I.J.Matrix定理两个推广的简证

文[1]阿太学归纳法证明了:设x_1,x_2,…,x_n是n个不为零的且互不相同的数,則     

两个几何不等式简证

文[1]证明了以下两个几何不等式: (1)(mb-mc)2+(mc-ma)2+(ma-mb)2≥(1)/(4)[(b-c)2+(c-a)2+(a-b)2]; (2)(hb-hc)2+(hc-ha)2+(ha-hb)2≤(b-c)2+(c-a)2+(a-b)2.     

一个定理的简证

本文给《初探》一文中的定理一个简洁的证明 .( 1)如图 4 ,任作正△ DEF ,因设 A <12 0°,知180° - A >60°,故可在正△ DEF内取一点 Z′,使∠ EZ′F =180°- A,∠ FZ′D =180°- B.分别作线段 DZ′、EZ′、FZ′的中垂线 ,两两相交于 A′、B′、C′,则A′、K、Z′、N共圆 ,故     

两个优美几何恒等式的简证

文[1]给出了如下两个几何恒等式.定理1四边形ABCD内接于⊙O,△ABD,△BCD,△ACD,△ABC的内切圆半径分别为r1,r2,r3,r4,则r1 r2=r3 r4.定理2四边形ABCD内接于⊙O,△ABD,△BCD,△ACD,△ABC的内切圆圆心分别为O1,O2,O3,O4,则O1O2 O2O2 O3O2 O4O2.文[1]中通过三个引理及一系列变形运     

一个数论定理的简证

有一个在解题中应用频繁的命题：设a，b两自然数的最大公约数和最小公倍数分别是（a，b）和［a，b]，则［a，b]·（a，b）=ab.此命题在数论书上或略而不证，或证来太琐碎，思路不清晰，而不能令人满意，许多小学和中学的数学老师感到困惑．今给出两个简单的证法．引理1互素两数的最小公倍数等于它们的积．路证设，n，nEN，；n，n互素，我们来ie明［，n，’。」一n。n．事实上，如人是。n，；l的任一公倍数，则及一l，n一八；．那么din，但On，）一l，删mt．今t＝mP，则k—Pmn，．．m…k．又mn也是m，n的公倍数，故是最小公倍数．命回证法1…     

两个优美不等式的简证。。

朱霖同学等在文[1]证明了下面两个不等式：已知a〉0，b〉0，     

正多边形两个性质的简证及推广

文[1]证明了正多边形的两个性质. 性质1设正n边形A1A2 …An的外心为O,则△AiAi+lAn的重心Gi(i=1,2,…,n-2,n≥5)共圆,圆心C在AnO上,且OC∶ CAn=1∶2. 性质2设正n边形A1A2 …An的外心为O,则△AiAi+1An的垂心Hi(i=1,2,…,n-2,n≥5)共圆,圆心就是顶点An. 文[1]的证明过程较繁琐,尤其是性质1.本文先给出性质的简洁证法,然后推广这一性质.     

两个数学问题的简证及推广

《数学通报》2003年第12期数学问题1466是：设M=5^2001＋7^2002＋9^2003＋11^2004，求证：M能被8整除。     

一个趣题的另两个简证

文[1]给出了如下趣题的简证:一个正三棱锥与一个正四棱锥的所有棱长均相等,将它们的一个面粘起来(如图),则所得的几本何体文是给斜出三两棱柱个.     

Jacobi八平方定理的简证

用留数定理，把一个无穷乘积及其平方展成无穷级数。由此可以简单地证明表正整数为四个，八个平方数的Jacobi定理。     

一个平行四边形判定定理的简证

《数学通报》2006年第4期上刊登的1601号问题是:凸四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和,求证:此四边形是平行四边形.问题提供人给出的解答过程较为繁复,且技巧性强,不易掌握.笔者提供一种较为简捷的向量证法,供读者参考.证(如图)由题意AC2 BD2=AB2 BC2 CD2 DA2,因为AC=AB     

内等角线性质定理的简证

<正>(内)等角线性质定理[1]在△ABC中,若AD1,AD2为∠BAC的等角线(点D1,D2在BC边上,且∠BAD1=∠CAD2),则有AB2/AC2=BD1·BD2/CD1·CD2.文献[1]利用平行线及相似三角形给出的证明.本文从求证结论入手,给出如下两种简洁流畅的证明.证明1如图1所示.     

两个映射定理

本文证明了:(1)设f是正规,等紧(isocompact)空间X到空间Y上的闭映射,则f是紧覆盖映射;(2)设f是正规,等紧空间X到Fréchet空间Y上的闭映射,则存在闭子集X′(?)X使f|x′是X′到Y上的既约映射;分别改进了Michael、Lanev映射定理,并利用(1)得到“闭映射保持正规、k-半分层性”以改进Lutzer关于k-半分层空间的映射定理。     

两个定理及其应用

在高中代数课本里,等差与等比数列具有一定的篇幅,然而三角形中三边成等差或等比数列的三角题很少。今就此补充如下两个定理,为解决这类题目提供一种简便方法,供教学参考。     

Wolk两个定理的推广

[1]中定理3.6是经典的Dini定理的推广。Wolk在证明了这个定理后指出,有例子说明,若将值域空间Y的全无序集(即反链)有限性条件去掉后,此定理将不成立。于是他提出了一个可供进一步思考的问题:是否可用另外一些拓扑代替Y中的Dedekind拓扑,去掉Y中全无序集有限性条件后,此定理或它的某种变形依然成立?按照这个思路我们将[1]中定理3.6和3.9进行了推广。为此,先摘录两个主要概念如下:     

关于二次函数迭代的一个定理的简证

对二次函数f（x）=x^2＋bx＋c进行n次迭代，得到f^[n]（x），其中f^[1]（x）=f（x）．函数f（x）有无不动点（即方程f（x）=x有无实数根）对方程f^[n]（x）=x解的情况有何影响？文[1]、文[2]对此进行了探讨，得到一些颇有价值的结论．其中文[2]证明了下述结果：     

关于二次函数迭代的一个定理的简证

对二次函数f(x)=x2 bx c进行n次迭代,得到f[n](x),其中f[1](x)=f(x).函数f(x)有无不动点(即方程f(x)=x有无实数根)对方程f[n](x)=x解的情况有何影响?文[1]、文[2]对此进行了探讨,得到一些颇有价值的结论.其中文[2]证明了下述结果:定理设f(x)=x2 bx c,Δ0=(b-1)2-4c,若方程f(x)=     

两类圆锥曲线的两个性质定理

笔者从高等数学的两个问题出发，研究了该问题的特性及结论．由此联想到中学数学中的一些几何问题，对此研究分析，得到了两个具有普遍性的几何命题．这两个命题对于在解题中启发学生思维，提供解题思路、减化运算量方面大有好处．现叙述如下：