应用数形结合时应注意其等价性

数形结合是中学数学中重要的数学思想方法 ,是一种极富数学特点的信息转换 ,利用数形结合可将代数与几何问题相互迁移 .但是 ,在具体实施数形结合时 ,我们常常是由“形”迁移到“数”,或由“数”迁移到“形”.二者间的迁移 ,多为观察或构造 ,有时并未进行严格的逻辑推理 ,因而就可能会造成数形不等价 ,从而就会造成错觉性的解题失误或片面性的疏漏 .一般来说 ,数形结合的不等价有如下几种情况 :1　数转形时直观不准例 1　如图 1 ,方程 ax =logax (0   

浅谈2011年高考题中出现的数形结合

数形结合思想是一种很重要的数学思想.数学研究的对象是数量关系和空间形式,即数与形两个方面,把数量关系的研究转化为图形性质的研究,或者把图形性质的研究转化为数量关系的研究,这种解决问题过程中“数’”与“形”相互转化的研究策略,就是数形结合的思想.数形结合思想就是要使抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维与形象思维结合起来.在使用的过程中,由“形”到“数”的转化,往往比较明显,而由“数”到“形”的转化却需要转化的意识,因此,数形结合思想的使用往往偏重于由“数”到“形”的转化.在一维空间,实数与数轴上的点建立一一对应关系;在二维空间,实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系.特别是集合、函数、不等式、数列、向量、解析几何、导数与积分等能够用图形表述的知识点,就要用数形结合形象化,高考在选择题、填空题侧重考查数到形的转化,在解答题中,考虑推理论证的严密性,突出形到数的转化.下面谈谈数形结合思想在2011年高考中的体现.     

数形结合在一类无理式函数问题的应用

数学是研究客观世界的空间形式与数量关系的科学.数形结合的思想方法是指概括数学问题的条件和结论之间的内在联系,分析它的代数意义(即数量关系),理解它的几何意义,使数量关系和空间图形巧妙和谐地结合起来.充分利用这种结合可以恰当地改变问题或改变提问的角度,灵活地进行数与形关系的转化来解决问题.数形结合和转化可起到化抽象为直观的"以形辅数"作用和化直观为精细的"以数解形"作用. 在一维空间实现数形结合的桥梁是数轴,即实数与数轴上的点存在一一对应关系;在二维空间实现数形结合的桥梁是坐标系,即有序实数对(a,b)与坐标系中的点存在一一对应关系.笔者试从"以形辅数"的角度解析一类无理函数问题.     

数形结合解不等式三例

中学数学中涉及的思想方法很多,其中“数形结合”是很重要的一种.华罗庚教授说“数”缺少“形”时,少直观;“形”缺少“数”时,难入微.可见“数形结合”在数学中的地位.某些不等式若采用“数形结合”的思想方法来解,将事半而功倍. 例 1 已知f(x)=ax2-c,且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求f(3)的范围. 分析本题若采用通法求解,很容易出错;而用高中数学新教材(试验本)第二册(上)中所讲的“线性规划”,采用“数形结合”来求解,将令人赏心悦目.     

“数”与“形”巧妙融合，“动”与“静”综合应用——一道立体几何题的探究

<正>向量是衔接代数属性与几何图形的一个重要纽带，合理沟通“数”(代数)与“形”(几何)之间的联系，是数形结合的典范之一.而巧妙将向量知识融入到立体几何中，动静直观，数形结合，是数学知识交汇、数学思维融合、数学能力综合等方面表现突出的一个创新点，倍受命题者青睐.     

用数形结合思想解高考题

数形结合就是根据数与形之间的对应关系，通过抽象思维与形象思维的结合来解决数学问题的一种重要思想方法．数形结合思想从“数”“形”两个方面对数学问题进行分析，既注重“数”的严谨性，又充分发挥“形”的直观性．     

数形结合思想热点应用举例

所谓数形结合思想,简而言之就是代数问题几何化、几何问题代数化,充分利用图形的直观性和代数推理的合理性、严密性研究问题.数与形是数学研究的两个重要方面,在研究过程中,数形结合既是一种重要的数学思想,又是一种常用的数学方法.数形结合是历届高考的重点和热点.数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其中“以形助数”是其主要方面,其方法的关键是根据题设条件和探求目标,联想或构造出一个恰当的图形,利用图形探求解题途径.对于填空题可以简捷地直接获得问题的结果,对于解答题要重视数形转换的等价性论述,避免利用图形的直观性代替逻辑推理得到结果.“数缺形时少直观,形少数时难入微”,利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质.函数的图像、方程表示的曲线、集合中的韦恩图或数轴表示等,是“以形示数”,而解析几何中的力程、斜率、距离公式、向量的坐标表示等则是“以数助形”,还有导数更是数形结合的产物,这些都为我们提供了“数形结合”的知识平台.下面举例说明数形结合思想的热点应用.     

二次函数与三角形相似问题两例

<正>二次函数与三角形相似作为初中数学两部分重要内容,常将二者结合在一起出现在综合题里,体现了数形结合和分类思想的具体应用,成为近年来中考热点,本文将对这种类型题目的解法深入探究:一、以抛物线为背景判断三角形是否相似例1如图1,已知抛物线y=-(x-2)²+1的图像与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C.(1)试判断△AOC     

数形结合思想引领下的“向量数乘运算”教学设计

数学思想是对数学对象的本质认识,对数学活动具有普遍的指导意义,是建立数学和用数学解决问题的指导思想．“授之以鱼,不如授之以渔”,通过数学思想的培养,数学的能力才会有一个大幅度的提高,才能使学生受益终身．数形结合思想是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法．数形结合思想通过数形转换,“数因形而直观,形因数而入微”,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质,它是数学的规律性与灵活性的有机结合．     

活用λ的几何意义解题

定理　如果 A、B两点的坐标是A( x1,y1) ,B( x2 ,y2 ) ,点 P在直线 AB上 ,APPB=λ　 (λ≠ - 1 ) ,那么xp =x1 λx21 λ ,yp =λ1 λy21 λ .这是大家熟悉的定比分点公式 .运用该公式解题时 ,注意“数形结合”,明确点 P在直线 AB上的位置与数λ的相互对应关系 (见下表 ) ,不仅能使某些问题化难为易 ,而且能体味其解法的简洁美 .P在直线 AB上的位置λ的变化情况P在有向线段 AB内 0 <λ < ∞P→ Aλ→ 0 P→ Bλ→ ∞P为线段 AB中点λ =1P在有向线段 AB的延长线上 -∞ <λ <- 1P无限远离 B时λ→ - 1-P→ Bλ→ -∞P在有向…     

数形结合巧解最值问题

<正>我国著名数学家华罗庚先生曾说过:"数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休".下面我们用数形结合的数学思想方法解下面这道题.题目(北京高考题改编):y=(a-2)~2+(b-2)~2+(c-2)2,其中a>0,b≥0,c≥0,a+b+c=6,求y的最大值.分析观察已知条件中的代数结构,我们能想到什么?方法1两点间距离.x+y+z=6是立体     

要不要讲题目的类型?

下面是一份某校高三的数学复习提纲(有的附了笔者听课时记录的简单解法).课题:数形结合(1)前言:数形结合就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题.它包含以形助数和以数解形两个方面.其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来,关键是代数问题与     

浅谈数形结合的方法

数形结合思想是一种重要的数学思想,它的实质就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决问题.用数形结合思想解题能简化推理和运算,具有直观、快捷的优点.在历年高考试题的解答中都体现了数形结合思想的广泛应用.     

数形结合思想在中学数学的应用

数形结合思想是初中数学中很重要的一种思想方法,它主要是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,它包含以形助数和以数解形两个方面.本文从两个方面论述了数形结合思想在解题中的具体应用.     

用一个向量式解一组高考试题

向量是数学中的重要概念之一 .新的《全日制普通高级中学数学教学大纲》(试验修订版 )已将《平面向量》纳入教学计划 ,编入高中数学教材 .本文拟利用高中数学 (试验修订本.必修 )第一册 (下 ) P1 0 7例 5所得结论 ,即直线上的游动点公式解一组高考试题 .直线上的游动点公式 :设 O是点 A和 B的连线外一点 ,则点 P和 A、B共线的充要条件是存在实数λ,使得OP =λ OA ( 1 -λ) OB(如图 1 ) .图 1　　　　　　图 2例 1　已知两点 P( - 2 ,2 ) ,Q( 0 ,2 )以及一条直线 l:y =x,设长为 2的线段 AB在直线 l上移动 ,如图 2 .求直线 PA与 QB…     

转化一下更简单

<正>《中学生数学》2018年10月(下)刊登了郭文征老师《数形结合解抛物线问题一例》一文,读后受益匪浅.文中通过数形结合的方法剖析了一道"动"抛物线与"动"线段只有一个公共点的问题.原题如下:在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x~2-2mx+m~2-m+2的顶点为D.线段AB的两个端点分别为A(-3,m),B(1,m).     

感受有理数中的思想方法

<正>数学思想方法是数学学科的精髓,它蕴含在数学知识中,只有领悟了数学思想方法,才能真正体会数学的奥妙,才能触摸到数学的灵魂.掌握数学思想方法,有助于学生形成数学素养,在学习“有理数”时,主要有下面一些数学思想方法.1 数形结合思想借助数形结合思想,能达到形象地理解、认识、处理代数问题的目的.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观,形无数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休.”在数学中,数与形是我们主要的研究对象,     

数形结合思想在初中数学解题中的应用

数形结合思想方法作为初中阶段十分重要的数学方法,将代数思想与图形分析思想完美结合,通过对代数关系以及图形性质的把控来完成数学题目的巧妙解答,是学生在数学解题应用中应该着重培养的数学思想.培养数形结合思想,需要学生掌握以“数”辅“形”、以“形”助“数”以及“数”“形”互助的解题技巧,在遇到代数问题时多考虑图形辅助,在遇到几何问题时多思考其中的代数关系,将数形结合思想熟练运用到日常的数学学习,提高学习质量.     

慎用图象解法

数形结合是重要的数学思想和方法 ,在解题中 ,恰当地利用几何图形来研究问题会显得十分直观 ,有时可避免繁复的数式计算 .但“直观”的主要作用是启迪思维、发现和提出猜想 ,一般来说 ,不能凭借直观得出结论 .不把“数”和“形”结合起来 ,只用“图象解法”常会使我们的解题陷入困境或导致错误 .例 1　若抛物线ｙ=ｘ2 ｍ与椭圆ｘ22 ｙ2 =1有四个不同的交点 ,则ｍ的取值范围是 (　 ) .(Ａ)ｍ >- 2 ;　　　　 (Ｂ)ｍ >- 1 78;(Ｃ) - 2 <ｍ <- 1 ;(Ｄ) - 1 78<ｍ <- 1 .错解　画出椭圆与抛物线的图形图 1 ,动抛物线 :ｙ=ｘ2 ｍ由ｙ=ｘ2 向下…     

集合学习中要注意的几个问题

集合是我们进入高中学习数学首先接触的重要数学概念之一,也是中学数学中最基本、运用最多的概念和数学工具之一.学好它,很有必要.本文介绍学习集合时必须注意的几个问题.1.正确区分点集与数集集合是由元素构成的,认清集合元素是表示点还是数对于处理集合之间的关系及进一步认识集合都非常重要.例1设集合A={x|y=x2-1},B={y|y=x2-1},C={(x,y)|y=x2-1},则下列关系中不正确的一个是()(A)A∩C=.(B)B∩C=.(C)B A.(D)A∪B=C.分析集合A是数集,是二次函数y=x2-1的自变量组成的集合,易知A=R;集合B也是数集,是二次函数函数值组成的集合,易知B…