先猜后证妙解四“难”题

解某些所谓“难”题时,如果采用直接求解的方法,不仅速度慢。而且容易陷入窘境,甚至最后把题目放弃,真是“山穷水尽疑无路”．此时,若采用先猜后证的解题思路,就有可能“柳暗花明又一村”．这种情形经常发生在以下几类题目中．     

一道中考几何题的“先猜后证”

<正>本文以2017年北京中考的几何综合题为例,说明解题中"先猜后证"的思考过程,供参考.一、原题呈现(2017年北京市中考第28题)如图1,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,P是线段BC上一动点(与点B、C不重合),连接AP,延长BC至点Q,使得CQ=CP,过点Q作QH⊥AP于点H,交AB于点M.(1)若∠PAC=α,求∠AMQ的大小(用含α的式子表示).     

先猜后证的数学思想在高中教学中的应用

1函数表达式中的先猜后证在研究性学习中,运用先猜后证的数学思想指导求函数的表达式等问题,常常可以通过归纳发现和类比联想的手段来实现.例1平面内的n个圆,最多可将平面分割成多少个互不重叠部分区域?这个实际问题可转化为数学问题:f(1)=2;f(2)=2 2;f(3)=2 2 4;f(n)=2 2 4 6     

由2020年北京高考数学第20题谈解析几何中“先猜后证”的价值

<正>1引言今年高考数学结束后,不少北京考生反映解析几何题目较难,虽思路清楚,但未能完整作答.而实际上,解题策略决定了计算量的大小,此题很大程度上体现了解析几何题目顶层设计的重要性,这里的顶层设计是指在具体运算之前对整个题目进行宏观的审视,包括思路的探索、方法的选取、以及所选方法计算量的预判等等,这往往决定了解题的进程.因此,笔者以此题为例,重点阐述先猜后证策略在解决解析几何问题中的重要作用.     

先猜后证，探求解析几何中点的存在性问题

解析几何中点的存在性问题备受高考和各级、各类考试的喜爱,这类问题灵活多变,对数学运算能力要求较高,笔者通过“先猜后证”将问题化繁为简,探求解析几何中点的存在性问题,旨在探索解题方法,总结解题规律,激活解题思维,下面以几道题为例进行说明．     

数学教学呼唤“对话”

1 问题提出 “对话教育”大约是近几年兴起的概念,但其实对话教学却早已存在．在西方,最早的实践者可以追溯到苏格拉底,他认为,学习是在探究真理的教师与学习者之间的沟通中形成的．在东方,《论语》中所记载的孔子师生间的对话就反映了对话的特征．对话作为一种教育原则,从简单意义上讲,强调的是师生的平等交流与知识共建．从深层意义上讲,它挑战我们关于师生关系、知识本质,以及学习本质等方面的思维成见、定见与主观认定。     

关于数“0”的对话

一天,老师给学生陶陶辅导数学,休息时他俩聊了起来.陶陶说:0这个数有点儿意思.您看呀,0同任何数相乘都得0,0除以一个非零的数商是0,0的相反数是0,0的绝对值还是0,有些计算题或化简题的结果是0,如果     

重视“数学归纳法”的回头证

在人教版普通高中数学课标教材中,数学归纳法这块内容是安排在平均值不等式和柯西不等式后面讲授的,这使数学归纳法的应用功能受到限制.实际上,用数学归纳法证明这两个著名不等式十分简洁.一、n元的算术——几何平均值不等式的简证n元的算术——几何平均值不等式,     

例谈求解多元函数最值问题的一种探索法——先猜后证

数学竞赛中的多元函数最值问题,解答往往具有连续多步的恒等变形和放缩,解题人难以直接找到恰到好处的变形方式.本文从一道全国联赛真题出发,介绍一种从猜测最值及取得最值的条件入手的探索法,以给解题提供一种思考的方向.     

证题后发现了“新大陆”

题目(人教版初中《几何》第二册P264第22题)已知:如图,△ABC中,DE∥BC,BE与CD交于点O,AO与DE、BC分别交于点N、M,求证:AN/AM=ON/OM. 证完这个题后,我看看还能得到什么结论?我通过观察,猜想得出①DN=NE;②BM=MC.通过思考,我的猜想得到了证明!     

初中数学课堂对话的“点、线、面”

《数学课程标准》强调：“数学教学活动是师生共同参与、交往对话的过程。新课程理念强调学生在教学中的主体地位,教师要成为学生学习的帮助者、促进者。”［1］在这样的课堂中,师生是有机联系的整体,师生之间存在着和谐、对话的局面,教师的教是以学生的学为出发点和最终落脚点,课堂存在充分、通畅的对话,而这样的对话又是以师生的对话为最主要的形式。高效的师生对话又是多元的,是涵盖行为、认知和情感的全方位的对话,以调动学生全方位地参与有效的学习之中。     

让数学课堂因“对话”而焕发生命活力

对话作为当代教学工作中非常重要且新颖的教学理念,其理论重点在于要求教师与学生间应当建立起民主、平等的关系,并在此基础上形成双方与教材和环境之间的心灵呼应.在当代课堂教学中,任何学科都离不开“对话”,数学也是如此,数学课堂教学也正是教师和学生围绕数学教材进行“对话”的过程.但从当前的数学课堂教学现状来看,真正的“对话”仍然十分匮乏,更多的是要求学生上课不准讲话、必须听老师讲.     

从“对话”的视角设计高三数学解题教学北大核心

解题教学是高三数学教学的主要形式之一,师生都为此花费了不少精力,但现实中的教学效果却不尽如人意,不少学生的反映是上课听得懂但自己课后不会做,以致高考命题人员对高考的预期成绩与考生的实际表现经常存在较大的落差,问题的症结在哪里呢？在调查中发现：学生在解题中不能有效整合题目的信息,对题意的理解支离破碎,走不进题目描绘的“世界”中去,进入不了解题的“角色”,也就不能快速寻找到解题的思路．基于这样的认识,我尝试以心理学理论为指导,从“对话”的视角来设计解题教学的“话剧”,让学生分别“客串”不同角色（每个人也可以同时扮演多个角色）,和题目的相关元素进行“对话”,并为扮演的角色搜寻有价值的信息并展开换位思考,破译解题的“通关密语”,为解题进程寻找路线图,为角色设计辩护的“台词”,确定解题的最佳路径,让学生火热的思考去不断融化数学冰冷的美丽,激发了学生学习数学的兴趣,培养了学生解题后反思的习惯,提升了他们的思维能力,取得了理想的效果．下面结合自己平时教学中的几个案例,与大家分享自己的心得并请指正!     

关于文科“大学数学”教学改革的探讨

针对目前文科大学数学的教学现状,阐述了文科大学数学教学改革的必要性,就如何加强教材建设、教学方法的改革、师资队伍的建设以及学生学习评价体系的建立等方面作了有益的探索.     

对话“汤预算”

和汤谷良教授的对话,从一句宣言开始。后金融危机时期,在预算领域驰骋十多年的汤谷良在接受媒体采访时表示：“从今往后,不谈财务预算,只谈管理会计。”一言既出,四野哗然。     

关于反函数的对话

李:老王,听说你下学期教高一数学,是吗?我也教高一数学,咱们一起探讨一下关于反函数的教学,好吗? 王:很好!我也正想要跟你研究一下这个问题呢! 李:过去每次讲到这个问题,学生总感到不好接受,可是这次通用课本突出了构成函数的三要素,我认为这样有利于讲清反函数的概念。     

关于“数学规划的稳定性”的一个注记

[1]的作者薛声家同志改进了[2]和[3]的一个基本假设条件,通过他的改进,[2]和[3]中的数学规划稳定性定理的应用范围得到了扩大。作者仿照薛声家同志的工作。把他的假设条件作进一步的改进。并用实例指出通过这进一步的改进[1]的数学规划稳定性定理的应用范围再一次得到了扩大。     

彻底批判关于数学起源于“河图洛书”的谬论

“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系,所以是非常现实的材料”.这种现实材料通过人的社会实践反映到人的头脑中来,形成数学概念和理论.因此,“数和形的概念不是从其他任何地方,而是从现实世界中得来的.”数学是人对不以人的意志为转移的客观规律的一个侧面的认识,是来源于物质的.数学起源于人的社会实践,“一切真知都是从直接经验发源的.”     

关于“牛吃草问题”数学建模的探究

<正>?义务教育数学课程标准?指出:"模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径,建立和求解模型可以大大提高学生学习数学的兴趣和应用意识."因此,在教学中要加强模型思想的渗透,培养学生数学建模思维和实践应用能力."牛吃草"问题是一类典型的应用性问题,本文将从数学建模角度加以分析探究,供大家参考.1问题呈现著名科学家牛顿在其著作中有一道非常有趣的题目,即"牛吃草问题":牧场上有一片青草,每天都生长得一样快.这片青草可供27头牛吃6天,可供23头牛吃9天,那么可供21头牛吃多少天?