"三元等和代换"及其应用

对于任意的三个正数 x,y,z,总可以由另外的三个实数 a,b,c表示为 :( T)　x =- a b c,y =a - b c,z =a b - c.则易知 a >0 ,b >0 ,c>0 ,且x y z =a b c.我们称上述的代换为“三元等和代换”,以下简称 ( T)代换 .由 ( T)代换的结构形式 ,可以看出它有其明显的几何意义 :即 x,y,z是以 a,b,c为三边的三角形的任意两边之和与第三边的差 .由此 ,我们很自然地又会想到三角形的三边长 ,可由另外的三正数来表示 ,即 ( T)代换的逆代换 ( T) -1,从而有( T) -1　a =y z2 ,b =z x2 ,c =x y2 .显然　 x >0 ,y >0 ,z >0 .下面举例…     

与一道USAMO试题有关的不等式链

第 2 6届美国数学奥林匹克有一道试题 :对 a、b、c∈ R ,有( a3 b3 abc) -1 ( b3 c3 abc) -1 　 ( c3 a3 abc) -1 ≤ ( abc) -1 . ( 1)本文将通过以下定理证得与 ( 1)有关的不等式链 .定理　设 x、y、z∈ R ,且 xyz =1,则3x y z≤ ∑ 1x y 1≤ ∑ 1x 2≤ 1, ( 2 )其中 ∑ 表示对 x、y、z的轮换求和 .证明　设 x y z =a,xy yz xz =b,由xyz =1,易知 a≥ 3,b≥ 3,a2 ≥ 3b.且x2 y2 z2 =a2 - 2 b,x2 y xy2 y2 z yz2 z2 x zx2 =ab - 3.经运算可得　 ∑ 1x 2= ( y 2 ) ( z 2 ) ( x 2 )…     

一道2005年全国联赛试题的别解

2005年全国高中数学联合竞赛加试试题第二题为: 设正数a、b、c、x、y、z满cy bz=a,az cx=b,bx ay=c.求函数f(x,y,z)=(x2)/(1 x) (y2)/(1 y) (z2)/(1 z)的最小值.     

W.Janoux猜测的原形(本源)浅析及其加强与应用

以下问题就是W .Janoux猜测设x、y、z>0　则y2 -x2z +x + z2 -y2x +y + x2 -z2y +z ≥ 0此不等式流传已久 ,迄今为止已有多种证法 ,但其最简表示形式 (即原形 )是什么 ?不得而知 .在正本清源这种思想的引导下 ,笔者对其进行了分析、研究 ,并获得了一个很好的结果 ,现介绍如下 .1　一个简单而有趣的代换设x、y、z是正数 ,令a=x +y ,b=x+z,c=y +z.则y-x=c-b ,z -y=b-a ,x-z=a -c.而且这里的a、b、c满足条件a+b>c,a+c >b ,b+c>a ,故以a、b、c为边可构造一个三角形 .所以这个代换就揭示了一组正数与三角形的边之间的一种等价转换关系 .2　猜测…     

数学问题解答

2007年1月号问题解答(解答由问题提供人给出)1651已知x,y,z∈R ,n∈N,求证:nx xy z x nyy z x yz nz≤n3 2.(陕西省绥德中学刘永春718000)证明当n=1时,不等式显然成立.当n≥2时,设nx y z=a,x ny z=b,x y nz=c,则x=(nn( n1) a1-)-b2-c,y=(nn( n1) b1-)-c2-a,z=(nn( n1) c1-)-a2-     

一对姐妹不等式的简证和再推广

文[1]提出并证明了下面一对姐妹不等式:若a,b,c是正数,且a b c=1,则有1b c-ac 1a-ba1 b-c≥763,①1b c ac1 a ba1 b c≥1613.②以上两式当且仅当a=b=c=31时取等号.但文[1]证明过程较繁杂,本文给出一种简单证法,并将结论进行一定推广.1一对不等式的简证先证上述不等式①.记x=b c,y=c a,z=a b,则有00,即f(t)为下凸函…     

IMO42-2的推广

第 4 2届 ( 2 0 0 1年 )国际数学奥林匹克试题第 2题为 :对所有正实数 a,b,c,证明 :aa2 8bc bb2 8ca cc2 8ab≥ 1 . ( 1 )推而广之 ,我们发现以下定理　若 a,b,c∈ R ,λ≥ 8,则aa2 λbc bb2 λca cc2 λab≥ 31 λ. ( 2 )证明　令 x =bca2 ,y =cab2 ,z =abc2 ,则 x,y,z∈ R ,且 xyz =1 .于是 ,不等式 ( 2 )等价于11 λx 11 λy 11 λz≥31 λ( 3) 　 1 λ[( 1 λy) ( 1 λz) ( 1 λz) ( 1 λx) ( 1 λx) ( 1 λy) ]≥ 3( 1 λx) ( 1 λy) ( 1 λz) 　 ( 1 λ) [3 2λ( x y z) λ2 ( yz zx …     

问题与解答

一、本期问题 1.若c+b+c=0,a~2+b~2+c~2=0,a~3+b~3+c~3=k,求a~4+b~4+c~4的值;设n为正整数,求a~n+b~n+c~n的值。 2.设x+y+z=0,ax+by+cz=0(其中a、b、c是两两互异的实数),求x~2/yz的值。 3.设n为任意正奇数,m为任意整数,试证明(n+2m)~2-(n+2m)是24的倍数。 4.设正数A、B、C的常用对数分别是a、b、c,且a+b+c=0,证明A~(1/b+1/a)B~(1/a+1/a)C~(1/a+1/b)=1/1000。江苏吴江平望镇五金文具店顾幼元提供 5.已知x+1/y=y+1/z=z+1/x,求证x~2y~2z~2=1。     

2003年北京市中学生数学竞赛初中二年级复赛试题

(2 0 0 3年 7月 2 7日 )一、填空题 (满分 40分 )1.若 (2x -1) 5=a5x5+a4x4+a3 x3 +a2 x2 +a1 x +a0 ,则a2 +a4=.2 .在△ABC中 ,M是AC边的中点 ,P为AM上一点 ,过P作PK∥AB交BM于X ,交BC于K .若PX =2 ,XK =3,则AB =.3.a ,b ,c是非负实数 ,并且满足 3a +2b +c =5,2a +b - 3c =1,设m =3a +b- 7c,记x为m的最小值 ,y为m的最大值 ,则xy =.4.在△ABC中 ,AD是BC边上的中线 ,AB =2 ,AD =6,AC =2 6,则∠ABC =.5 .已知xyz =1,x +y +z =2 ,x2 + y2 +z2 =16.则 1xy + 2z + 1yz + 2x + 1zx + 2y=.二、(满分 15分 )如果正数a ,b ,c满足a+c…     

巧用(a+b)2≥4ab证明不等式

试比较如下两个平凡不等式 :　　 a b≥ 2 ab ( 1 )　　 ( a b) 2≥ 4 ab ( 2 )将 ( 1 )式两边平方 ,即得 ( 2 )式 ;但对 ( 1 )式 ,a,b不能是负数 ,而对于 ( 2 )式 ,a,b却可以是任意实数 .可见 ( 2 )式的应用范围更为宽广 ,而且应用更加生动灵活 .本文旨在介绍 ( a b) 2≥ 4 ab在不等式证明中的种种巧用 .1　正用例 1　已知 3y =3x z,求证 :y2≥ 4 xz.证明　依 ( 2 )式 :( 3y) 2 =( 3x z) 2 ≥ 4 .3xz,故　　 y2≥ 4 xz.例 2　设 a,b,c∈ R,且 a c- 2 b≠ 0 ,求证 :　 ( c b - 2 a) 2　≥ 4 ( a c - 2 b) ( a b - 2 c) .…     

一个含双参数的分式不等式及其应用

本文给出了一个新颖的涉及正实数a,b,c,x,y,z含双参数λ,μ的分式不等式,并举例说明其应用,同时在文章最后还给出了一个猜想.定理设x,y,z∈R ,a,b,c∈R ,λμ≥-1,若λ>0,则有(x μy)a2(λ 1)x (λμ 1)y z (y μz)b2(λ 1)y (λμ 1)z x (z μx)c2(λ 1)z (λμ 1)x y≤1λ[(a     

构造向量解题

文 [1 ]举例说明了平面向量在中学数学中的广泛应用 .作为文 [1 ]的补充 ,本文再举几例 ,说明构造向量 ,利用向量的内积在中学数学其它一些方面的应用 .1　求值例 1　设 a,b,c,x,y,z均为实数 ,且a2 b2 c2 =2 5,x2 y2 z2 =3 6,ax by cz =3 0 .求 a b cx y z的值 .解　由题设条件 ,考虑构造向量 p=(6a,6b) ,q=(5x,5y) .由 (p.q) 2 ≤ |p|2 |q|2 ,有 90 0 (ax by) 2 ≤ 90 0 (a2 b2 ) (x2 y2 ) ,即　 (3 0 - cz) 2 ≤ (2 5- c2 ) (3 6- z2 ) ,变形整理得　 (5z - 6c) 2≤ 0 ,∴　 5z =6c.同理　 5x =6a,　 5y =6b.∴…     

妙用公式ab=((a+b)/2)~2-((a-b)/2)~2

在平方差公式x2-y2=(x+y)(x-y)中,令x=(a+b)/2,y=(a-b)/2,便可得到公式ab=(a+b/2)2-(a-b/2)2,运用此公式,可巧解国内外一组竞赛题.例1 正数a,b,c,x,y,z,满足a+x=b+y=c+z=k,求证:ax+by+cz相似文献   

一道赛题的另一种证明

2008年全国高中数学联赛山东赛区预赛第17题： 若x〉0,y〉0,z〉0,且xyz=1,求证： 1〈1/（1＋x）＋1/（1＋y）＋1/（1＋z）〈2. 原证 （命题组给出的证明）任取a〉0.令b=ax,c=by,由xyz=1,得x=b/a,y=c/b,z=a/c,     

一类三角形不等式的证明

在三角形不等式的证明中,代换a=x＋y,b=y＋z,c=z＋x经常用到．其中x,y,z是正数．这一代换具有明显的几何意义：△ABC的内切圆把a,b,c三边都分为两部分,即y＋z,z＋x,x＋y．用这种代换方法可以证明一类三角形不等式．     

三角形中Σ1/a~2的改进形式

文 [1]给出了关于三角形三边的不等式 :设△ABC的三边长分别为a、b、c ,外接圆半径为R ,内切圆半径为r,半周长为s,面积为△ ,则1a2 1b2 1c2 ≤ 3 3R8rΔ ( 1)本文将证明上述不等式的一个改进为 (符号意义同上 ) :1a2 1b2 1c2 ≤ 14r2 ( 2 )1a2 1b2 1c2 ≥ 12Rr ( 3 )证明 :在△ABC中 ,可设a =y z,b =x z,c =x y ,则 1a2 1b2 1c2 =1(y z) 2 1(x z) 2 1(x y) 2 =1(y-z) 2 4yz 1(x-z) 2 4xz 1(x -y) 2 4xy≤ 14 ( 1yz 1xz 1xy) (当且仅当(转封三 )(接 48页 )x =y=z时取“ =”号 ) =14 ·x y zxyz将三角形中的恒等式 :x y z=…     

一道2005年全国高中数学联赛加试试题的简捷解法

2005年全国高中数学联赛加试第二题是:设正数a,b,c,x,y,z满足cy bz=a;az cx=b;bx ay=c,求函数f(x,y,z)=x21 x y21 y z21 z的最小值.命题组给出的标准解答较繁,本文将给出一个简捷解法.为了书写简单,本文中用∑表示循环求和,首先由已知条件得b(az cx) c(bx ay)-a(cy bz)=b2 c2-a     

一道2000年IMO试题的背景

第41届(2000年)国际数学奥林匹克试题第2题为[1]:设a、b、c是正实数,且满足abc=1,证明:(a-1 1b)(b-1 1c)(c-1 1a)≤1.(1)我们认为,该题是以1983年瑞士数学奥林匹克试题第2题为背景编制的:设x、y、z是正实数,证明:xyz≥(y z-x)(z x-y)(x y-z).(2)事实上,(2)式可变形为(yx-1 zx)(     

关于方程ax+by=cz的Terai-Jesmanowicz猜想

设m是正整数,证明了:(A)如果b是奇素数,且a=m3-3m,b=3m2-1,c=m2+1,那么丢番图方程ax+by=cz(1)仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,3);(B)如果b是奇素数,且a=m|m4-10m2+5|,b=5m4-10m2+1,c=m2+1,那么丢番图方程(1)仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,5).     

关于方程ax+by=cz的Terai-Jesmanowicz猜想

设m是正整数,证明了(A)如果b是奇素数,且a=m3-3m,b=3m2-1,c=m2+1,那么丢番图方程ax+by=cz(1)仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,3);(B)如果b是奇素数,且a=m|m4-10m2+5|,b=5m4-10m2+1,c=m2+1,那么丢番图方程(1)仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,5).