用变换研究曲线间的位置关系

如果令u=mx,v=nx,则这个线性变换将x-O-y平面上的点P(x,y)变为u-O-v平面上的点Q(u,v),将x-O-y平面上的曲线P(x,y)=0变为u-O-v平面上的曲线Q(u,v)=0.这样的线性变换具有如下性质.1)如果P(x,y)=0为直线,那么Q(u,v)=0仍为直线;2)如果P(x,y)=0为曲线,那么Q(u,v)=0仍为曲线,并且变换     

简议用相关点法求轨迹方程

若动点P（x，y）的变动依赖于另一动点Q（x0，y0），而Q在某已知曲线F（x，y）=0（或具有某种规律的图形）上（这时把从动点P叫做轨迹动点，主动点Q叫做点P的相关点），求出关系式{x0=f（x,y） y0=（x,y） （＊），并代入方程F（x，y）=0，得所求轨迹（或轨迹所在曲线）方程F[f（x，y），g（x，y）]=0，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法，     

直线与二次曲线相关的一个命题

命题 设直线l：f（x,y）=0与二次曲线g（x,y）=0交于不同的两点A（x1,y1）,B（x2,y2）,由{f（x,y）=0 g（x,y）=0,分别消去y,x得v（x）=0,v（y）=0（使u（x）,v（y）的二次项系数相等）,则以线段AB为走私的圆的方程为：u（x）＋v（y）=0.     

重积分换元积分法简介

在同济四版高数中 ,重积分的换元法被列为选学内容。但对于准备参加数学竞赛和研究生入学考试的同学来说 ,有必要领会和掌握它。　　 1　二重积分换元法设 f( x,y)在 xoy平面上的闭区域 D上连续 ,变换 T:x=x( u,v) ,y=y( u,v)将 D变换为 uov平面上的闭区域 D* ,且满足( 1 ) x( u,v) ,y( u,v)在 D* 上具有一阶连续偏导数 ;( 2 )在 D* 上雅可比行列式J( u,v) = ( x,y) ( u,v) = x u　 x v y u　 y v≠ 0 (注意 :允许 J( u,v)只在 D* 内个别点或一条曲线上为零 )　　 ( 3 )变换 T:D→ D* 是一对一的 ,则有 Df ( x,y) dxdx = D*f [x( u,…     

RESEARCH ANNOUNCEMENTS——Dynamical Behavior for the Three-dimensional Generalized Hasegawa-Mima Equations

We consider the following generalized three-dimensional （3-D） dissipative Hasegawa-Mima equations： △ut - ut ＋ {u, △u} ＋ knuy - vz ＋ α△（u - △u） ＋ f（x, y, z） = 0, （1） vt ＋ {u, v} ＋ uz ＋ γv - β△v = g（x, y, z） （2） with initial datum v｜t=0=u0（x,y,z）,v｜t=0=v0（x,y,z）,（x,y,z）∈Ω∈R^3 （3）.     

利用曲线系求过二次曲线上一点的切线方程

现行高中课本《平面解析几何》P110复习参考题（以下简称参考题）二第7题：如果两条曲线的方程是f1（x,y）=0和f2（x,y）=0,它们的交点是P（x0,y0）．证明：方程的曲线也经过点P（λ是任意实数）本文通过对"参考题"的改进,介绍求过二次曲线上一点的切线方程的一种新方法--曲线系法．1"参考题"的改进定理如果两条曲线C0：f（x,y）=0和C∞：g（x,y）=0有且只有n（nεN）个公共点,那么对于任意λR,曲线系C：f（x,y）＋M（X,y）一O中的任何两条曲线十、勺（人大人）也有且只有这几个公共点,并且曲线Cλ不同于C∞.事实上,利用…     

两条直线重合条件的运用

在《平面解析几何》课本中、两条直线平行和垂直的条件运用得比较充分，而对两条直线重合的条件则运用得不够．这在教与学两个方面都应引起汪意．下面想从三个方面谈一谈两条直线重俣条件的运用．1求直线的方程例1设在同一个坐标平面上的两个动点p（x，y）、Q（X’，y’），它们的坐标满足：x’＝x＋2y＋1，y’=2x＋3y－1．当动点P在不垂直于坐标轴的直线ｌ上移动上，动点Q在与直线ｌ垂直且过点A（1，2）的直线ｌ’上移动，求直线ｌ的方程．用设亘线l的S程为：Ax十By＋C—0①则直线l’的方程为：B（x1）A（yZ）＝0＠把已知X’、／的表…     

二元全微分的原函数的求法

设du＝P（x，y）dx＋Q（x，y）dy，称P（x，y）dx＋Q（x，y）dy为函数u（x，y）的全微分，u（x，y）为P（x，y）dx＋Q（x，x）dx的一个原函数。若已知P（x，y）dx＋Q（x，y）dy为某一函数的全微分，如何求u（x，y）呢？今举例说明如下：例求全微分（x＋y）dx＋（x—y）dy的一个原函数。首先注意，在本题中P（x，y）一一函数的全微分，即存在原函数u（x，y），使有du（x，y）＝（x＋y）dx＋（x－y）dy．解法一，简单路径法可选取或为积分路径，即这里取则解法二，微分方程法由前式解得。（x，s）一专x’＋xv＋。s），其中。，）为y的一个…     

点关于直线对称点的向量公式

1．公式 若点P（x0,y0）关于直线l：Ax＋By＋C=0的对称点Q（x1,y1）,则     

二次方程Robin问题奇摄动群的估计

本文讨论了形如εy″=u（x，Y，ε）（y′）^2＋v（x，Y，ε），0＜X＜1，y（0,ε）-P1y′（0，ε）=A（ε），y（1，ε）＋P2y′（1，ε）=B（ε）的二次方程Robin问题奇摄动问题．通过引入不同量级的伸长变量，利用外部解和校正项相结合方法构造了本问题形式上的任意阶的渐近解，并利用微分不等式这一工具对所求得的解作出估计，得出一致有效的肯定结论．     

与中学老师谈微积分（2）——函数的差商

1函数的差商 1．1差分和差商的概念 设f（x）在区间I上有定义．为了研究f（x）的变化规律，需要考虑它在I中两点u和v处的函数值的差f（v）-f（u），称f（v）-f（u）为函数f（x）在两点u和v的差分．如果记h=v-u，此差分可以写成f（u＋h）-f（u）的形式．     

海仑数组的探求

如果三角形的三边长为整数且面积亦为整数，则称之为海仑三角形．海仑三角形的三边长所构成的数组（a，b，c）称之为海会数组．本文对海会数组进行新的探索．假定D＞0，D不是平方数，c是非0整数．设x=u，y=V是不定方程x~2-Dy~2=c的一个解，那么就称u＋v是它的一个解．其中当u≥0，v≥0时，最小的一个叫做基本解．再设x＋y是Pell方程X~2-Dy~2=1的任意一个解，则容易验证（u十v）（X十y）（=ux＋uyD＋（ux＋ut）也是x~2-Dy~2=c的解．设三角形三边长分别为a，从一a十…，C，其中p为奇数（可正可负）．则其面积为由于这个关于C’的M次方程…     

新题征展(40)

A　题组新编1.( 1)已知函数 f( x) =sin(ωx +φ)　 (ω >0、x∈ R)满足 f( x) =f( x + 1) -f( x + 2 ) ,若 A =sin(ωx +φ + 9ω)、B =sin( wω +φ- 9ω) ,则 A与 B的大小关系为.( 2 ) u( n)表示正整数 n的个位数 ,设 an=u( n2 ) - u( n) ,则数列 {an}前 2 0 0 0项之和 S2 0 0 0= .2 .( 1)点 P( 12 ,0 )到曲线 x =2 t2y =2 t(其中 t为参数 ,t∈ R)上的点的最短距离为 ;( 2 )对于抛物线 y2 =2 x上任意一点 Q,点 P( a,0 )都满足 | PQ|≥ | a| ,则 a的取值范围是 ;( 3 )点 P( a,0 )到抛物线 y2 =2 x上的动点 Q的最短距离为 .B　藏题…     

用对称作差法处理弦的中点问题

记f（x，y）=Ax^2＋Bxy＋Cy^2＋Dx＋Ey＋F． 设点P（m,n）是圆锥曲线C：f（x，y）=0的一条弦AB的中点，C′是C关于点P对称的曲线（如图1），则曲线C上点A（B）关于点P（m，n）的对称点，B（A）在曲线C′上，故A，B是两曲线C，C′的交点。     

高等数学试题(二份)

1．西安电子科技大学（1996～1997学年第二学期）一、填空题（每小题5分，共30分）1．方程组在空间的几何图形是2微分方程的通解为。3．函数人在点处的全微分4.已知，则5．积分区域D为x2＋y2≤1，则6.设函数u（x，y）具有二阶连续偏导数，则当u（x，y）满足条件时，沿任意简单闭曲线L积分二、（1分）求微分方程xlnxdy＋（y－Inx）dx一0满足条件yi。～一1的特解。三、（1分）计算曲线积分nd＝ax＋z【x＋yin（x＋／ds－－－－）」力，其中L是一’””‘”——”””””J／52－－－－．－－“““”““”””’～由点A（。，0）沿曲线v一…     

对称问题的坐标代换法

高中数学中的中心对称和拍对称问题，解决的方法不乏多样，但笔者认为，利用坐标代换的方法来研究这类问题，更具有一般性和规律性．1中心对称问题求曲线C：八x，y）一0关于点Q（a，b）对称的曲线C’．设C上的任一点只（xl，yi）关于点Q的对称点为P（X，y），由中点坐标公式可得：fHI一一二十ZQlyl一一y十Zb因为点PI（xl，yi）在C上，即f（XI，yi）一0，k得f（一x＋Za，一y＋Zb）一0即为所求．例1抛物线y—ax’＋bx＋c与y一x‘一sx＋2关于点（3，2）对称，求系数a、b、c．解设点（xl，yi）是y—l‘一sl＋2上任一点即yi一xZ—5xl＋2…     

关于二元函数的全微分求积中积分路径的选取问题

在讨论格林公式应用时，我们知道，如果在单连通开区域C内，函数P（x，y）及Q（x，y）具有一阶连续偏导数，且满足条件时，则微分式P（x，y）dx＋Q（x，y）dy在G内是某个二元函数u（x，y）的全微分式，即有原函数上式右端的曲线积分是与路径无关的。一般地说，可选取由起点M（x     

全微分方程的不定积分解法及其证明

0　引言一个一阶微分方程写成P( x,y) dx +Q( x,y) dy =0 ( 1 )形式后 ,如果它的左端恰好是某一个函数 u=u( x,y)的全微分 :du( x,y) =P( x,y) dx +Q( x,y) dy那么方程 ( 1 )就叫做全微分方程。这里 u x=P( x,y) ,　　 u y=Q( x,y)方程 ( 1 )就是 du( x,y) =0 ,其通解为 :u( x,y) =C　 ( C为常数 )可见 ,解全微分方程的关键在于求原函数 u( x,y)。因此 ,本文将提供一种求原函数 u( x,y)的简捷方法 ,并给出证明。1　引入记号为了表述方便 ,先引入记号如下 :设 M( x,y)为一个含有变量 x,y项的二元函数 ,定义 :( 1 )“M( x,y)”表示 M(…     

点到直线距离公式的研究性学习成果北大核心

1问题的提出 已知平面上的点P（x0,y0）,直线l：Ax＋By＋C=0（A,B不全为0）,求点P到直线l的距离d．     

方程x0x＋y0y=r^2表示的轨迹

已知圆O：x^2＋y^2=r^2,点P（x0,y0）． 1．当点P在圆t时,我们知道x0x＋y0y=r^2。为过点P（x0,y0）的圆O的切线方程．