有限域的本原元性质

本文讨论更一般的问题:存在正整数 q_(?),当 q>q(?)时,对任 a,b,a∈GF(q)~*,均存在 GF(q)的两个本原元 x 和 y,使得 ax by=a.我们利用 Jacobi 和等方法找到了一个较小界 q(?)=6.62×10~7,除去一个可能的例外值。     

有限域上幂剩余正规元的存在性

GF(q)是q个元的有限域,q是素数的方幂,n是正整数,GF(qn)为GF(q)的n次扩张.用指数和估计的方法给出了3种情形下幂剩余正规元存在的充分条件,即(1)GF(qn)中存在元ξ为GF(q)上的幂剩余正规元;(2)GF(qn)中存在元ξ与ξ-1同时为GF(q)上幂剩余正规元;(3)对GF(qn)*中任意给定的非零元a和b,GF(qn)中存在元ξ与ξ-1同时为GF(q)上d次幂剩余正规元,且满足Tr(ξ)=a,Tr(ξ-1)=b.     

有限域上幂剩余正规元的存在性

GF(q)是q个元的有限域,q是素数的方幂,n是正整数,GF(q~n)为GF(q)的n次扩张.用指数和估计的方法给出了3种情形下幂剩余正规元存在的充分条件,即(1)GF(q~n)中存在元ξ为GF(q)上的幂剩余正规元;(2)GF(q~n)中存在元ξ与ξ~(-1)同时为GF(q)上幂剩余正规元;(3)对GF(q~n)~*中任意给定的非零元a和b,GF(q~n)中存在元ξ与ξ~(-1)同时为GF(q)上d次幂剩余正规元,且满足Tr(ξ)=a,Tr(ξ~(-1))=b.     

有限域上最优正规基的乘法表

本文给出了有限域上最优正规基乘法表的一个计算方法,改进了孙琦的相应结果.在有限域上椭圆曲线密码体制的应用中,本文给出的算法是非常有效的.     

有限域上的二次本原多项式

本文证明了对任给定的 a∈GF(q)~*,均存在 GF(q)上的形为 x~2+ax+b的二次本原多项式.从而证明了 Golomb 猜想(D).     

有限域上存在弱自对偶正规基的一个充要条件

对于将有限域上的自对偶基概念推广到了更一般的弱自对偶的情形,给出了有限域上存在这类正规基的一个充妥条件:设q为素数幂,E=Fqn为q元域F=Fq的n次扩张,N={αi=αqi|i=0,1,…,n-1}为E在F上的一组正规基．则存在c∈F*及r,0≤r≤n-1,使得β=cαr生成N的对偶基的充要条件是以下三者之一成立: (1)q为偶数且n≠0(mod 4);(2) n与q均为奇数;(3)q为奇数,n为偶数,(-1)为F中的非平方元且r为奇数．     

有限域上存在弱自对偶正规基的一个充要条件

对于将有限域上的自对偶基概念推广到了更一般的弱自对偶的情形,给出了有限域上存在这类正规基的一个充要条件设q为素数幂,E=Fqn为q元域F=Fq的n次扩张,N={αi=αq2| i=0,1,…,n-1}为E在F上的一组正规基.则存在c∈F*及r,0≤r≤n-1,使得β=cαr生成N的对偶基的充要条件是以下三者之一成立(1)q为偶数且n≠0(mod 4);(2)n与q均为奇数;(3)q为奇数,n为偶数,(-1)为F中的非平方元且r为奇数.     

有限域上的弱自对偶正规基

对有限域上的弱自对偶正规基的乘法表的特征进行了刻画,并对其复杂度进行了研究,得到了在几种不同类型的有限域扩张时此类正规基的下界描述.例如,若q为素数幂,E=Fqn为q元域F=Fq的n次扩张,N={αi=αqi|I=0,1,…,n-1}为E在F上的一组弱自对偶正规基,其对偶基由β=cαr生成,其中c∈F*,0≤r≤n-1,则当r≠0,n/2时,N的复杂度CN为偶数且CN≥4n-2.     

特征2的有限域中一些特殊元素的存在性(II)

设q=2s.s,n为正整数,Fqn为qn元素的有限域.在本文中,我们考虑Fqn中一些特殊元素的存在性.主要结果是:当下面的条件之一成立时,在Fqn中存在ξ使得ξ和ξ+ξ-1都是本原元并且ξ+ξ-1还是一个正规元:1.当n|(q-1)时,n37,s>6,或者2.当n|■(q-1)时,n≥34,s>6.进一步,如果n是奇数,则当下列条件之一成立时,存在ξ∈Fqn使得ξ和ξ+ξ-1都是Fqn的本原正规元:1.当n|(q-1)时,n≥257,s>9,或者2.当n■(q-1)时,n≥43,s≥9.     

有限域上本原多项式系数的研究

设Fq表示有q个元素的有限域,q为素数的方幂,f(x)=xn+a1xn-1+…+an-1x+an∈Fq[x].当n≥7时,文[8]指出存在Fq上可预先指定a1,a2的n次本原多项式.本文讨论了剩余的n=5,6两种情形,利用有限域上的两类特征和估计及Cohen筛法(见[4,6]),改进了文[8]中关于本原解个数的下界,并得到当n=5,6时,在特征为奇的有限域上存在可预先指定前两项系数的n次本原多项式.     

Primitive Normal Bases for Towers of Field Extensions

Given an extension E/F of Galois fields and an intermediate field K, we consider the problem whether the (E, K)-trace of a primitive F-normal element of E can be a prescribed F-normal element of K. An interesting application is the existence of trace-compatible sequences of primitive F-normal elements for certain towers of Galois fields. In this respect, particular emphasis is laid on extensions having prime power degree.     

Existence of Some Specific Elements in Finite Fields北大核心CSCD

Let q = pk and Fqn be the extension field of Fq of degree n, where p is an odd prime and n, k are positive integers. The main contribution of this paper is as follows: If n | (q − 1), k ≥ 11, n ≥ 14 or n (q − 1), k ≥ 10, n ≥ 8, then there exists a primitive element α in Fqn such that α + α−1 is a normal element, and 1 + α2 is a square element, and there exists a normal element β, such that β + β−1 is a primitive element, and 1 + β2 is a square element. © 2022 Chinese Academy of Sciences. All rights reserved.     

有限域的原根在剩余理论中的应用

研究了p是正奇素数的情况下,有限域的原根在剩余理论中的应用．利用有限域Fp上原根的性质,给出了一类集合与平方剩余之间的关系,获得了这类集合所包含元素个数之间的关系,并且这个结论把关于这方面的结果从r=0推广到了r=0和2．