函数的极限与函数极限的四则运算

函数的极限选择题1　设ａ为常数 ,|ａ| <1 ,则ｌｉｍｘ→ ∞ ａｘ 的值是(　　 )(Ａ) 0 .　　　　　　　 (Ｂ) 1 .(Ｃ) ∞ . (Ｄ)ａ .2　设ｆ(ｘ) =ｘ2 - 4ｘ - 2 (ｘ≠ 2 ) ,则ｘ→ 2时ｆ(ｘ)的极限为 (　　 )(Ａ)不存在 . (Ｂ) 0 .(Ｃ) 4. (Ｄ) - 2 .3　设ｆ(ｘ) =ｅｘ 1 ,ｘ≤ 0 ,4ｘ2 ,ｘ >0 ,则ｌｉｍｘ→ 0 ｆ(ｘ)的值是 (　　 )(Ａ) 2 . (Ｂ) 0 .(Ｃ)不存在 . (Ｄ) 1 .4　设ｆ(ｘ) =(ｘ - 4 ) 2 ,则ｌｉｍｘ→ 0 -ｆ(ｘ)的值是(　　 )(Ａ)± 4. (Ｂ)不存在 .(Ｃ) - 4 . (Ｄ) 4.5　设ｆ(ｘ) =1 ,ｘ >0 ,0 ,ｘ =0 ,- 1 ,ｘ <0 ,则…     

数学高考题别解例谈

数学高考题好似一座蕴藏丰厚的宝库 ,寻觅其间 ,可获奇珍异宝 ,偶得别解三例 ,耐人寻味 .例 1　 (1 997年 理 2 4 )设二次函数ｆ(ｘ) =ａｘ2 ｂｘ ｃ(ａ>0 ) ,方程ｆ(ｘ) -ｘ=0的两个根ｘ1 ,ｘ2 ,满足 0 <ｘ1 <ｘ2 <1ａ.(Ⅰ )当ｘ∈ (0 ,ｘ1 )时 ,证明ｘ <ｆ(ｘ) <ｘ1 ;(Ⅱ )设函数ｆ(ｘ)的图象关于直线ｘ =ｘ0 对称 ,证明ｘ0 <ｘ1 2 .证明涉及到二次函数的不等式 ,比较自然的思路有求差比较法 ,或限定对称轴的位置 ,然后利用二次函数在相应区间上的单调性获解 .但许多考生在用求差比较法时 ,不能据“ｆ(ｘ) -ｘ=0的两个根是ｘ1 ,ｘ2 ”…     

关于函数f(x)=(ax b)～(1/2) (cx d)～(1/2)值域的一个定理

对于函数ｆ(ｘ) =ａｘ ｂ ｃｘ ｄ的值域 ,当ａ ,ｃ同号时 ,显然可以用函数的单调性求解 ;当ａ ,ｃ异号时 ,不能用函数单调性求解 ,近几年各数学刊物介绍了许多好的解法 .本文试给出一个求函数ｆ(ｘ)值域的定理 ,从根本上解决这种函数的值域求解问题 .为了叙述方便 ,设ｆ(ｘ) =ａｘ ｂ ｄ-ｃｘ(ａ>0 ,ｃ>0 ) .下面先给出一个引理 .引理　设ｆ1 (ｘ) =ａｘ ｂ ,ｆ2 (ｘ) =ｄ -ｃｘ(ａ>0 ,ｃ>0 ) ,则ｆ1ｄｃ ｆ2 - ｂａ =ｆ1ｄｃ ｆ2 (ｘ) ｆ2 - ｂａ ｆ1 (ｘ) .证明　因为ｆ1ｄｃ ｆ2 - ｂａ =ａｄｃ ｂｄ ｂｃａ =(ａｄ ｂｃ) 2ａｃ ,…     

函数的单调性在解题中的应用

函数的单调性是函数的重要性质之一 ,本文介绍它在解某些类型的数学题中的应用 .1　在方程问题中的应用例 1　 (北京市高一数学竞赛 ,1998年初赛 )试确定方程3ｘ2 -9 4ｘ2 -16 5ｘ2 -2 5 =12 0ｘ的解集 .解　记 ｆ(ｘ) =3 ｘ2 -9 4ｘ2 -16 5ｘ2 -2 5 ,　　　 ｇ(ｘ) =12 0ｘ .显然有ｘ >0 ,且有ｆ( 5 ) =ｇ( 5 ) ,即 5是方程ｆ(ｘ) =ｇ(ｘ)的一个根 .下面我们证明 5是方程ｆ(ｘ) =ｇ(ｘ)的唯一的一个根 .容易证明 ｆ(ｘ)在 ( 0 , ∞ )是增函数 ,ｇ(ｘ) 在 ( 0 , ∞ )是减函数 .若方程 ｆ(ｘ) =ｇ(ｘ)除了 5以外还有另一根ｘ0 ,当ｘ0 >5时 ,…     

综合题新编选登

题 5 9　已知可导函数ｆ(ｘ)对任意实数ｘ1,ｘ2都有 ｆ(ｘ1+ｘ2 ) =ｆ(ｘ1)·ｆ(ｘ2 ) ,若存在实数ａ ,ｂ ,使 ｆ(ａ)≠ 0 ,且 ｆ′(ｂ) >0 .证明 :1) ｆ(ｘ) >0 ;2 ) ｆ(ｘ)在 (-∞ ,+∞ )上单调递增 .解　 1)ｆ(ｘ) =ｆ(ｘ2 +ｘ2 ) =ｆ(ｘ2 )·ｆ(ｘ2 )=[ｆ(ｘ2 ) ]2 .又∵ｆ(ａ) =ｆ[ｘ2 +(ａ - ｘ2 ) ]=ｆ(ｘ2 ) ｆ(ａ - ｘ2 )≠ 0 ,∴ｆ(ｘ2 )≠ 0 ,[ｆ(ｘ2 ) ]2 >0 ,∴ｆ(ｘ) >0 .(2 )∵ｆ′(ｂ) =ｌｉｍΔｘ→ 0ｆ(ｂ +Δｘ) - ｆ(ｂ)Δｘ=ｌｉｍΔｘ→ 0ｆ(ｂ) ｆ(Δｘ) -ｆ(ｂ)Δｘ ,∴ｌｉｍΔｘ→ 0ｆ(ｂ) (ｆ(Δｘ) - 1)Δｘ =…     

一次函数的最大值和最小值

一次函数ｙ =ａｘ ｂ是一个最简单的初等函数 ,假如ａ≠ 0 ,它在坐标平面上表示一条与ｘ轴不平行的直线 ,因此它在整个实轴上既无最大值 ,也无最小值 .但是 ,在任意有限区间 [α ,β]上 ,它总有最大值和最小值 .当ａ >0时 ,ｙ是严格单调递增的 ;当ａ <0时 ,ｙ是严格单调递减的 .因此 ,当ａ≠ 0时 ,ｙ的最大值和最小值总是在区间 [α ,β]的某一个端点处取到 .假如ａ =0 ,那么ｙ =常数ｂ ,ｙ在整个实轴上处处取到最大值和最小值 .我们以 ｆ(ｘ)表示ａｘ ｂ ,以 ｍａｘα≤ｘ≤βｆ(ｘ)和ｍｉｎα≤ｘ≤βｆ(ｘ)分别表示 ｆ(ｘ)在 [α ,β]…     

利用函数单调性解竞赛题

本文谈谈利用函数单调性解竞赛题 .一、直接利用单调函数的概念、性质及定理解题纵观近年的各种高中数学竞赛题 ,发现许多问题可由函数的单调性定义和有关单调性的一些常见的定理直接解 .如函数单调性的一个性质 :函数 ｆ(ｘ) =ｘ + ｍｘ(ｍ >0 )在区间( 0 ,ｍ ]内单调递减 ;在区间 [ｍ ,+∞ )上单调递增 (考虑到该函数是奇函数 ,可得其对称区间上的单调性 )就是很有用的结论 .例 1　已知 0 <ａ <1 ,函数ｆ (ｘ) =-ｘ + 1ｘ + 1 ( 0 <ｘ≤ａ)的最大值是.( 2 0 0 2年《通讯杯》高中数学综合应用能力竞赛题第 7题 )解　由于函数ｘ + 1ｘ在区间…     

综合题新编选登

题 6 5　 已知函数 ｆ(ｘ) =ｘ|ｘ -ａ|(ａ∈Ｒ) .1 )判断 ｆ(ｘ)的奇偶性 ;2 )解关于ｘ的不等式 :ｆ(ｘ)≥ 2ａ2 ;3)写出 ｆ(ｘ)的单调区间 .解　 1 )当ａ =0时 ,ｆ(-ｘ) =-ｘ|-ｘ|=-ｘ|ｘ|=- ｆ(ｘ) ;∴ｆ(ｘ)是奇函数 .当ａ≠ 0时 ,ｆ(ａ) =0且 ｆ(-ａ) =- 2ａ|ａ|.故 ｆ(-ａ)≠ｆ(ａ)且 ｆ(-ａ)≠ - ｆ(ａ) ,∴ｆ(ｘ)既不是奇函数 ,也不是偶函数 .2 )由题设知ｘ|ｘ -ａ|≥ 2ａ2 ,∴原不等式等价于　　 ｘ <ａ-ｘ2 +ａｘ≥ 2ａ2 (1 )　　 ｘ≥ａｘ2 -ａｘ≥ 2ａ2 (2 )由 (1 ) ,得 ｘ <ａ ,ｘ2 -ａｘ +2ａ2 ≤ 0 .　　无解 .由 (2 ) ,得 …     

应用二次函数图象特点解题探索

二次函数是高中数学的重要内容之一 ,图象的直观特点常被数学竞赛命题者青睐 .设ｆ(ｘ) =ａｘ2 ｂｘ ｃ(ａ≠ 0 )性质 1 )　当ａ>0时 ,ｆ(ｘ)的图象特点是下凸的 ,则有 :ｆ(ｘ1 ) ｆ(ｘ2 ) … ｆ(ｘｎ)ｎ≥ｆ(ｘ1 ｘ2 … ｘｎｎ ) .当ａ<0时 ,ｆ(ｘ)的图象特点是上凸的 ,则有 :ｆ(ｘ1 ) ｆ(ｘ2 ) … ｆ(ｘｎ)ｎ≤ｆ(ｘ1 ｘ2 … ｘｎｎ ) .性质 2 )　若ｆ(ｘ) ≥ 0时 ,ｘ∈Ｒ恒成立 ,则ｆ(ｘ)的图象开口向上 ,且图像全在ｘ轴上方 (含ｘ轴上 ) ,这等价于ａ>0△ ≤ 0若ｆ(ｘ) ≤ 0时 ,ｘ∈Ｒ恒成立 ,类似有ａ <0△ ≤ 0性质 3)　…     

2001年安徽省春季高考数学（理）试题简析

安徽省自 2 0 0 0年试行春季高考后 ,取得较为成功的经验 .经教育部批准今年继续实行春季招生 .现提供春季高考的数学试卷并作简短评析 .选择题1　集合Ｍ ={ 1,2 ,3,4 ,5}的子集个数是 (　　 )(Ａ) 32 .　　　　 (Ｂ) 31.(Ｃ) 16. (Ｄ) 15.本题考查集合运算 ,组合数性质 .利用公式Ｃ0 ｎ Ｃ1ｎ … Ｃｎｎ=2 ｎ 可知本题选 (Ａ) .2　函数 ｆ(ｘ) =ａｘ(ａ >0且ａ≠ 1)对于任意的实数ｘ ,ｙ都有 (　　 )(Ａ) ｆ(ｘｙ) =ｆ(ｘ) ｆ( ｙ) .(Ｂ) ｆ(ｘｙ) =ｆ(ｘ) ｆ(ｙ) .(Ｃ) ｆ(ｘ ｙ) =ｆ(ｘ) ｆ( ｙ) .(Ｄ) ｆ(ｘ ｙ) =ｆ(ｘ) ｆ( ｙ) .…     

两个重要极限，函数的连续性

两个重要极限选择题1　当ｘ→ 0时 ,函数 ｆ(ｘ) =ｃｏｓｘｘ ·ｓｉｎｘ的极限是(　　 )(Ａ) 0 .　　　　　　 (Ｂ) 1.(Ｃ) ∞ . (Ｄ)不存在 .2　当ｘ→ ∞时 ,ｆ(ｘ) =ｘ·ｓｉｎ 3ｘ的极限是 (　　 )(Ａ) 1. (Ｂ) 0 .(Ｃ) 3. (Ｄ)不存在 .3　当ｘ→π时 ,ｆ(ｘ) =ｓｉｎｘｘ -πｃｏｓｘ的极限是 (　　 )(Ａ) 1. (Ｂ) - 1.(Ｃ) 0 . (Ｄ)不存在 .4　当ｘ→ 0时 ,ｆ(ｘ) =(1 ｓｉｎ2ｘ)1ｘ的极限是(　　 )(Ａ)不存在 .　　　　(Ｂ) 1.(Ｃ)ｅ. (Ｄ)ｅ2 .5　当ｘ→ 0时 ,ｆ(ｘ) =(1- 2ｘ) - 1ｘ的极限是 (　　 )(Ａ)不存在 .　　　　 (Ｂ)…     

一道高考题的错解·正解·启示

设函数 ｆ(ｘ) =ｘ2 1 -ａｘ ,其中ａ>0 .1 )解不等式ｆ(ｘ) ≤ 1 ;2 )求ａ的取值范围 ,使函数ｆ(ｘ) 在区间 [0 , ∞ )上是单调函数 .这是 2 0 0 0年理科数学高考第 1 9题 ,我参加了本题的阅卷工作 .众多试卷上的错解、妙解给人许多启迪 .对于 1 ) ,有下面典型性错解 :解原不等式 ,即解不等式　ｘ2 1≤ 1 ａｘ (ｉ) 1 ｘ2 ≤ (1 ａｘ) 2 (ｉｉ) ｘ≤ 0 ,(ａ2 - 1 )ｘ 2ａ≤ 0 (1 )或　 ｘ≥ 0(ａ2 - 1 )ｘ 2ａ≥ 0 (2 )(1 )的解为ｘ≤ 2ａ1 -ａ2 (ａ >1 ) ;(2 )的解为 :当ａ≥ 1时 ,ｘ≥ 0 ;当 0 <ａ<1时 ,0≤ｘ≤ 2ａ1 -ａ2 .…     

一道求字母范围例题的错解辨析

例　ｍ是什么实数时 ,关于ｘ的方程ｘ2 (ｍ - 2 )ｘ (5 -ｍ) =0的二不等根均大于 2 .错解　分离出ｍ =ｘ2 - 2ｘ 51 -ｘ ,即ｍ=- [(ｘ - 1 ) 4ｘ - 1 ](ｘ >2 ) ,问题转化成求关于ｘ的函数ｍ的值域 .∵ (ｘ - 1 ) 4ｘ - 1 ≥ 4(当且仅当ｘ =3时取“ =”) ,∴ｍ≤ - 4 .图 1　例题图辨析　为研究的方便 ,需用到一个重要函数 ｆ(ｕ) =ｕ ａｕ (ａ >0 ,ａ为常数 )的单调性 :ｆ(ｕ) 在 (0 ,ａ]上递减 ,在 [ａ , ∞ )上递增 (用单调性定义易证 ) .本题设ｕ =ｘ - 1 ,∵ｘ >2 ,∴ｕ >1 .设 ｙ1=ｍ ,ｙ2=- (ｕ 4ｕ) (ｕ >1 ) ,于是题目中的…     

函数的性质及其应用

函数是数学中的一个基本而重要的概念 ,它也是中学数学的重点内容 ,函数的常见性质有单调性 ,奇偶性 ,周期性 ,有界性等 ,本文我们讨论上述性质在数学竞赛中的应用 .1　单调性设 ｆ为定义在Ｄ上的函数 ,若对于Ｄ中的任意两个数ｘ1,ｘ2 ,当ｘ1<ｘ2 时 ,总有 ｆ(ｘ1)≤ｆ(ｘ2 )或ｆ(ｘ1)≥ｆ(ｘ2 ) ,则称 ｆ为Ｄ上的递增或递减函数 ,我们统称为单调函数 ,特别地 ,当总成立严格不等式ｆ(ｘ1) <ｆ(ｘ2 )或 ｆ(ｘ1) >ｆ(ｘ2 )时 ,称 ｆ为Ｄ上的严格单调函数 .函数的单调性可用函数值的比较给出证明 ,利用函数的单调性 ,可以比较实数的大小 ,证明…     

抽象函数的解法

一般常见的初等函数有解析式 ,把未给出解析式的函数称为抽象函数 .1　定义法　对于抽象函数及其应用的研究 ,常有如下方法 .从函数的单调性、奇偶性、周期性等定义出发来研究函数的性质 .例 1　已知ｘ ,ｙ∈Ｒ 时 ,ｆ(ｘｙ) =ｆ(ｘ) ｆ(ｙ) ,当ｘ >1时 ,ｆ(ｘ) >0 ,求证 :ｆ(ｘ) 在Ｒ 上为增函数 .分析 :从增函数的定义着手 ,结合关系式 ｆ(ｘｙ)=ｆ(ｘ) ｆ(ｙ) 及已知条件导出结论 .证　在Ｒ 上任取ｘ1,ｘ2 ,且 0 <ｘ1<ｘ2 ,则 ｘ2ｘ1>1.∵ｘ >1,ｆ(ｘ) >0 ,ｆ(ｘｙ) =ｆ(ｘ) ｆ(ｙ) (1)∴ ｆ(ｘ2ｘ1) =ｆ(ｘ2 ·1ｘ1) =ｆ(ｘ2 ) …     

变换思维角度解题

在解题过程中 ,我们会发现有的题若按一般解法往往比较繁锁或较难入手 ,如果变换一下思维角度 ,立刻给人柳岸花明的感觉 .现举例如下 :例 1　已知函数 ｆ(ｘ) =3ａｘ + 1 -2ａ在[-1 ,1 ]上存在ｘ0 ,使 ｆ(ｘ0 ) =0 (ｘ≠± 1 ) ,则ａ的取值范围是 (　　 ) .解法一　 (常规解法 :对函数进行讨论 .)( 1 )若ａ =0 ,则ｆ(ｘ) =1 ,在 [-1 ,1 ]上不存在ｘ0 ,使 ｆ(ｘ0 ) =0 .( 2 )若ａ≠ 0 ,要使一次函数ｆ(ｘ) =3ａｘ+ 1 -2ａ在 [-1 ,1 ]上存在ｘ0 ,使 ｆ(ｘ0 ) =0 ,必须满足ｆ( 1 ) ｆ( -1 ) <0 ,即　 ( 3ａ + 1 -2ａ) ( -3ａ + 1 -2ａ) <0 ,∴…     

缩小参数范围 减少分类次数

最近我做了这样一道题 :例 1　ｆ(ｘ) =ｌｏｇａ[( 1ａ - 2 )ｘ+ 1]在区间[1,2 ]上恒为正 ,求实数ａ的取值范围 .由于本题中真数含有变量 ,因此要对参数进行多次分类讨论 :(Ⅰ ) 0 &;lt;ａ &;lt;1时 ,设ｔ(ｘ) =( 1ａ - 2 )ｘ + 1.( 1) 0 &;lt;ａ&;lt;12 ,ｔ(ｘ)、ｆ(ｘ)在 [1,2 ]上分别单调递增和递减 ,∴　ｔ( 1) =( 1ａ - 2 ) &;#215; 1+ 1&;gt;0ｆ( 1) =ｌｏｇａ[( 1ａ - 2 )&;#215; 1+ 1] &;gt;0 　　　　ａ&;gt;12 .此时无解 .( 2 )ａ =12 时 ,ｆ(ｘ) =0 ,也不合题意 .( 3) 12 &;lt;ａ &;lt;1时 ,ｔ(ｘ)、ｆ(ｘ)在 [1,2 ]上分别单调递减和递增 ,∴　ｔ( 2 ) =( 1ａ - 2 ) &;#215; 2 + 1&;gt;0ｆ( 1) =ｌｏｇａ[( 1ａ - 2 ) &;#215; 1+ 1] &;gt;0 　　　　 0 &;lt;ａ &;lt;23,∴　　　　 12 &;lt;ａ &;lt;23.(Ⅱ )ａ &;gt;1时 ,ｔ(ｘ)、ｆ(ｘ)在区间 [1,2 ]上分别单调递减和递增 ,∴　ｔ( 2 ) =( 1ａ - 2 )&;#215; 2 + 1&;gt;0 ,ｆ( 1) =ｌｏｇａ[( 1...     

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题 4 3　已知 ｆ(ｘ) =-ｘ3+ａｘ在 (0 ,1)上是增函数 ,1)求实数ａ的取值范围Ａ ;2 )当ａ取Ａ中最小值时 ,定义数列 {ａｎ}满足ａ1=ｂ∈ (0 ,1) ,且 2ａｎ +1=ｆ(ａｎ) ,试比较ａｎ 与ａｎ +1的大小 .3)在 2 )的条件下 ,问是否存在正实数ｃ ,使得 0<ａｎ+ｃａｎ-ｃ<2对于一切ｎ∈Ｎ恒成立 ?若存在 ,求出ｃ的取值范围 ,否则说明理由 .解　 1)设 0 <ｘ1<ｘ2 <1,则　ｆ(ｘ1) - ｆ(ｘ2 ) =-ｘ31+ａｘ1+ｘ32 -ａｘ2=(ｘ2 -ｘ1) (ｘ21+ｘ1·ｘ2 +ｘ22 -ａ) .由题意知　ｆ(ｘ1) - ｆ(ｘ2 ) <0且ｘ2 -ｘ1>0 ,∴ｘ21+ｘ1·ｘ2 +ｘ22 -ａ <0而ｘ21+ｘ1…     

争鸣

问　题问题 2 7　设函数 ｆ(ｘ) =ｌｇ(ｘ2 -ａｘ +1 )的值域为Ｒ ,求实数ａ的取值范围 .观点 1　令ｕ(ｘ) =ｘ2 -ａｘ +1 ,因ｆ(ｘ)的值域为Ｒ ,故只须ｕ(ｘ) >0恒成立 .即　ｘ2 -ａｘ +1 >0恒成立 .∴　Δ =ａ2 - 4 <0 ,∴　 - 2 <ａ <2 .观点 2　令ｕ(ｘ) =ｘ2 -ａｘ +1 ,要使ｆ(ｘ) 的值域为Ｒ ,只需ｕ(ｘ)的值域包含 (0 ,+∞ ) ,∴　Δ =ａ2 - 4≥ 0 ,∴　ａ≤ - 2或ａ≥ 2 .观点 1是否正确 ?有无合理性成份 ,对观点 2同学们的疑问是Δ≥ 0怎能保证ｕ(ｘ)≥ 0 ?这是一道流传十分广泛的题目 ,怎样给学生一个满意的解答 ,敬请大家积极讨…     

方程ax~2 b|x| c=0根的讨论

众所周知 ,对于一元二次方程ａｘ2 ｂｘ ｃ =0(ａ≠ 0 ,ａ ,ｂ,ｃ∈Ｒ) ,当Δ =ｂ2 - 4ａｃ≥ 0时 ,在实数集内有两根 ;当Δ <0时 ,在实数集内无根 ,但在复数集内有两根 .但对形如ａｘ2 ｂ|ｘ| ｃ=0 (ａ≠ 0 ,ａ ,ｂ,ｃ∈Ｒ)的方程 ,其根的情况与系数间的关系就复杂得多 .以下是关于此方程根的存在性情况的讨论 .1　在实数集内根的情况结论 1　对方程ａｘ2 ｂ|ｘ| ｃ =0 (ａ≠ 0 ,ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ) (Ⅰ )当ａ ,ｂ ,ｃ满足条件ｂ2 - 4ａｃ >0- ｂ2ａ>0ａｃ>0(1)时 ,在实数集内有四个根 ;当ａ ,ｂ ,ｃ满足条件ｂ2 - 4ａｃ >0ａｃ<0 (2 )时 …