一道2000年IMO试题的背景

第41届(2000年)国际数学奥林匹克试题第2题为[1]:设a、b、c是正实数,且满足abc=1,证明:(a-1 1b)(b-1 1c)(c-1 1a)≤1.(1)我们认为,该题是以1983年瑞士数学奥林匹克试题第2题为背景编制的:设x、y、z是正实数,证明:xyz≥(y z-x)(z x-y)(x y-z).(2)事实上,(2)式可变形为(yx-1 zx)(     

一道IMO试题的深化

第30届IMO第二试(1989年7月19日)最后一题是: 设n是正整数,我们说集合{1,2,…,2n}的一个排列(x_1,x_2,…,x_(2n))具有性质P,如果在{1,2.…,2n-1}当中至少有一个i使得     

一道IMO试题的拓广

一九九一年举行的第32届国际数学奥林匹克竞赛的第五题为: 设P为△ABC内一点,求证∠PAB、∠PBC、∠PCA至少有一个小于或等于30°。下面将它拓广为: 定理设P为凸n边形A_1A_2…A_n(n≥3)     

一道2000年CMO试题的背景及别解

2000年中国数学奥林匹克第一题是[1]:设a、b、c为△ABC的三条边,a≤b≤c,R和r分别为△ABC的外接圆半径和内切圆半径.令f=a b-2R-2r,试用角C的大小来判定f的符号.据笔者掌握的资料,此题可能是以《美国数学月刊》1999年2月号问题10713为背景编制的[2]:设a、b、c、R、r分别为满足A     

一道IMO试题的除法证法

一道ＩＭＯ试题的除法证法２１１２２２江苏溧水县石湫中学童林玲题已知正整数ａ与ｂ使得ａｂ＋１整除ａ２＋ｂ２，求证：是某个正整数的平方．（第２９届ＩＭＯ第６题）本文拟用带金除法给出一个简明证法．证明作除法，有：因此，其中（ａ，ｂ）是ａ，ｂ两数的最大公约数...     

一道IMO试题证法的探索

遇到一道好数学题时 ,不要急于去看其解法 ,应先自己动手试试 ,也不能满足于已给或已得的解法 ,而应积极地去探索新的解法 .坚持这样探索式学习 ,能培养自己思维的灵活性、发散性、批判性、创造性 ,提高解题能力 .问题　设ｘ、ｙ、ｚ为非负实数 ,且ｘ +ｙ +ｚ=1,求证 :0≤ｘｙ +ｙｚ+ｚｘ -2ｘｙｚ≤72 7.(第 2 5届ＩＭＯ试题 )不妨先试一试 ,由条件易知ｘｙ≥ｘｙｚ,ｙｚ≥ｘｙｚ ,从而ｘｙ +ｙｚ+ｚｘ -2ｘｙｚ≥ｚｘ≥ 0 ,左不等式成立 .下面只需证明ｘｙ +ｙｚ+ｚｘ -2ｘｙｚ≤ 72 7. ( )几经探索 ,难以找到证 ( )式的突破口 .那么 ,来…     

一道IMO竞赛试题的证明

不等式的证明存在着寻找入口难，条件运用难，确定变形方向难等问题，本文从一道IMO试题证明入手，从多方向考虑，探求其一般的思路，使学生能举一反三．     

对一道IMO试题的解析

对一道ＩＭＯ试题的解析４３００６２湖北大学数学系沈华１９８８年，联邦德国为第２９属ＩＭＯ提供了下面这道有名的试题．已知正整数ａ与ｂ，使得ａｂ＋１整除ａ２＋ｂ２，求证：是某个正整数的平方．在ａ≥ｂ时，［１］通过下面的算式：断言，从而得到进而结出了如下的...     

一道IMO试题引发的探索

第49届IMO于2008年7月中旬在西班牙马德里举行,第一天的第2大题的第1小题是一道不等式证明题：     

从一道IMO多项式试题谈起

设f(x)是一个整系数多项式,如果f（x)不能分解为两个次数均≥1的整系数多项式的乘积,那么就称f(x)在整数环Z上是不可约的．下面是第34届IMO之第1题及其标准答案．     

布洛卡点与一道IMO试题

题设P是△ABC内一点,求证∠PAB、∠PBC、∠PCA至少有一个小于或等于30°。这是1991年举行的第32届国际数学奥林匹克第五题,我们把黄岗中学王崧的解法(参见[1])摘要如下: 证明如图1,容易推得sinasinβsiny=sin(A—a)sin(B—β)sin(c—y)(1) 由于当x,y∈(0,π)时有 sinxsiny=(cos(x-y)-cos(x y))/2 ≤sin~2(x y)/2 (2) 以及Insinx是上凸函数,故 sinasinβsinysin(A-α)sin(B-β)sin(C-y)≤sin~6(α β y A-a B-β C-)/6=(1/(2~6)) (3)     

一道IMO函数方程试题的推广

第28届IMO的第四题是一道关于函数方程的试题：求证不存在函数f：N→N，使得对于每个n∈N，f[f（n）]＝n＋1987[1]．首先，我们把上述试题推广到一般的情形定理1设m为自然数，存在函数f：N→N，使得对每个n∈N，均有f[f（n）]＝n＋m的充要条件是m为偶数证明当。为偶数时，取函数f：N→N，f（n），显然该函数满足f[f（n）]＝n＋m。反过来，如果m为奇数，那么对于任何n∈N，不存在函数f：N→N，使得f[f（n）]＝n＋m．事实上，假设存在这样的函数f，则有f（n＋m）＝f｛f[f（n）｝＝f（n）＋m，进而用归纳法可验证f（n＋km）＝f（n）＋km…     

用向量法解一道IMO试题

1978年在罗马尼亚首都布加勒斯特举行的第20届国际数字奥林匹克中,有一道由美国提供的立体几何试题:     

一道高等数学试题的分析研究

介绍试题的几何意义以及线性插值思想.讲解试题典型解法.     

一道高等数学竞赛试题的推广

对2015年浙江省高等数学竞赛中的一个条件极值问题作出了推广.     

一道第42届IMO试题的加强

第42届IMO第二题是一道不等式证明题：     

对一道IMO试题的发散性研究

1赛题与启示 第24届IMO试题: 设a,b,c是三角形的边长,试证a2b(a-b) b2c(b-c) c2a(c-a)≥0(1)     

一道IMO数论试题的实多项式模拟

１９８８年,联邦德国为第２９届ＩＭＯ提供了下面这道有名的数论试题：已知正整数ａ与ｂ,使得ａｂ＋１整除ａ２＋ｂ２,求证ａ２＋ｂ２ａｂ＋１是某个正整数的平方．在［１］里,我们证明了如下的精确结果：若正整数ａ与ｂ使得ａｂ＋１整除ａ２＋ｂ２,则必有ａ２＋ｂ２ａｂ＋１＝（ａ,ｂ）２,这里（ａ,ｂ）是ａ和ｂ的最大公约数．在［２］里,我们把这个结果进一步地推广为如下形式：如果ａ、ｂ、ｃ都是正整数,使得０＜ａ２＋ｂ２－ａｂｃ≤ｃ＋１,那么ａ２＋ｂ２－ａｂｃ＝（ａ,ｂ）２,其中（ａ,ｂ）为ａ和ｂ的最大公约数．在…