一个平凡原理在解题中的应用

一个平凡原理在解题中的应用孔凡哲，孙炳太（山东济宁师专数学系２７２１２５）非空的有限实数集必有最小数与最大数．简言之，亦即：有限多个（不少于一个）实数中必有最小数与最大数．这是一个极其平凡的原理！下文简称之为“最小数原理”．然而，在解题中恰如其分的运...     

用最小数原理答读者问

1.读者提问大连市第36中学高二(2)班黄明同学来信,向笔者请教如下集合问题:设S1、S2、S3是三个非空的整数集,对于1、2、3的任一个排列i、j、是,若x∈Si,y∈Sj则x-y∈Sk.证明:S1、S2、S3中必有两个集合相等.为解决这个问题,先介绍“最小数原理”.     

谈一类极值问题的解法

本文将利用集合的子集类的思想去解决一类较为复杂的极值问题 .为此我们引入以下的概念和定理 .设Ａ是一个非空有限集 ,集合Ａ的元素个数称为集合Ａ的阶 ,记作｜Ａ｜ .当｜Ａ｜=ｎ ,称Ａ是一个ｎ阶集 .对于一个集合Ａ的一个子集类 {Ａ1,Ａ2 ,… ,Ａｋ},若对任何二个子集Ａｉ,Ａｊ(ｉ≠ｊ)都有Ａｉ Ａｊ,Ａｊ Ａｉ,则称这个类是互不包含的子集类 .对这种子集类我们有定理　有一个ｎ(ｎ≥ 1 )阶集合Ａ的一切互不包含的子集类中 ,子集个数最多的类含有Ｃｎ2ｎ个子集 ,其中 ｎ2 表示不超过 ｎ2 的最大整数 .证明　记 {Ａ1,Ａ2 ,… ,Ａｋ}为Ａ的…     

对一道2014年江苏预赛试题的推广

题（2014年江苏预赛第9题）设集合S={1,2,…,8｜,A,B是S的两个非空子集,且A中的最大数小于B中的最小数,则这样的集合对（A,B）的个数是．解当A中最大数为1时,A有2^0个,B可以是集合（2,3,…,8}任意非空子集,有2^7-1个;当A中最大数为2时,集合{1}的子集有2^1个,所以A有2^1个,B可以是集合{3,4,…,8}的任意非空子集,有2^6-1个。     

有限交换2—DCI群的刻划

设 G 是有限群。H 是 G 的非空子集,称 H 为 G 的 Cayley 子集,如果 G 的单位元素 e(?)H.若 H 的势|H|=i,我们还称 H 为 G 的一个 i—子集.定义1 设 G 是有限群,H 是 G 的 Cayley 子集,称有向图 X=X(G,H)是 G 的关于 H 的 Cayley 图,如果 X 的顶点集合 V(X)以及边集合 E(X)为     

一道数学竞赛题的推广

<正>(2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题第9题)设集合S={1,2,3,…,8},A,B是S的两个非空子集,且A中的最大数小于B中的最小数,则这样的集合对(A,B)的个数是 __.可以将这个题目推广为:设集合S={1,2,3,…,n}     

一个求和公式

设集合M={1,2,…,n}。对M的任一非空子集X,令a_x表示X中最大数与最小数之和,试计算所有这样的a_x的算术平均值■[注] 我们用两种方法计算■,由此便可得到一个新的求和公式方法一把M的子集X分成两类,对第一类子集X的a_x=n+1,令这样的X共有k个。对第二类子集X的a_x≠n+1。     

关于命题形式的协调系

本文是学习命題演算过程中的一点体会。设M是任意非空集合,用S表示在字母表 α=MU{∽,→,(,)}中写出的一切非空字的集合,用WF表示S中一切满足以下两个条件的子集W的交: (i)。如果把M中的每个元素看成字,则MW: (ii)。对任意A∈W和B∈W有(∽A)∈W和(A→B)∈W。 集合WF中的字称为合式公式。 定义1.WF的一个真子集L称为一个协调系,如果: (i) 对任意X,Y,Z∈WF,有     

抽屉原理

抽屉原理俗称鸽巢原理,又叫狄利克雷原理.简单地说就是:把3个苹果放入两个抽屉中,必有一个抽屉中至少有两个苹果;把3个苹果放入4个抽屉中,必有一个抽屉中没有苹果.1抽屉原理的几种形式1)第一抽屉原理(少的抽屉原理)设有m个元素分属于n个集合(其两两的交集可以非空),且m>kn(m,n,k均为正整数),则必有一个集合中至少有k 1个元素.2)第二抽屉原理(多的抽屉原理)设有m个元素分属于n个两两不相交的集合,且m相似文献   

武汉市部分学校新高三起点调研测试数学试题

一、选择题 　　1.设全集U为实数集R,M={x|x2>4}与N={x|1＜x≤3}都是U的子集(如图所示),则阴影部分所表示的集合为……     

运用子集思想确定参数取值范围

确定参数取值范围问题是高考、竞赛中的热点问题 .关于这类问题的解法 ,有很多作者进行了研究 ,本文就一类与子集有关的参数范围问题作一些探讨 ,供同行们参考 .对于 A、B两个集合 ,如果 A中每一个元素都是 B中的元素 ,则称 A是 B的子集 ,记作A B,利用子集概念 ,可以简明地解决许多数学问题 .例 1　设集合 A ={x| x2 x - 6 <0 },函数 f ( x) =x2 ax - 2x2 - x 1 的值域为 B,求使B A的实数α的取值范围 .分析　这里的集合是一个“非必求量”.若先求 f ( x)的值域 B,再通过数轴 ,由 B A,列出关于α的不等式组 ,然后解不等式组 …     

Pareto 极值存在性定理

文献[1]讨论了实 Banach 空间 Z 中的闭凸锥 A 在具有性质(π)时,空间 Z 中任何一个非空∧-有界集 D 的弱∧-极值(Pareto 极值)存在性问题.当空间 Z自反,∧具有锐角性质时,∧-有界集 D 是否存在弱∧-极值?本文就这种情况进行了讨论,并在较弱的条件下得到了相应的极值问题的存在性定理.本文使用的方法是通过引进多值映射,将∧-有界集 D 的弱∧-极值的存在性问题转化成为多值映射的不动点存在性问题.设 Z 为实 Banach 空间,Z~*为 Z 的共轭空间,Z 的非空子集(?)称为是一个凸锥(以0为顶点)是指:(?)λ_1,λ_2∈(?),以及任意的非负实数α,β,有αλ_1+βλ_2∈(?).     

中心循环的有限p-群中的非交换集

设G是一个群,X是G的一个子集,若对于任意x,y∈X且x≠y,都有xy≠yx,则称X是G的一个非交换集.进一步,如果对于G中的任意其他非交换子集Y,都有|X|≥|Y|,那么称X是G的一个极大非交换集.本文界定了中心循环的有限p-群中极大非交换集的势.     

与Sylow-子群X-可置换的子群对有限群的影响

设X是有限群G中的一个非空子集,H和T是G的两个子群.称日与T在G中是X-可置换的,如果存在元素x∈X,满足HT~x=T~xH.作者探讨了当有限群G的某些子群与G的某些Sylow子群是X-可置换时G的结构.     

最大或最小数原理及其应用

下述命题常称为“最大数原理”和“最小数原理”Ⅰ、在有限个实数组成的集合中,存在最大的数和最小的数。Ⅱ、在由整数组成的集合中(有限或无限),存在最小的正整数和最大的负整数。这两个原理是浅显明白的。然而在数学理论的发展及开拓解题思路方面,它们有着许多的应     

Frattini子群循环的有限$p$-群中的非交换集和极大Abel子群

设G是一个群,X是G的一个子集,若对于任意x,y∈X且x≠y,都有xy≠yx,则称X是G的一个非交换集.进一步,如果对于G中的任意其它非交换子集Y,都有|X|≥|Y|,那么称X是G的一个极大非交换集.文中确定了Frattini子群循环的有限p-群中极大非交换集和极大Abel子群的势.     

有限集合的子集族问题分类解析

将有限集合中符合某一特性的所有子集合,称之为有限集合的子集族.在各类集合问题中,与子集族相关的问题是其中极为重要的一类.这类问题题型新颖,解答灵活,给同学们的学习造成了一定的困难.本文拟对这类问题分类进行解析.1.求有限定条件的子集个数例1(03希望杯高一竞赛题)集合S={1,2,3,4,5,6},A是S的一个子集,当x∈A时,若有x-1A,且x 1A,则称x为A的一个“孤立元素”,那么S中无“孤立元素”的4元子集族中子集的个数是.解4个元素为连续自然数的子集有{1,2,3,4},{2,3,4,5},{3,4,5,6},共3个,不都连续的子集有{1,2,4,5},{1,2,5,6},{2,3,5,6},共…     

分式函数f(x)=t/(d-x)+c的性质

题目已知数集A满足条件:a≠1,若a∈A,则11-a∈A.(1)若2∈A,则集合A中还有哪些元素?(2)请你任意设集合A中的一个元素(实数),再探讨该集合中其他元素;(3)从上面两题的解答过程中,你领悟到什么结论?并加以证明.     

探究有趣的子集配对问题

设集合A={a1,a2,．．．,an},I为集合A生成的所有子集的集合,集合M、N是I的两个元素,发现在不同的配对法则下,子集间不再是一盘散沙,存在着各种结构与对应关系;探究其配对数多少是很有趣的问题,是深刻领悟计数观点、方法和原理的思维体操．     

有限集子集的计数

在对有限集合的子集个数判定时,初学者往往采用列举的方法,容易出现重复或遗漏而造成错误,特别是在有限集的元素个数较多时,列举法更显笨拙.本文给出一个有关有限集子集计数的定理,供同学们参考.