每小时旋转 30°;分针每 6 0分钟旋转 1周 ,即每分钟旋转 6°;秒针每 6 0秒旋转 1周 ,即每秒钟旋转 6°.某一时刻可以表示成ａ时ｂ分ｃ秒 (ａ =0 ,1 ,2 ,… ,1 1 ;ｂ =0 ,1 ,2 ,… ,5 9;ｃ∈Ｒ ,0≤ｃ<6 0 ) ,也可以表示成ｔ时 (ｔ∈Ｒ ,0≤ｔ <1 2 ) ,下文中的字母ａ ,ｂ ,ｃ ,ｔ均有此限定 .它们之间有以下换算关系 .定理 1　若ａ时ｂ分ｃ秒就是ｔ时 ,则1 )ｔ=ａ 16 0 ｂ 136 0 0 ｃ;2 )ａ =[…     

上期课外练习解答

高一年级1.设ｆ(ｘ) =(ｘ - 1)ｌｏｇ23 ａ - 6ｘ·ｌｏｇ3 ａ +ｘ + 1=( 1+ｌｏｇ23 ａ - 6ｌｏｇ3 ａ)ｘ + 1-ｌｏｇ23 ａ ,∵ ｆ(ｘ)在 [0 ,1]上恒成立 ,由一次函数的单调性知 :ｆ( 0 ) >0 ,ｆ( 1) >0 ,　解得　 13 <ａ <33 .2 .设每期期初存入金额Ａ ,连存ｎ次 ,每期的利率为Ｐ ,那么到第ｎ期期末时 ,本金为ｎＡ ,则应得到的全部利息之和为 :Ｓｎ=ＡＰ +ＡＰ·2 +… +Ａ·ｐ·ｎ =ｎ(ｎ + 1)2 ＡＰ ,应纳税为　 ｎ(ｎ + 1)2 ＡＰ× 2 0 % =ｎ(ｎ + 1)10 ＡＰ ,实际取出　Ａ[ｎ + 2ｎ(ｎ + 1)5Ｐ] ,当Ａ =110 0 ,ｎ =12 ,Ｐ =0 .165%时 ,…     

应用题新编选登

题 90 　某农场有十台相同型号的抽水机 ,根据往年记录 ,同时投入工作至工作完毕 ,需 2 4小时 .根据气象预报 ,在未来 4 8小时内有大雨的概率为 0 .1.于是他们每隔相同的时间顺次投入工作 ,每台投入后均一直工作到全部浇完 ,由于没雨 ,用此法完成任务共用 4 0小时 ,问 :按怎样的比例付给机手报酬 ?解　设从第一台投入工作起 ,这 10台抽水机工作的时间依次a1,a2 …a10 小时 ,依题意 ,它们成等差数列 ,且每机的工作效率为 12 4× 10 ,则 a12 4× 10 + a22 4× 10 +… a102 4× 10 =1,∴ 10 (a1+a10 )2 =2 4× 10 .又a1=4 0 ,∴a10 =8.8=4 0 + …     

一元二次方程与一类高次方程之间的有趣结论

.定理　若ｘ0 是方程ｘ2 -ｂｘ -ｃ =0的根 ,则ｘ0 也一定是方程ｘｎ-ａｎ 1ｘ -ａｎｃ =0的根 (其中ａｎ,ａｎ 1是数列 {ａｎ}中的第ｎ项和第ｎ 1项 ,数列 {ａｎ}满足递推关系ａｎ 1=ｂａｎ ｃａｎ -1,ａ1=0 ,ａ2 =1 ,ｎ∈Ｎ ,ｎ≥ 2 ) .证　 1 )当ｎ =2时 ,由题意知ａ1=0 ,ａ2=1 ,ａ3 =ｂａ2 ｃａ1=ｂ .从而方程ｘｎ-ａｎ 1ｘ-ａｎｃ =0即为ｘ2 -ｂｘ -ｃ=0 .显然方程ｘ2 -ｂｘ -ｃ=0的根ｘ0 也是ｘｎ-ａｎ 1ｘ -ａｎｃ =0的根 .所以 ,当ｎ =2时命题成立 .2 )假设当ｎ =ｋ (ｋ∈Ｎ ,ｋ≥ 2 )时命题成立 .即方程ｘ2 -ｂｘ -ｃ =0的…     

浅析数学归纳法的奠基步骤

1　从对命题成立的简单验证中选定奠基步骤我们知道 ,在证明与自然数有关问题的正确性时 ,先验证当ｎ取第一个值ｎ0 (例如ｎ0 =1)时命题成立 .然后假设ｎ =ｋ (ｋ∈Ｎ ,ｋ≥ｎ0 )时命题成立 ,证明ｎ =ｋ 1时命题成立 .这个过程可视为 ,若ｐ(ｎ0 )成立 ,取ｋ =ｎ0 ,由归纳步骤证ｐ(ｎ0 1)成立 .同理再由ｐ(ｎ0 1)成立证ｐ(ｎ0 2 )成立 .如此下去 ,对于所有大于ｎ0 的自然数ｎ ,ｐ(ｎ)都成立 .这里ｐ(ｎ0 )不仅是命题成立的一个真命题 ,而且还是起动归纳推理的初始步骤 .奠基步骤ｐ(ｎ0 )正是由递推关系式ｐ(ｎ0 ) ｐ(ｎ0 1) ｐ(ｎ0 2…     

一个容易被忽视的问题——对一道习题答案的纠正与讨论

在职高教材通用本数学第一册中有这样一道题 ,比较ｍ ,ｎ的大小 ,其中有一小题是ｌｏｇｍ5 4>ｌｏｇｎ5 4,新版与旧版教参中答案均为ｍ <ｎ .可以看出 ,这是不全面的 .比如取ｍ =5 4,ｎ =0 1 ,显然ｌｏｇ5 45 4>ｌｏｇ0 1 5 4,而 5 4>0 1 ,即ｍ >ｎ .下面就一般情况做如下讨论 .若ｌｏｇｍｘ >ｌｏｇｎｘ ,比较ｍ ,ｎ的大小 .1　当ｘ>1时 ,即在直线ｘ=1右侧研究图象即可 ,有下面三种情况 :(1 )当ｍ >1 ,ｎ >1时 ,见图象ａ(1 ) .　　 (2 )当 0 <ｍ <1时 ,0 <ｎ <1时 ,见图象ａ(2 ) .(3)当ｍ >1 ,0 <ｎ <1时 ,见图象ａ(3) .显然在 (1 )及 (…     

也谈符号a~(1/n)究竟表示什么?

众所周知 ,在实数系 ,符号ｎａ有明确的意义 :如果ａ>0 ,ｎａ表示一个正数 ,它的ｎ次方等于ａ ,即 ｎａ>0 ,且 ( ｎａ) ｎ =ａ .这时 ,ｎａ表示ａ的ｎ次算术根 .如果ａ=0 ,ｎａ=0 ,如果ａ <0 .当ｎ是奇数时 ,ｎａ =- ｎ -ａ这里的 ｎ -ａ是正数 -ａ的ｎ次算术根 ,当ｎ是偶数时 ,ｎａ没有意义 .在实数系扩张到复数系以后 ,ｎａ的意义就显得非常模糊 ,混乱 .С .И .诺娃塞落夫著《代数与初等函数》第五章“复数“第 5 5节”中说 ,符号ｎｚ表示ｚ的ｎ个互不相同的ｎ次方根 :ｎｚ=ω0 ,ω0 ε ,ω0 ε2 ,…… ,ω0 εｎ- 1 ,其中ｚ=ρ(ｃｏｓ…     

一个代数不等式的再研究

文 [1]发表了宋庆老师新发现的一个代数不等式及其证明 .笔者发现此代数不等式的背后蕴含着更一般的结论 .同样可利用幂函数的单调性来证明下面的定理成立 .定理 1　若ｘ ,ｙ ,ｚ∈Ｒ .则ｘｍ(ｘｎ- ｙｎ) ｙｍ(ｙｎ-ｚｎ) ｚｍ(ｚｎ-ｘｎ)≥ 0(1)其中ｍ·ｎ≥ 0 ;当ｍ·ｎ≤ 0时 ,不等式 (1)反向 .等号当且仅当ｘ =ｙ =ｚ或ｍ =0或ｎ =0时成立 .证　设ｘ≥ｙ >0 ,ｘ≥ｚ >0 .当ｍ·ｎ≥ 0时1)若ｍ≥ 0且ｎ≥ 0 ,则ｘｍ≥ｚｍ>0 ,ｘｎ≥ｙｎ>0 ,即ｘｎ- ｙｎ≥ 0 ,故ｘｍ(ｘｎ- ｙｎ)≥ｚｍ(ｘｎ- ｙｎ) ;2 )若ｍ≤ 0且ｎ≤ 0 ,则 0 <ｘ…     

SPECTRAL METHODS FOR THE GL-BBM EQUATIONS

1　ＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎＩｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ,ｗｅｃｏｎｓｉｄｅｒｔｈｅｆｏｌｌｏｗｉｎｇｐｅｒｉｏｄｉｃｉｎｉｔｉａｌｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｆｏｒｔｈｅｓｙｓｔｅｍｏｆＧｉｎｚｂｕｒｇ ＬａｎｄａｕｅｑｕａｔｉｏｎｓｃｏｕｐｌｅｄｗｉｔｈＢＢＭｅｑｕａｔｉｏｎｓ:ｘ∈Ｒεｔ+ με-(α1+ｉα2 )εｘｘ+ (β1+ｉβ2 ) ｜ε｜2 ε-ｉδｎε=ｇ1(ｘ) ,(1 .1 )ｎｔ+ ｆ(ｎ) ｘ+λｎ-αｎｘｘ-ｎｘｘｔ+ ｜ε｜2 ｘ =ｇ2 (ｘ) ,(1 .2 )ε(ｘ+ 2π ,ｔ) =ε(ｘ ,ｔ) ,ｎ(ｘ + 2π ,ｔ) =ｎ(ｘ ,ｔ) ,(1 .3)ε(ｘ ,0 )…     

折返运动与数列求解

1　问题 :如图所示 ,一个粒子在第一象限内运动 ,在第一秒内它从原点运动到 (0 ,1 ) ,而后它接着按图所示在ｘ轴 ,ｙ轴的平行方向上来回运动 ,且每秒移动一个单位长度 ,那么 ,(1 )粒子从原点运动到Ｐ(1 6,44)时需要多长的时间 ?(2 )经过2 0 0 2秒后 ,这个粒子所处的位置在什么地方 ?本文将对此作更一般的全面解答和探讨 .2　建构三个数列 ,并探求其相互关系2 .1　数列 {ａｎ}设Ａ1(1 ,0 ) ,Ａ2 (2 ,0 ) ,…… ,Ａｎ(ｎ,0 ) ,当粒子从原点到达Ａｎ时 ,所经过的时间为ａｎ.显然ａ1=3 ,那么 ,ａ3与ａ1之间有何关系呢 ?如图所示 ,粒子的运动线路…     

世界各地数学奥林匹克试题摘编

1　 (西班牙 )解方程组ｘ|ｘ| ｙ|ｙ|=1,[ｘ] [ｙ] =1.解　 1)当ｘ≥ 0且ｙ≥ 0时 ,有ｘ2 ｙ2= 1.∴ 0≤ｘ ,ｙ≤ 1.若ｘ <1且 ｙ <1,则 [ｘ] [ｙ] =0 ,矛盾 .故ｘ =1或ｙ =1,从而方程组有解ｘ =1,ｙ =0 ,或 ｘ =0 ,ｙ =1.2 )当ｘ≥ 0且ｙ <0时 ,有ｘ2 -ｙ2 =1.∵ [ｘ]≤ｘ ,[ｙ]≤ｙ ,∴ｘ ｙ≥ [ｘ] [ｙ] =1.∴ｘ -ｙ >ｘ ｙ≥ 1.∴ｘ2 -ｙ2 =(ｘ -ｙ)·(ｘ ｙ) >1,矛盾 .同理 ,当ｘ <0且 ｙ≥ 0时可导出矛盾 .综上知方程组的解为ｘ =0 ,ｙ =1,　 ｘ =1,ｙ =0 .2　 (西班牙 )求所有自然数ｎ ,使得ｎ(ｎ 1) (ｎ 2 ) (ｎ 3 )的素因…