一类函数题的“是”与“非”初探

题已知f(cosx)=sin3x,求f(sinx)(该题可见诸于多种资料)解f(sinx)=f[cos(π2-x)]=sin3(2π-x)=-cos3x.[1]又解f(sinx)=f[cos(x-2π)]=sin3(x-2π)=cos3x.上述两种解答方法实际上一样,但结果明显不同,问题出在哪里呢?下面看题目给出的条件:f(cosx)=sin3x,不妨令x=6π,得f(23)=1;再令x=-6π,得f(23)=-1,即对于f(23),有±1两个值与之对应,从对应方式来看,存在一对多的情况.按照高中教材对函数的定义,这种对应不能称为函数.进一步分析发现:f(cosx)=sin3x=3sinx-4sin3x=sinx(4cos2x-1),其中的sinx不能用含cosx的式子唯一地表示(sinx=±1-cos2x).…     

一道三角函数题参考答案的探究

<正>近日做到这样一道题目:已知f(sinθ)=cos2θ+cosθ.(1)求y=f(cosx)解析式;(2)求(1)中函数在x∈[0,π/2]上的最大值和最小值.参考答案是:解(1)∵cosx=sin(π/2-x),∴y=f(cosx)=f[sin(π/2-x)]=cos[2(π/2-x)]+cos(π/2-x)=cos (π-2x)+sinx=-cos2+sinx=     

对一道数学题的分析与反思

题目已知二次函数f（x）对任意x∈R都有f（1-x）=f（1＋z）成立．设向量a=（sin x,2）,b=（2sinx,2^-1）,c=（cos2x,1）,d=（1,2）．当x∈[0,π]时,求不等式f（a·b）〉f（a·d）的解集．     

又是忽视定义域惹的“祸”

一、问题提出 函数f（x）=2√2｜sinx·cosx｜·sin（x-π/4）/sinx-cosx是 （A）周期为π/2的偶函数． （B）周期为π的非奇非偶函数．     

两道试题的辨析

题1已知f（cosx）=cos17x,求证： （1）f（sinx）=sin17x; （2）对于怎样的整数n,能够由f（sinx）=sinnx推出f（cosx）=cosnx？     

对一道错题的思考

众所周知,数学命题工作,是一项艰苦细致、严谨周密的工作,难免夹杂着一些值得商榷乃至错误的题目. 本文就一道错题进行分析,以期引起读者注意.题:已知f(sinx)=sin2x,则f(cos105°)=(　　)A.12　　B. -12　　C.32　　D. -32剖析:本题是一道无解的错题,错在满足已知条件f(sinx)=sin2x的函数f(x)根本不存在.事实上,只需取x=π6,使得f12=sinπ3,再取x=56π,又得f12=sin5π3= -32,但32≠-32,于是在映射f的作用下,原象12对应着两个不同的象,这与函数的定义矛盾,可见,满足题意条件的函数f(x)不存在,更谈不上求f(cos105°)的值了.下面探讨满足…     

一道填空题(2018全国卷Ⅰ)的多种解法

<正>题目(2018全国卷Ⅰ理16)已知函数f(x)=2sinx+sin2x,则f(x)的最小值是___.解法一(导数法):由sinx的周期为2π,sin2x的周期为π,而2π和π的最小公倍数是2π,∴函数f(x)的最小周期为2π,在[0,2π]上考虑其最小值.f′(x)=2cosx+2cos2x=2(2cosx-1)(cosx+1),令f′(x)=0,得cosx=-1或cosx=1/2,     

函数f(x)=sinx/x单调性的妙用

我们将看到,利用sinx/x的单调性来解一些题目显得非常方便简捷。为此,先证明定理函数f(x)=sinx/x在(0,π)内严格递减。证明当x∈(0,π/2)时,设0相似文献   

抽象函数错题分析二例

问题1定义在R上的函数f（x）是偶函数,且f（x＋π/2）=-f（x）,当x∈[0,π/2]时,f（x）=sinx,求f（5π/3）的值． 《中学生数学》2007年1月（上）《一道错题的发现》指出问题1是一道错题．     

ax与bsinx的大小关系的确定

题1 若0＜x＜π/2，则x与sinx的大小关系为 题2 （2005年高考数学湖北卷第9题）若0＜x＜π/2，则2x与3sinx的大小关系是（ ） （A）2x＞3sinx. （B）2x＜3sinx. （C）2x=3sinx （D）与x的取值有关. 对于这类题目，一些资料上是用数形结合法解的，若画图稍不准确，则很容易出错。利用下面的定理可非常快捷地解答上面的题目。     

从一道用洛必达法则求极限的题目谈起

同济大学应用数学系编《高等数学习题集》 (高等教育出版社 ,1 998年第 3版 ) 3 .2 .2 3题 ,求A =limx→ 0sin2 x -x2 cosxx2 sin2 x (1 )　　 (1 )为 00 型不定式 ,连续 4次使用洛必达法则得A =limx→ 0sin2 x -2 xcosx x2 sinx2 xsin2 x x2 sin2 x =(2 )limx→ 02 cos2 x -2 cosx 4xsinx x2 cosx2 sin2 x 4xsin2 x 2 x2 cos2 x =(3 )limx→ 0-4 sin2 x 6sinx 6xcosx -x2 sinx6sin2 x 1 2 xcos2 x -4 x2 sin2 x =(4)limx→ 0-8cos2 x 1 2 cosx -8xsinx -x2 cosx2 4cos2 x -3 2 xsin2 x -8x2 cos2 x =16其计算繁杂且易…     

三角中容易忽视的几个问题浅析

本文就学生在三角学习中的常见错误分析如下:一、忽视定义域例1:函数f(x)=sinx(1 tanxtan2x)的最小正周期为A.πB.2πC.2πD.32π误解:f(x)=sinx1 2sin2xcos2xcosx·sin2xcos2x=sinx1 1c-ocsoxsx=tanx,∴T=π,选A.剖析:错误原因是没有注意定义域:x|x≠kπ 2π,且x≠2kπ π,k∈Z.因为f(0)=0≠f(0 π)(无意义),所以选A错误.正确应选B.二、忽视变形过程是否等价例2:已知2sinx=1 cosx,求cot2x误解:∵2sinx=1 cosx,∴1 sincoxsx=21,∴tan2x=21cot2x=2.剖析:错误原因是变形不等价.只有在1 cosx≠0时,才可以从2sinx=1 cosx推到sinx1 cosx=21.…     

函数y=|sinx|的周期问题

对于函数 y =| sinx|的周期 (最小正周期 )问题 ,我们常用图像法来分析 .这里介绍用解析法分析它的周期问题 .由于y =| sinx| =sin2 x =1 - cos2 x2 ,函数值的重复取得 ,等价于 cos2 x值的重复取得 ,故函数的周期为π.例 1　求函数 f( x) =| sinx cosx| ,　 ( x∈ R)的周期 .解　由 f( x) =| sinx cosx|　 =| 2 sin( x π4 ) | =2 sin2 ( x π4 )　 = 1 - cos( 2 x π2 ) ,函数 f ( x)值的重复等价于 cos( 2 x π2 )的值的重复 ,而 cos( 2 x π2 )的周期为π,所以函数 f ( x)的周期为π.例 2　求函数f( x) =1 - cos2 x 1 …     

也谈函数f(x)=3/cos x+2/sin x最小值的初等求法

文[3]利用构造平面几何的方法给出了函数f(x)=3cosx 2sinx(0相似文献   

追求通法方为道 退步原来是向前——一节试题讲评课的教学实录

对于期中考试中一道求函数f（x）=sin（ωx-(π/3)）中参数ω的取值范围题,通过讲评该题设计教学,采用以退为进、由浅到深、循序渐进的策略和学生一道探究,通过变式教学引领学生慢慢触及问题本质,总结求解此类问题的一般方法.     

以形助数 化难为易

发掘题目的几何意义,以形助数,在做选择填空题目时能起到事半功倍的效果,现举例如下： 例1（2014年全国卷新课标Ⅱ理科第12题）设函数f（x）=3（1/2）sinπx/m,若存在f（x）的极值点x0满足（x0）2＋[f（x0）]2〈m。,则m的取值范围是（ ）．     

定义域与函数周期

求函数的周期同探讨函数的其它性质一样 ,必须考虑定义域 .而若忽视了函数的定义域 ,则可能得到错误的答案 .《中学生数学》2 0 0 3年 5月上期《名校基础知识自测》(高一年级 )选择题 8:函数 f(x)=sinx +sin3xcosx +cos3x的最小正周期是 (　　 ) .(A) π2 　 (B)π　 (C) π4　 (D) 2π的答案就是错误的 .错解　∵　sinx +sin3xcosx +cos3x=2sin2xcosx2cos2xcosx=tan2x ,∴　f(x) =tan2x .又∵tan2x的最小正周期为 π2 ,∴选 (A) .剖析　容易否定 π2 是f(x)的最小正周期 .因为若 π2 是 f(x)的最小正周期 ,则根据周期函数的定义知 f(x + …     

一道高考题的巧解

题目（2010年全国高考浙江卷（理科）第9题设函数f（x）=4sin（2x＋1）-x,则在下列区间中函数不存在零点的是（ ）．     

这道题真的很难吗?

题目设函数f(x),g(x)对任意实数x,均存在-π/2sin(sinx),cos(sinx)>sin(cosx). 这是我校高一期中考试的压轴题,全年级24个班只有不足10人做对,这道题真的有这么难吗?我们真的一点思路都没有吗?真的     

“一定、不一定、一定不”选择填空

1 等式sin(π/2 3π/2)=sinπ/2 sin3π/2( )成立。 (a) 一定 (B) 不一定 (C) 一定不答( ) 2 若一个平面内的一条直线垂直于另一平面内的两条直线,则这两个平面( )互相垂直。 (A) 一定 (B) 不一定 (C) 一定不答( )。 3 若y=f(x)是增函数,则y=f(1-2x)( )是增函数