“点不在线上”在解析几何中的应用

随着一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）在初中教学中地位的降低,高中数学教学中与其相关的一些知识的教学活动也相应地被消弱,特别是对“平面解析几何”中直线与圆锥曲线的位置关系等问题的研究冲击较大．但这同时也对我们的教学研究产生了一定的正面影响,那就是回归基础,用“平面解析几何”最本质的方法和原理去研究“平面解析几何”的有关问题．即通过点的坐标与方程的关系、点与曲线的位置关系研究“平面解析几何”的问题．     

2006年全国各地高考与模拟数学试卷评析——平面解析几何

通过坐标法建立平面内的点与坐标、曲线与方程的一一对应关系,利用方程的特点来研究几何问题,这是解析几何的基本思想.这种数与形的对应关系,使得解析几何题具有很强的交汇性,这种特征在2006年的高考题中得到了很好的反映.     

直线与圆的方程

1　本单元重、难点分析本单元以直线和圆为载体 ,揭示了解析几何的基本概念和方法———坐标法 ,是解析几何的基础 .直线的倾斜角、斜率的概念及公式 ,直线方程的五种形式是本单元的重点之一 ,而点斜式又是其他形式的基础 .求直线方程主要用待定系数法 ,应注意直线方程各种形式的适用条件 .两条直线平行和垂直的充要条件 ,直线l1到l2的角以及两条直线的夹角 ,点到直线的距离公式也是重点内容 .研究两直线位置关系时应注意斜率存在和不存在两种情形 .曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想 ,是解决解析几何两个基本问题的依据 ,必须透彻理…     

高考专题复习系列讲座（6）——解析几何

1．考点透视 作为高中的重点内容之一，解析几何试题在历年高考中都占有较大的比重，且多数作为压轴题或者放在倒数第二题．直线与圆的方程，线性规划，圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等内容是支撑解析几何的基石，也是命题的基本元素．此外，直线与圆锥曲线的位置关系也是高考命题的着眼点之一．近几年，平面向量与解析几何的交汇点成为高考命题的一个热点，导数知识为解决涉及解析几何的最值问题提供了新的视角和思路，     

中学数学中的向量方法

数学是从认识和研究图形和数开始的、大体上可以说，图形的优点是直观形象，能更直接地用来描述我们周围的世界，也更容易理解．但图形不便于用于计算，利用几何推理的方法来研究图形，灵活性、偶然性太大，不容易掌握．数的优点是有比较死板的方法进行运算，便于掌握，但比图形更抽象，将客观世界用数来描述的难度更大一些．笛卡尔引进了坐标之后，打破了数与形的界限，将几何图形最基本的元素——点用坐标来表示，将曲线、曲面用方程来表示，通过对坐标和方程的代数运算来研究几何图形的性质，这就是解析几何．     

看形找数以数解形——谈平面解析几何试题解题策略

平面解析几何研究的对象是平面几何图形的几何性质——位置与数量关系,其研究方法是坐标法,即通过坐标系,把点和坐标、曲线和方程联系起来,实现了形和数的统一,体现了数形结合的重要数学思想、函数与方程的思想.     

直线和圆的方程

直线和圆是解析几何所研究的最简单、最基本的两种曲线．在本章给出了曲线方程的定义，体现了数学的严密性，并且给出了直线和圆这两种具体的曲线的概念和一系列的公式．同时确立了代数方法(坐标法)研究平面几何图形性质这一重要方法，揭示了数形结合的数学思想及待定系数法这一重要数学方法在解析几何中的重要性．     

对双曲线中定长焦点弦的条数问题的探究

本题是一道常规的解析几何问题．利用点斜式方程、一元二次方程根与系数的关系以及弦长公式，     

用活定比分点,优化解题过程

众所周知,定比分点是解析几何中最基本的概念之一．由于定比的概念中涉及三个点：有向线段Ｐ１Ｐ２的起点Ｐ１,终点Ｐ２以及分点Ｐ,因此,在处理解析几何中三（多）点共线问题时,灵活应用或恰当引入定比,运用定比分点坐标公式进行转化,往往有助于迅速沟通知、求关系而收到以简驭繁之功效．一、以分点为分点,转移分点坐标在解析几何中,处理与圆锥曲线弦分点有关问题通常是将弦所在直线的参数方程代入圆锥曲线方程中,运用参数的几何意义求解．当弦的分点非中点时,这种方法并不简便．能否直接应用定比及定比分点坐标公式,将分点坐标…     

类比--发现--自悟 谈一道解析几何高考试题的拓展与研究

《解析几何》是高中数学的主干知识,也是新课标高考重点考查内容之一．直线与圆锥曲线的方程与位置关系,含参数的范围问题、最值问题以及探究性问题是目前高考的三大热点问题．下面就2009年山东高考解析几何试题,笔者作了一些拓展与研究,供大家参考．     

充分利用图形,简化解析几何中的计算

《解析几何》是数形结合的典型范例,然而,有一些师生重视了数式的运算,却忽略了图形的重要性．下面举二例说明图形在简化解析几何计算中的作用．例１　已知两点Ｐ（－２,２）,Ｑ（０,２）以及一条直线ｌ：ｙ＝ｘ,设长为２的线段ＡＢ在直线ｌ上移动,求直线ＰＡ和ＱＢ的交点Ｍ的轨迹方程（要求把结果写成普通方程）．分析：如果对“长为２的线段ＡＢ在直线ｌ上移动”这句话仅作表面的理解,就会机械地去套用两点间的距离公式,先设Ｍ点的坐标为Ｍ（ｘ,ｙ）,再写出直线ＰＭ与ＱＭ的方程,并求出（ｘＡ,ｙＡ）,（ｘＢ,ｙＢ）,然后…     

谈函数与图象以及曲线与方程之间的关系

在函数内容的学习中，我们知道，二次函数y=ax^2＋bx＋c（a≠0）的图象是抛物线．抛物线具有明确的几何特征：即平面内与一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹．在解析几何中，我们常常由图形的几何特征，借助平面直角坐标系，建立曲线的方程，由方程研究曲线．下面借助二次函数来说明函数与图象以及曲线与方程之间的关系．     

基于三角形的内角平分线问题的求解策略

三角形的角平分线是指三角形的一个角的平分线和对边相交,角的顶点和交点间的线段．这样在解析几何中涉及到与三角形的角平分线的问题常常有求三角形顶点的坐标、内角平分线的长度、内角平分线所在的直线方程、分点的坐标等．上述问题求解常用策略如下：     

奇思妙想话中点

中点问题是解析几何中最常见最重要的课题之一，教材中不仅有专门的研究，而且还是高考的热点．与曲线方程、韦达定理等知识的综合是中点问题中常见的题型，本文从另一个角度来探讨中点在解析几何中的巧妙应用。     

一个椭圆最值问题构圆解法的反思

解析几何复习课上，笔者出示了一道全国高考题：考题设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率为√3/2，已知点P（0，3/2）到此椭圆上的点的最远距离是√7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于√7的点的坐标．     

怎样探讨轨迹的纯粹性

求曲线的轨迹方程是解析几何的基本知识 ,课本在谈到曲线的方程和方程的曲线时 ,指出两个关系 :①曲线上的点的坐标都是方程的解 ,②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 .其中①我们叫曲线方程的完备性 ;②叫曲线的方程的纯粹性 .在求轨迹方程时 ,教材强调分五步求轨迹方程 ,“除个别情况外 ,化简过程都是同解变形过程 ,步骤 5 (即证明② )可以省略不写 ,如有特殊情况 ,可适当予以说明 .”所谓予以说明 ,就是要探讨轨迹方程的纯粹性 .很多学生对此缺乏规律性的认识 ,以至心有余而力不足 .那么 ,解决轨迹方程的纯粹性问题应该怎样进行呢…     

用平面几何知识巧解解析几何题

对于有些解析几何问题，如果你限定于用解析几何方法去解，则难上加难，但如果你转换视角，从平面几何的角度仔细观察，就会发现其中的简洁明快的关系，抓住此关系，解决问题就势如破竹．下面是几则很有说服力的例子．     

解析几何的几个基本问题

数形结合是一个极富数学特点的信息转换 ,解析几何完美地体现了这一思想 .借助于直角坐标系 ,我们可以将有序数对 (ｘ ,ｙ)与平面上的点构成对应 ,可以将有序数对所满足的等量关系ｆ(ｘ ,ｙ) =0与平面上的曲线构成对应 .因而 ,我们既能用代数方法去研究图形的形状、大小及位置关系 ,又能用图形的性质来说明代数事实 ,这种数式信息与图形信息的相互转换与有机结合 ,使我们在解题时能左右逢源 .因此 ,在数学竞赛中 ,用解析几何的方法来处理几何、代数问题备受人们的青睐 .在本讲中 ,我们将介绍解析几何中有关坐标概念的几个基本问题及应用 .1…     

高三解析几何复习要关注的几个问题

解析几何是高考重点内容之一,涉及很多重要的数学思想方法,如坐标法、消元法、参数法、代定系数法、配方法等,数形结合的思想、函数与方程的思想、转化与化归的思想,分类讨论的思想等．     

用求曲线方程的知识来解决几类问题

求曲线方程是平面解析几何的重要知识点,也是平面解析几何把形转为数的基本方法.高中数学教材对求曲线方程归纳为如下五个基本步骤： （1）建立适当的直角坐标系（如果已给出,本步骤省略）. （2）设曲线上任意一点的坐标为（x,y）. （3）根据曲线上点所适合的条件,写出等式. （4）用坐标x,y表示这个等式（方程）,并化简. （5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.