关于方程 Z~2=■

解:由z~2=z两边求模,得|z|~2=|z|=|z||z|=1(|z|≠0)。再用Z(≠0)乘方程两边得z~3=z·z=1。这是高中代数复数中的一道习题: 已知z是虚数,解方程z~2=z 此题的解法通常利用复数的代数式化为二元方程组分别求z的实部和虚部,也有化为三角式求z的模及其辐角的。但都不如以下解法简便。 32     

用复数性质解题举隅

复数有许多的性质,如: ①|z|2=zz-;②若z1=z2则z1-=z2-,[z1|=|z2|;③z∈R z=z-;④若|z|=1则1=zz-等等.解答某些复数问题时,若能灵活运用这些性质,则常使问题获得巧妙简捷的解法,下面列举几个性质的应用供同学们参考. 1.用|z|2=zz- 例1 设复数z满足|z|=2,求|z2-z 4|的最值. 分析常规方法是设z=2(cosθ isinθ)代入,此法运算量大,不易解得.若利用|z|2=zz-=4代入并作适当的变形,则解法简便快捷.     

等式 z·=|z|~2||~2应用一例

复数运算是复数一章的重点,而共轭复数的性质在解题中起作一定的作用,等式z·z=|z|~2=|z|~2沟通着复数与实数的运算,是这两种运算互相转化的有力工具,下面举一例在求复数上的应用。例设z为复数,且|z|=1,若z~2 2z 1/z是负实数,试求z。解设W=z~2 2_z 1/z,则W=-W 即 z_2 2_z 1/z=z~2 2_z十1/z=z~2 2z 1/z     

对新题征展(31)第3题的订正

题　已知复数 z满足条件 | z| =1 ,求| z - i| .| z - 12 32 - i|的最大值 .解法 1　设 z =cosθ isinθ,其中θ∈[0 ,2π) ,| z - i| =| cosθ i( sinθ - 1 ) |= cos2 θ ( sinθ - 1 ) 2 =2 ( 1 - sinθ)= 2 [1 - cos( π2 -θ) ]=2 | sin( π4 - θ2 ) || z - 12 32 i|= | ( cosθ - 12 ) i( sinθ 32 ) |= ( cosθ - 12 ) 2 ( sinθ 32 ) 2= 2 2 sin(θ - π6 )=2 [1 cos( 2π3-θ) ]=2 .2 cos2 ( π3- θ2 )=2 | cos( π3- θ2 ) | .则　 | z - i| .| z - 12 32 i|=4 | sin( π4 - θ2 ) .cos( π3- θ2 ) |=…     

画图解题

题 1.设|z-3~(1/2) i|=1,求|z|的最值。 2.复数z的一个四次方根是2 i,求z的另外三个四次方根。     

一个数学问题的再探讨

命题若复数z_1,z_2,z_3满足z_1+z_2+z_3=0,|z_1|=|z_2|=|z_3|=1,则复平面内以z_1,z_2,z_3所对应的点为顶点的三角形是内接于单位圆的正三角形。文[1]的作者给出了该命题的一种证法。并探讨了该命题的逆命题。若复平面内以模为1的复数z_1,z_2,z_3所对应的点为顶点的三角形是正三角形,则z_1+z_2+z_3=0。容易证明此命题也正确(略)。作者还对该命题进行了推广,笔者读后受益非浅。本文将进一步探讨以上两个命题在解题中的应用。下面以例示明。例1 (1986年苏州市数学竞赛题) 已知复数z满足|z|=1,z~(11)+z=1,求z。解∵ |z|=1, ∴|z~(11)|=|z|=|-1|=1 又z~(11)+z+(-1)=0 ∴z~(11),z,-1所对应的三点构成一个正三角形。故z=(-1)(cos120°±sin120°)=(1/2)±3~(1/2)/2i 例2 (1987年第二届全国高中数学冬令营赛题)     

关于单位圆上有理函数的最佳逼近

<正> 大家知道,在实轴上用三角多项式逼近周期为2π的连续函数的 Jackson 定理的复数形式为:设函数,f(z)在|z|=1上连续且具有直到 P 级微商,则存在 z 和 z~(-1)的多项式 P_N(z)     

对“一类三角题的复数解法”的补充

《中学数学》刊登的“一类三角题的复数解法”一文介绍了复数在三角方面的一些应用。笔者试作如下补充。(原文见1985年2月号) 设z=cosθ+isinθ,z=cosθ-isinθ。显然有z·z=1。易求得sinθ=z-z/2=z~2-1/2iz,cosθ=z~2+1/2z,tgθ=z~2-1/i(z~2+1),由棣美弗公式     

复数集内方程的求解策略初探

如何在复数集内解方程(组)?这是中学数学教学中的一个重要课题。除开化归为复数集上的一元二次方程来解外,本文对复数集内方程(组)的其他求解策略作出了初步的探索和归纳,供教学时参考。下文中字母z、w均表示复数,表示z的共轭复数。策略一化归为在实数集内解方程(组) 利用复数的有关知识,能将许多复数集内方程(组)化归为实数集内方程(组),求出后者的解,便能得到前者的解。 1.借助复数的有关运算实现化归例1 设a≥0,在复数集C内解方程z~2+2|z|=a。(90年全国高考试题) 分析由于z~2=a-2|z|为实数,因此z为实数或     

用复数的几何意义解题

用复数的几何意义解题是高中数学中数形结合思想的重要应用,试举数例如下: 例1 已知复数z1,z2满足|z1|=|z2|=1且 ,求z,z2的值. (199年上海高考题)解 设z1 z2,z1,z2在复平面内表示的点分别为Z0,Z1,Z2,显然Z0,Z1,Z2都在单位圆上(如图1).     

用复数求sin18°的值

求sin18°的值,多采用三角方法戏几何方法,这里介绍一种新的方法一一复数方法。设复数z=cos72° isin72°,则有z~5=cos(5×72°) isin(5×72°)=1,因此z~5-1=0。分解因式(z-1)(z~4 z~3 z~2 z 1)=0。因为z≠1,故得z~4 z~3 z~2 z 1=0 又z~2≠0,用z~2除方程两端得 z~2 z 1 1/z 1/z~2=0 令z 1/z=y,则z~2 1/z~2=(z 1/z)~2-2=y~2-2     

复数取模

复数等式两边取模是一种运算 ,它可以把复数问题变为实数问题求解 ,运用复数取模 ,可以达到顺利求解之目的 .例 1(课本Ｐ195第 16题 )已知ｚ1 ,ｚ2 ∈Ｃ ,ｚ1 ·ｚ2 =0 .求证 :ｚ1 ,ｚ2 中至少有一个是 0 .证　由ｚ1 ·ｚ2 =0两边取模有 :|ｚ1 ·ｚ2 |= 0 ,则 |ｚ1 ||ｚ2 |=0 ,∴ |ｚ1 |,|ｚ2 |中至少有一个为 0 ,从而ｚ1 ,ｚ2 中至少有一个是 0 .例 2　试求与自身平方共轭的复数 .解　设所求复数为ｚ ,由题意有 : ｚ =ｚ2 ,两边取模有 :| ｚ|=|ｚ2 |,则 |ｚ|=|ｚ|2 ,∴ |ｚ|=0或 1.由 |ｚ|=0得ｚ =0 ;由 |ｚ|=1, ｚ =1ｚ,方程变为ｚ2 =1ｚ,…     

复数的一道复习题

在《复数》这一章的复习课上 ,我给出这样一道题 :若复数z适合 |z| =1 ,求复数 2z+3 - 4i所对应的点的轨迹方程与轨迹 .同学们讨论非常热烈 .有同学当即回答 :“由于考虑的是复平面上复数所对应点的轨迹方程 ,即考虑复数实部、虚部之间所满足的代数关系 ,再通过轨迹方程判断是何种轨迹 .所以只要设所求复数2z+3- 4i的实部为x虚部为 y,找出x ,y之间的代数关系即可 .解 :设w =2z+3 - 4i=x +yi(x,y∈R)令 :z=a+bi(a,b∈R)则 :w =(2a +3) +(2b- 4 )i∴ x=2a +3y=2b- 4a=x - 32b=y +42　∵ |z|=1　∴a2 +b2 =1∴ x - 322 +y+422 =1即 :(x - 3) 2…     

巧用一个辐角公式求辐角主值

如果记复数z的辐角为Argz,则Argz=argz 2kπ(k∈Z),其中argz为复数z的辐角主值.利用 zz-=|z|2及Arg(az)=Argz(a∈R ),有公式 这样就有公式 ,(当 巧用这一辐角公式,求解某些辐角主值问题,新颖简洁,妙不可言. 例1 已知复数z1、z2满足|z1|=|z2|=1,且z2-z1=-1,求argz1/z2.     

论Szeg的定理(英文)

设f(z)=Z+a_2z~2+…∈S.Szeg证明:S_n(z)=z+a_2z~2+…+a_nz~n(n=2,3…)在|z|<1/4内单叶。ρ_O=1/4最好的,我们证明了更强的结果: 定理:若f(z)∈s.则s_n(z)(n=2,3…)在|z|<1/4内关于原点成星形。 当f∈S时为吴卓人所得。     

问题何在?

题:若复数z满足z~10=-1,则z~4-z~6-z~2 1的值是( )。0(A)-1;(B)1;(C)0;(D)以上都不对。此题见于一些书刊,其答案为(A) 解法一:(方程法或设值法) 设(1) (1)式两边同乘以z~4得 z~8-z~6-z~2 1=z~4t(2) 因为z~10=-1,(1)式分子,分母同乘以-z~6。并整理得 z~8-z~6 z~4-z~2=t(3) 由(2)得z~8-z~6-z~2=z~4t-1(4) (4)式代入(3)得 z~4t-1 z~4=t ∴(z~4-1)t=1-z~4 (5) 两边同除以z~4-1得:t=-1,故选(A)。解法二:(用数列求和解) ∵ z~10=-1, ∴原式的分子、分母同乘以-z~6,得: =-z~2 z~4-z~6 z~8 (看成首项,公比皆为-z~2的等比数列) 故选(A)。以上两种解法及原书刊给出的答案都是(A),可是若本题用满足z~10=-1的一值z=i(或-i)代入,得上面结果都错了,这就奇怪了,问题何在?     

巧求一类复数模的最值

常遇到如下一类题型:已知复数|z+a+bi|=r,求|z+c+di|的最值(这里a,b,c,d,r为实常数)。这类题型有多种解法,而利用图象法解此类题,则显得直观形象,新颖巧妙。     

解答复数问题的若干技巧

复数问题涉及知识面广 ,运算复杂 ,对能力要求高 .若能总结归纳其变化规律 ,掌握解答复数问题的方法和技巧 ,定会收到事半功倍之效 .笔者在教学过程中总结了 8种技巧 .1　巧用 z =z z∈ R解题例 1　设复数 z满足等式 |z - i|=1,且 z≠ 0 ,z≠ 2 i,又复数 w使得 ww - 2 i.z - 2 iz 为实数 ,问复数w在复平面上所对应的点 Z的集合是什么图形 ,并说明理由 .解　∵　 ww - 2 i.z - 2 iz ∈ R,∴　 ww - 2 i.z - 2 iz =( ww - 2 i.z - 2 iz )=ww 2 i.z 2 iz 　 w( w 2 i)w( w - 2 i) =z( z 2 i)z( z - 2 i) 　 　 w =z.∵　　 |z - i|=1　…     

若干复数问题的几何直观

学了复数及其运算以后,一般学生都不习惯应用它们的几何意义思考问题,这当然不利于学生对复数的几何意义的掌握,也影响他们解题能力的提高,因此在教学过程中适当地补充一些应用这方面知识的例题,有助于学生逐步地形成应用复数几何意义的意识和提高应用这方面知识的能力,下面的一些例题可供参考。例1、设z是满足|z|=1的复数,求|z-2|的范围。解:设复数z在复平面上对应的点为Z,依题设,Z位于以原点为圆心的单位圆上。从而     

一类含绝对值方程的几何解法

含绝对值的方程,一般解法是分区间讨论,但计算量较大.如果渗透数形结合的思想,运用复数与解几知识求解,可收到事半功倍之效。例1 求方程|x 5] |x-1|=8的实数解. 解:若把x看成复数,则此方程是以z_0=-2为中心,长半轴a=4,半焦距c=3的椭圆方程.此方程的实数解就是椭圆与实轴交点对应的复数:x=-2±4即-2或-6. 一般地,形如|x-c_1| |x-c_2|=2a(a>0,c_1相似文献