Prix Bolyai. avec un rapport par Henri Poincaré

Conclusions Après cet exposé, un long commentaire serait inutile. On voit quelle a été la variété des recherches deM. Hilbert, l'importance des problèmes auxquelles il s'est attaqué. Nous signalerons l'élégance et la simplicité des méthodes, la clarté de l'exposition, le souci de l'absolue riguer. En cherchant à être parfaitement rigoureux, on risque parfois d'être long, et ce n'est pas là acheter trop cher une correction sans laquelle les mathématiques ne seraient rien. MaisM. Hilbert a su éviter ce que ces longueurs auraient pu avoir d'un peu pénible pour ses lecteurs, en ne leur laissant jamais perdre de vue le fil conducteur qui lui a servi à s'orienter. On voit toujours aisément par quel encha?nement d'idées il a été amené à se poser un problème et à en trouver la solution. On sent que, plus analyste que géomètre au sensordinaire du mot, il a néanmoins aper?u l'ensemble de son travail d'un coup d'œil, avant d'en distinguer les détails, et il sait faire profiter le lecteur de cette vue d'ensemble. M. Hilbert a exercé une influence considérable sur les progrès récents des sciences mathématiques, non seulement par ses travaux personnels, mais par son enseignement, par les conseils qu'il donait à ses élèves et qui leur permettaient de contribuer à leur tour à ce développement de nos connaissances en se servant des méthodes créées par leur ma?tre. Il n'est pas besion, ce semble, d'en dire davantage pour justifier le choix de la Commission qui a été unanime à attribuer àM. Hilbert le prix Bolyai pour la période 1905–1909.     

Sur un problème asymptotique relatif au système de deux équations différentielles ordinaires

Résumé Dans l'article présent nous indiquons une condition nécessaire et suffisante de caractère topologique pour qu'un ensemble W contenu dans un domaine plan et borné D soit engendré par la famille de toutes les intégrales d'un système autonome convenable de la forme(2,3) qui sont entièrement contenues dans D. Nous nous bornons au cas des systèmes(2,3) dont les intégrales traversent la frontière F, suffisamment simple, de D en passant de l'intérieur à l'extérieur de D. La méthode que nous appliquons se sert de la notion du ? rétracte asymptotique ?. Elle est, au fond, celle de notre note antérieure (cf. Remarque 8). Ce résultat se rapporte au phénomène asymptotique relatif aux équations différentielles ordinaires, phénomène qui, sous ses nombreux et importants aspects, a été magistralement traité par le Professeur Giovanni Sansone. Je suis d'autant plus heureux que cette article fait partie du volume qui lui est dédié. à Giovanni Sansone pour son 70^ème anniversaire.     

Sur une représentation quadridimensionnelle ponctuelle de l'espace réglé à trois dimensions

Résumé L'auteur revient ici sur une représentation métrique de l'espace projectif règlé à trois dimensions sur l'espace métrique euclidien qu'il a utilisée dans des recherches antérieures. Il montre l'intérêt que présente cette représentation en tant qu'instrument de groupement de problèmes, et donne des aper?us nouveaux sur des sujets de natures diverses, tels par exemple les surfaces de Wilczynski (dont il fait une étude globale basée sur la considération des modèles projectifs ou de leurs images conformes), les surfaces W et la déformation continue des surfaces de révolution, les surface minima et leurs transformations cylindriques, les surfaces à règlées asymptotiques situées dans des complexes linéaires, les congruences W à nappes focales règlées et les quadriques de Lie d'une surface. En souvenir de Guido Castelnuovo, à l'occasion du premier centenaire de sa naissance.     

Le problème de Cauchy pour les systèmes d'équations linéaires aux dérivées partielles totalement hyperboliques

Résumé Solution du problème deCauchy pour les systèmes d'équations linéaires aux dérivées partielles totalement hyperboliques par la méthode des singularités. Application à l'étude de la propagation des ondes lumineuses dans un milieu cristallin, homogène, uniaxe. à Mauro Picone pour son 70^me anniversaire. Les chiffres entre crochets renvoient à l'index bibliographique.     

Contribution à un problème de M. M. Picone

Résumé Par une méthode fonctionnelle développée ailleurs (cf. la bibliographie), on apporte dans cet article une contribution à un problème posé parM. M. Picone. On montre que, sur des ouverts dont la frontière est suffisamment régulière, le problème deM. M. Picone (et même un type plus général de problèmes aux limites) admet une solution unique, les conditions aux limites étant prises ? en moyenne ? (cf. N^o 6 pour les définitions précises).     

Problème généralisé aux dérivées tangentielles discontinues pour une fonction harmonique daus l'espace

Résumé Dans ce travail l'auteur pose et résoud le problème de la détermination d'une fonction harmonique dans l'espace à n dimensions qui vérifie la condition limite (2) et une relation (3) entre les valeurs limites de la dérivée normale et les dérivées tangentielles en tout point y des disques plans D_i, ... D_p non situé sur les surfaces de discontinuité. L'auteur amène le problème au système (14), (15) d'équations intégrales singulièrés et le résoud par l'application du théorème topologique deSchauder.     

Sur la séparation des variables dans l'équation aux dérivées partielles de Hamilton-Jacobi

Résumé On expose des considérations sur la résolution d'un problème de Mécanique Analytique par quadratures; on détaille les résultats fondamentaux de Levi-Civita relatifs à la résolution de l'équation aux dérivées partielles de Hamilton-Jacobi par séparation des variables. On résume un certain nombre de résultats, dans le cas des liaisons holonomes, et deux problèmes revenus à l'actualité, comme exemples. A Monsieur le ProfesseurDario Graffi, pour son 70-ème anniversaire Entrata in Redazione il 4 luglio 1975. Adresse de l'auteur: Aimé Huaux, dr. sc., 22 Kasteellaan, B-1641 Alsemberg, Belgique.     

Die Konstruktion des allgemeinen Operators des Involutionssystems von homogenen linearen partiellen Differentialgleichungen

Résumé La notion de l'opérateur permutant les solutions d'une équation et d'un système complet d'équations linéaires et homogénes aux dérivées partielles du premier ordre, a été introduite parS. Lie. L'école deH. Poincaré a envisagé la question de construire tous ces opérateurs.M. Ed. Goursat donne à cette question, pour une seule équation, le nom de problème deM. A. Buhl. Un tel problème a été entièrement résolu par nousmême en 1931 (*). Dans le mémoire qui suit on trouve tous les opérateurs d'un système complet.      

Sur les intégrales algébriques de différentielles algébriques

Sans résumé Les résultats obtenus parM. Humbert ont déjà été trouvés parM. Weierstrass bien des années auparavant et communiqués par lui dans son, cours sur les fonctions abéliennes. Mais la méthode suivie par les deux savants est tout à fait différente. ChezM. Weierstrass les conditions pour qu'une intégrale de la forme ∫R(x,y)dx soit une fonction algébrique dex découlent, comme simple corollaire, du théorème sur la réduction de chaque intégrale de la forme considérée à une somme d'intégrales normales de la première, de la seconde et de la troisième espèce. Pour effectuer cette réduction il faut et il suffit de conna?tre: 1^o les coefficients des puissances négatives det aux environs de tous les points analytiques pour lesquels le développement deR(x _t,y_t)dx_t/dt contient en général des puissances négatives det; 2^o la valeur deR(x, y) pourp points analytiques réguliers (a ₁, b₁), …, (t_p, b_p) choisis arbitrairement. Le, théorème deM. Weierstrass est cité, quoique sans démonstration, dans la thèse inaugurale deM. Hettner (Berlin, 1877).     

Les axiomes de la mecauique du point materiel

Résumé L'examen préalable des concepts mathématiques indispensables aux énoncés des Axiomes de la Mécanique fait partie integrante de ces énoncés. Le concepts qui interviennent ce sont d'abord ceux concernant certains espaces ponctuels ou vectoriels euclidiens et les produits cartésiens qui en sont constitués, en suite ceux rélatifs aux formes linéaires ou bilinéaires attachées à ces espaces. Après avoir définit la série d'espaces et de formes qui sont nécessaires pour constituer la Mécanique inertiale du point, nous devons passer à la Mécanique du point dans un champ. Pour y parvenir nous devons dotér d'abord l'espace R de la metrique qui s'impose et en constituer ainsi l'univers deEinstein-Minkowski. Avec R comme base, nous formons un espace fibré qui est le siège du champ de vecteurs deMaxwell et ensuite un second espace, fibré par un espace de tenseurs, qui nous donne les champs non holonomes des mésons et d'autres champs dont l'interprétation reste encore à être donnée. A M. Enrico Bompiani pour son Jubilé scientifique.     

Les extensions quadratiques du corps des rationnels,ou du corps de Causs,ou du corps des racines cubiques de l'unité de calibres 1

Résumé Nous transposons certains des résultats sur le problème du nombre de classes 1 établis dans le cas des extensions quadratiques réelles de ℚ au cas des extensions quadratiques de ℚ(i) et ℚ(j): nous caractérisons (en terme de contrainte sur leurs discriminants relatifs) les extensions quadratiques de ℚ(i) et ℚ(j) dont la classe principale est de calibre 1, puis déterminons, sous l'assomption d'une forme convenable de l'hypothèse de Riemann, ces extensions quadratiques de calibre 1, i.e. ces extensions à classe principale de calibre 1 qui sont principales. Le cas des extensions quadratiques de ℚ(j) est particulièrement satisfaisant: après avoir amendé dans ce cadre les valeurs des bornes de Minkowski jusqu'à ce jour connues, nous disposerons d'une caractérisation de principalité des extensions quadratiques de ℚ(j) qui se spécialisera en une condition nécessaire et suffisante pour qu'une telle extension soit de calibre 1. La motivation de cette détermination repose sur le résultat de R Paysant-Le Roux suivant lequel il n'existe qu'un nombre fini de corps de nombres de degré et de calibre donnés. Notons que nos résultats s'étendent sans difficulté au cas des extensions quadratiques d'une des neuf corps quadratiques imaginaires principaux, et ce d'autant plus aisément que les deux cas que nous traitons ici sont ceux qui sont source du plus de difficulté du fait qu'ils correspondent aux corps quadratiques imaginaires pour lesquels le groupe des racines de l'unité n'est pas réduit à {−1,+1}.

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Sur une application géométrique des dispersions centrales des équations différentielles linéaires du deuxième ordre

Résumé Sont étudiées les courbes planes caractérisées par la propriété d'être coupées par toute droite d'un faisceau de droites en au moins deux points et de telle fa?on que les tangentes de la courbe, dans les différents points d'intersection, sont mutuellement parallèles. L'étude est basée sur les notions empruntées de la théorie des équations différentielles linéaires ordinaires du deuxième ordre. Il s'agit des matières dans le domaine réel et de caractère global. En souvenir de Guido Castelnuovo, à l'occasion du premier centenaire de sa naissance.     

Sur l'existence des solutions pour un problème aux limites général

Résumé On considère le problème de l'existence des solutions pour le problème aux limites (L, K) + (T, H), où L, T sont des opérateurs linéaires et K, H des opérateurs non-linèaires. L'auteur remercie àM. R. Conti, pour les conseils donnés pendant la préparation de ce travail. Entrata in Redazione il 10 settembre 1968.     

Propogation Des Singularites pour Des Operateurs dont La Matrice Foundament contient Des Valeurs propres non Purement Imaginaires

L'objectif de ce travail est de prouver un résultat de propagation des singularité pour certains opérateurs pseudo–différentiels dont les caractéristiques doubles sont symplectiques et tels que la seule valeur propre purement imaginaire de la matrice foundamentale soit zéro. Il s'agit du probl´me du croisement symplectique. Lorsque la condimension de la variét´ des caractéeristiques dubles est 2, l'opérateur admet des directions micro–hyperhboliques et aussi des modéles réduits trés simples, ces situations ont été traitées par Hanges et par Oaku dans le cas analytique. La propagation des singularités à laquelle on s'intéresse ici est celle qui dans ce cas là exclut le branchement des singularités, elle exige done une condition discrète sur les valeurs du symbole sous principal. Le cas de la codimension 2 est plus simple puisqui'il correspond à une situation [ugrave] il n'y a pas de résonances.

Il est aussi apparu que ce probléme intervenait dans l'equation de Schrödinger semi–classique voir Helffer–Sjöstrand, la méthode utilisée dans cet article reprenant une idée développée par Menikoff–Sjöstrand utilise des constructions "explicites", la difficulté étant qu'il faut un certain nombre de fois changer le sens d'intégration.

Une autre approche constructive aussi a été utilisée dans Lascar–Sjästrand elle marche dans une situation beaucoup plus générale mais exige une condition trop stricte sur le terme d'ordre inférieur.

Comme un premier pas vers l'extension de ce résultat à des conditions plus larges sur le symbole sous principal, nous avons voulu donner une preuve aussi simple que possible dans le ces des caractéristiques doubles symplectiques. La méthode utilise une estimaton d'énergie; à la différence de notre travail les concaténatios ne donnent pas le résultat et il faut procéder avec plus de soin.     

Principe de bloch et estimations de la métrique de Kobayashi des domaines de<Emphasis Type="Bold">C</Emphasis><Superscript>2</Superscript>

Nous ramenons l'existence d'estimations optimales pour la métrique de Kobayashi dans les domaines pseudoconvexes de type fini deC ² à un principe de Bloch asymptotique. Nous établissons ce principe en combinant la méthode de renormalisation utilisée par Gromov dans le contexte des applications harmoniques aux techniques de dilatation des coordonnées. Cecifournit une preuve totalement élémentaire d'un résultat de Catlin particulièrement utile dans l'étude des questions de prolongement et de rigidité d'applications holomorphes.

     

Prolongement méromorphe des courants de Green

Résumé. Sur une variété quasi-projective complexe, on construit des courants dépendant d'un paramètre holomorphe qui prolongent les courants d'intégration des sous-variétés et les courants de Green de type logarithmique. On prouve des résultats de régularité et d'holomorphie pour ces courants et pour leur produits. On démontre que le *-produit dans la théorie d'Arakelov peut être défini par prolongement méromorphe à partir du produit de courants dépendant d'un paramètre dans une région de l'espace des paramètres où ils sont représentés par des formes différentielles. On donne une nouvelle preuve pour la commutativité et pour l'associativité du *-produit. Revised version: 16 July 2001 / Published online: 1 February 2002     

Sur une propriété du système de tous les nombres algébriques réels

Sans résumé Traduction d'un mémoire publié d. l. journ. d. Borchardt, t. 77, pag. 258. M. Georg Cantor ayant eu la bonté de nous promettre une série d'articles nouveaux concernant ses recherches sur la théorie des ensembles, nous pensons rendre service à nos lecteurs en reproduisant d'abord ici en traduction fran?aise les principaux mémoires deM. Cantor qui se rapportent à ce sujet; ils nous paraissent en effet indispensables à l'intelligence des nouveaux qui vont suivre et que l'auteur publiera de même en fran?ais. La traduction a été revue et corrigéc par l'auteur.     

La formule des traces pour les algèbres de Lie

Nous établissons un analogue pour les algèbres de Lie de la formule des traces d'Arthur-Selberg. Soit G un groupe réductif connexe défini sur et son algèbre de Lie. On considère et deux familles de distributions sur les points adéliques de , chacune in dexée par les classes de -conjugaison semi-simple dans : la première est formée des analogues des termes du c?té géométrique de la formule des traces pour les groupes et la seconde de leurs transformées de Fourier. On montre que pour toute fontion f dans la classe de Schwartz et que ces deux sommes convergent absolument. C'est cette égalité qui est un analogue de la formule d'Arthur-Selberg. Une telle formule peut étre utile pour des problèmes d'analyse harmonique locale. Pour terminer, nous exprimons les termes associés aux classes de conjugaison semi-simples régulières à l'aide d'intégrales orbitales pondérées. Received: 28 December 1998 / Revised version: 9 May 2001 / Published online: 19 October 2001     

Ondes asymptotiques non linéaires

Résumé Le terme du premier ordre de l'onde asymptotique a une forme particulièrement simple non seulement quand la solution de base est constante mais aussi, en ce qui concerne sa norme, lorsque les équations dérivent d'un principe variationnel. Par un changement des variables de champ les équations d'évolution d'Euler s'écrivent comme un système symétrique du premier ordre avec second membre antisymétrique dont toutes les matrices sont constantes sauf celle qui multiplie la dérivée temporelle et qui est un double gradient. A Dario Graffi à l'occasion de son 70-ème anniversaire Entrata in Redazione il 15 giugno 1975.